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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-19 13:27:21 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-19 13:27:21 (GMT)
commitb5f7c1520a10480716824b334da4d8d51f3f70d9 (patch)
tree5fd54c1d2b6f5811612b96172eb34dd9cb242a3c /chapitres/locaux-globaux.tex
parent5f28c4c760130facd381e02ef162d431721c3474 (diff)
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[LG] fin détails sur convergence uniforme (pour Poisson)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex46
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 967e0e6..87a3ab1 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3974,7 +3974,7 @@ des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
-Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} f(a_𝐀+λ)$ converge
+Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge
uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
restreint $f=(f_x)$. Nous traitons séparément corps de fonctions et corps de nombres.
@@ -3995,14 +3995,16 @@ la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.
❧ Cas des corps de nombres.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
-$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $o ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
+$f^{\mathrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
+de $o+𝔫𝒪_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartésien $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
-\commentaire{notation merdique : c'est $+(-C)$ et non la soustraction ensembliste}
où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
+(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}$ l'image de l'application
+soustraction, et non la différence ensembliste.)
L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$
ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$,
on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
@@ -4019,26 +4021,24 @@ sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=
dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
$𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.)
-
-
- \[⁂\]
-Tout compact de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ étant contenu dans
-l'image de $𝒪_{K_𝐀}$ par une homothétie de rapport dans $K$,
-on peut de même supposer [pas clair \XXX ; dire que $K ∩ (...)$ contenue dans
-idéal fractionnaire ?] le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$
-de sorte que $𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}$ est contenu dans $𝒪$.
-Or, on a vu en \ref{cocompacité} (ii) que le sous-groupe
-$K ∩ 𝒪 = 𝒪_K(…)$ est naturellement un réseau dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$.
-Il suffit donc de démontrer le fait suivant :
-\begin{quote}
-Soient $N$ un entier, $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$ et $Λ ≃ 𝐙^N$ un réseau
-de $𝐑^N$. La somme $∑_{λ ∈ Λ} φ(x+λ)$ est uniformément convergente
-sur tout compact.
-\end{quote}
-La démonstration de ce fait, bien connu, est laissée
-en exercice au lecteur.
-
-% références : Weil [BNT, p. 111], Bump. p. 278.
+Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels
+que le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+𝒪_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartésien $∏_x 𝔪_x^{n_x}$.
+L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})$ est donc contenue
+dans l'idéal fractionnaire produit $I=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ de $K$.
+On s'est donc ramené à montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒮(K_𝐑)$,
+la série de fonctions $a ↦ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformément
+sur tout compact de $K_𝐑$. Puisqu'un multiple rationnel (non nul) de $I$ est contenu dans l'anneau
+des entiers $𝒪_K$ on peut supposer, quitte à changer $φ$,
+que $I=𝒪_K$. L'anneau des entiers $𝒪_K$ étant un \emph{réseau}
+dans $K_𝐑$ (\ref{cocompacité} (ii)) (c'est-à-dire : son image
+(par le plongement diagonal) est isomorphe à $𝐙^N$, où $N=\dim_𝐑 K_𝐑$)
+la conclusion résulte du fait élémentaire suivant :
+pour tout entier $N$ et toute fonction $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$,
+la série $a↦ ∑_{λ ∈ 𝐙^n} |φ(a+λ)|$ est uniformément convergente
+sur tout compact de $𝐑^N$. La définition \ref{BS-local}
+nous ramène à la convergence de la série $∑_{k ∈ 𝐙^N} \frac{1}{1+|k|^{s}}$ un
+$s$ suffisamment grand ; chaque $s>N$ convient.
\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$