summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-22 17:46:58 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-22 17:46:58 +0100
commitb227d642bd4aeb86bf778d68383a4c5b943d2da6 (patch)
tree58ceb560ad9797bcf59516f38a5c28714404c8e8 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent503ad12f71a6f9f20788b6e9666d81442b55adcb (diff)
downloadgalois-b227d642bd4aeb86bf778d68383a4c5b943d2da6.zip
galois-b227d642bd4aeb86bf778d68383a4c5b943d2da6.tar.gz
galois-b227d642bd4aeb86bf778d68383a4c5b943d2da6.tar.bz2
[LG] fonctions zêta de Dedekind (définitions)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex151
1 files changed, 110 insertions, 41 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 0f0cf39..910620b 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1607,24 +1607,46 @@ Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)=
γ(χ,s)=?
\]
-\subsubsection{}Supposons maintenant $K$ archimédien, de
-degré $d$ sur $𝐑$ ($d ∈ \{1,2\}$) et
-introduisons la gaussienne $g_K ∈ 𝒮(K)$ qui joue
-un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ considérée dans le cas
-ultramétrique :
+\subsubsection{}
+\label{fonction zêta archimédienne}
+Supposons maintenant $K=𝐑$ ou $𝐂$ archimédien,
+dont on note $d$ le degré sur $𝐑$. La gaussienne $g_K ∈ 𝒮(K)$ définie par
+\[
+g_K(x)=\exp(- d π |x|²)
+\]
+joue un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ considérée dans le cas ultramétrique.
+On s'intéresse donc à la fonction
\[
-g_K(x)=\exp(- d π |x|²).
+ζ_K(s):=ζ(g_K,χ \text{ trivial},s).
\]
Pour chaque nombre complexe $s$ de partie réelle strictement
positive, on a
\[
-ζ(g_K,χ \text{ trivial},s)=(dπ)^{d(1-\frac{s}{2})-1}Γ(d\frac{s}{2}),
+ζ_𝐑(s)=π^{-½s}Γ(½s)
+\]
+et
+\[
+ζ_𝐂(s)=(2 π)^{1-s} Γ(s),
\]
où $Γ(s)= \displaystyle ∫_0^{+∞} e^{-r} r^s \frac{dr}{r}$
est la fonction Gamma usuelle.
-Il suffit d'effectuer le changement de variable
-$x=√r$ dans le cas réel ou $x=√r e^{i θ}$ dans
-le cas complexe.
+Sous forme plus compacte :
+\[
+ζ_K(s)=(dπ)^{d(1-\frac{s}{2})-1}Γ(d\frac{s}{2}).
+\]
+Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
+$x=√r$ dans le cas réel ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas complexe.
+
+À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions
+zêta locales sont appelées « facteurs Gamma »
+et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
+(Cf. Serre, « Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés
+algébriques ».)
+
+% Vérifier que je ne me trompe pas d'un facteur $2$ pour $Γ_𝐂$. \XXX
+% cf. ζ_K(s)=(dπ)^{d(1-\frac{s}{2})-1}Γ(d\frac{s}{2}) qui
+% semble fausse car les bons facteurs Gamma sont ceux
+% ci-dessus.
% plus généralement… Bump, 271.
\XXX
@@ -2912,6 +2934,7 @@ semblable à celle suivie ici.
\subsection{Calculs de volumes}
\subsubsection{Idèle différentiel}
+\label{idèle différentiel}
Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère de $K_𝐀∕K$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
que pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, il existe
@@ -2936,21 +2959,25 @@ la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale à l'opposé du
niveau $n_x(ψ_x)$. Celui-ci est nul pour presque tout $x
∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \emph{idèle différentiel attaché à $ψ$},
-tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
+\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
Par construction, on a l'égalité
\[
-μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{-½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
-D'autre part, on a vu en \ref{Poisson implique RR} que
-si $K$ est de caractéristique $p>0$ et de corps
-des constantes de cardinal $q$, le module $|d_ψ|^{-1}$ — qui ne dépend
-pas du choix de $ψ$ — est égal à $q^{2-2g}$.
-Si $K$ est de caractéristique nulle, il résulte de
-\ref{niveau et différente} et \ref{}\XXX
-que $|d_ψ|^{-1}$ — où l'on peut prendre $ψ=𝐞_{K}$ —
-est égal à $|𝔡_K|$.
+Notons que le module $|d_ψ|$ ne dépend pas du choix de $ψ$ ;
+on le notera dorénavant $|d_K|$.
+Il résulte des calculs effectués en \ref{Poisson implique RR}
+et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente}
+— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ — que l'on a :
+\[
+|d_K| =
+\begin{cases}
+\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
+\displaystyle q^{2-2g} & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
@@ -2963,6 +2990,10 @@ et
Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
+\subsubsection{Analogue multiplicatif}
+
+[...]
+
\begin{théorème2}
Si $K$ est un corps de nombres,
\[
@@ -2980,33 +3011,71 @@ puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)
\section{Fonctions zêta}
-\subsection{Fonctions zêta de Dedekind}
+\subsection{Fonctions zêta de Dedekind : définitions}
-\begin{définition2}
+\subsubsection{}
+Soit $K$ un corps global. Notons $|d_K|$ la norme d'un idèle
+différentielle (\ref{idèle différentiel}) et, le cas
+échéant, $q$ le cardinal du corps des constantes.
+Les fonctions zêta suivantes jouent un rôle essentiel
+dans l'étude de l'arithmétique de $K$.
+La plus célèbre est la \emph{fonction zêta de Dedekind}
+\index{fonction zêta de Dedekind}
+\[
+ζ_K(s)= ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} \frac{1}{1-q_x^{-s}}
+\]
+où $x$ parcourt les places \emph{ultramétriques} de $K$
+et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_x/𝔪_x$.
+% vérifier notations ci-dessus \XXX
+Notons que $ζ_K(s)=∏_{x ∈Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} ζ_{K_x}(s)$
+où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] \XXX
+
+\subsubsection{}
+Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
-ζ_K= ∏_{v ∤ ∞} \frac{1}{1-N(v)^{-s}},
+ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s},
\]
-où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$.
-\end{définition2}
+où $𝔞$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$
+et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K ∕ 𝔞$.
-Si $K$ est un corps de nombre, $ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s}$.
+En effet \XXX.
-\begin{définition2}
-\begin{itemize}
-\item[nombres]
-\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
-où $Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
-\item[fonctions]
-\[\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s).\]
-\end{itemize}
-\end{définition2}
+Dans ce cas, il est également naturel de considérer la
+fonction zêta étendue aux places archimédiennes :
+\[
+\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s) × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
+ζ_{K_x}(s) = ζ_K(s) ζ_𝐑(s)^{r_𝐑} ζ_𝐂(s)^{r_𝐂},
+\]
+où $K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe à $𝐑^{r_𝐂}× 𝐂^{r_𝐂}$ et les fonctions
+zêta archimédiennes sont comme en \ref{fonction zêta
+archimédienne}. On étend cette notation au
+cas de la caractéristique positive en posant
+$\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$, ou encore : $r_𝐑=r_𝐂=0$.
-\begin{exemples2}
-\begin{enumerate}
-\item $ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
-\item $ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
-\end{enumerate}
-\end{exemples2}
+\subsubsection{}
+\label{fonction zêta étendue}
+Enfin, on pose :
+\[
+\chap{ζ}_K(s)=|d_K|^{½s} \sur{ζ}_K(s).
+\]
+C'est cette fonction qui satisfait une équation
+fonctionnelle (cf. \ref{} \emph{infra}).
+
+\subsection{Exemples}
+
+\subsubsection{Corps des rationnels}
+La fonction zêta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction
+zêta de Riemann, considérée par Euler dès [...].
+On a
+\[
+\chap{ζ_𝐐}=ζ ⋅ Γ.
+\]
+
+\subsubsection{$𝐅_p(t)$}
+$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
+
+\subsubsection{$𝐐(i)$}
+$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
Objectif.