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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-28 18:37:42 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-28 18:37:42 +0100
commitba1b41431a3c322c731fb3ecfaf7e22f1b19dcb1 (patch)
tree22b72aaa5052f3d1cb3fa176e64d5217b4b6b860 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] exemples de fonctions zêta (𝐐 et 𝐅_p(t))
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex129
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 2eecfc4..1fab675 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1719,6 +1719,10 @@ on note également $𝒪_x=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$
l'anneau de valuation de $K_x$, $𝔪_x$ son idéal maximal,
$k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel et $v_x$ la valuation $K_x ↠
𝐙 ∪ \{+∞\}$.
+Il est parfois utile de faire la convention suivante :
+lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
+% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
+% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »
\subsubsection{}
Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
@@ -1897,6 +1901,7 @@ On note $K_𝐀(U)$ l'anneau
\]
muni de la topologie produit.
+
Prendre garde de ne pas le confondre avec
\[
𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U) ⊆ K.
@@ -1905,7 +1910,13 @@ Prendre garde de ne pas le confondre avec
\[
K_𝐀=\colim_S K_𝐀(U).
\]
-Description de la topologie.
+Description de la topologie. Une suite $(a_n)$
+d'éléments $a_n=(a_{n,x})_{x ∈ Σ(K)}$ de $K_𝐀$ converge
+vers $b=(b_x)_{x ∈ Σ(K)}$ si et seulement si pour
+tout $ε>0$, et tout ensemble fini $S ⊆ Σ(K)$, il
+existe un entier $N$ tel que pour chaque $n ≥ N$
+on ait $a_{n,x}-b_x ∈ 𝒪_x$ lorsque $x ∉ S$
+et $|a_{n,x}-b_x |_x < ε$ sinon.
\subsubsection{Mesure}
@@ -2929,7 +2940,7 @@ où $g=½\deg(𝔠)+1$ est un entier appelé \emph{genre} \index{genre} de $K$
et
\[
l(𝔞)=\dim_k \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}.
-\].
+\]
\end{théorème2}
La principale application que nous ferons de ce théorème
@@ -2947,6 +2958,12 @@ semblable à celle suivie ici.
% cas général… ? \XXX
\end{remarque2}
+\begin{exemple2}
+\label{genre droite affine}
+$g_{𝐅_p(t)}=0$. \XXX
+% cf. p. ex Rosen, p. 49
+\end{exemple2}
+
\subsection{Calculs de volumes}
\subsubsection{Idèle différentiel}
@@ -2991,10 +3008,14 @@ et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente}
|d_K| =
\begin{cases}
\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle q^{2-2g} & \text{sinon}.
+\displaystyle q^{2g-2} & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
+[Vérifier les signes. \XXX]
+% dans le cas des corps de fonctions, il faut $q^{(g-1)s}$
+% dans fonction $ζ$
+
\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
Compte tenu de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$,
@@ -3046,8 +3067,7 @@ et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x
Notons que $ζ_K(s)=∏_{x ∈Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} ζ_{K_x}(s)$
où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] \XXX
-\subsubsection{}
-Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
+\subsubsection{}Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s},
\]
@@ -3068,6 +3088,13 @@ archimédienne}. On étend cette notation au
cas de la caractéristique positive en posant
$\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$, ou encore : $r_𝐑=r_𝐂=0$.
+\subsubsection{}Si $K$ est un corps de fonctions, extension finie
+de $𝐅_p(t)$, on a également
+\[
+ζ_K(s)=ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x | ∞} ζ_x.
+\]
+\XXX
+
\subsubsection{}
\label{fonction zêta étendue}
Enfin, on pose :
@@ -3081,27 +3108,103 @@ fonctionnelle (cf. \ref{} \emph{infra}).
\subsubsection{Corps des rationnels}
La fonction zêta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction
-zêta de Riemann, considérée par Euler dès [...].
-On a
+zêta de Riemann\index{fonction zêta de Riemann}\footnote{Rappelons que cette
+série a été considérée, du moins évaluée en les entiers
+positifs, par Euler dès les années \oldstylenums{1730}
+environ. Voir \cite{Euler@Kurokawa} pour un panorama
+des résultats d'Euler. Domaine complexe ($\Re(s)>1$) : Čebyšev ; référence ? \XXX.}
+\[
+ζ(s)=∑_{n ≥ 1} n^{-s}=∏_p (1-p^{-s})^{-1}.
+\]
+% « Variae observationes circa series infinitas , théorème 8
+% pour la formule du produit.
+On a, par définition,
+\[
+\chap{ζ}_𝐐=ζ ⋅ Γ.
+\]
+D'autre part, on peut vérifier que l'on a l'égalité
\[
-\chap{ζ_𝐐}=ζ ⋅ Γ.
+\chap{ζ}_𝐐(s)=∫₀^{+ ∞} θ(x) x^{½s-1} dx,
\]
+où $θ(x)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² x}$ et
+l'on suppose par exemple $s>1$. % \XXX
+Cette égalité est le point de départ de
+la démonstration classique de l'équation fonctionnelle
+de la fonction zêta de Riemann obtenue
+en appliquant la formule de Poisson réelle à $θ$.
-\subsubsection{$𝐅_p(t)$}
-$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
+Soit
+\[
+ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s).
+\]
+Pour chaque réel $s>1$, on a l'égalité
+\[
+ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s}.
+\]
+Le terme de droite étant convergeant dès que $s>0$
+(série alternée), on peut étendre $ζ^⋆$ à $𝐑_{>0}$ et l'on a
+$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en déduit que la fonction zêta
+de Riemann a un pôle simple en $s=1$ et se prolonge en une
+fonction analytique sur $\{s:s>0\}$. De plus,
+le résidu de $\chap{ζ}_𝐐$ en $1$ est [...] \XXX.
+
+Nous verrons ci-après des généralisations (corps global
+quelconque) des deux observations précédentes),
+démontrées par voie adélique.
+
+\begin{exercice2}
+Montrer, à la manière d'Euler, que
+$ζ^⋆(0)=\frac{1}{1+x}|_{x=1}$ (resp. $ζ^⋆(-1)=\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})|_{x=1}$)
+et en déduire les « formules »
+\[
+ζ(0)=-½
+\]
+et
+\[
+ζ(-1)=-\frac{1}{12}.
+\]
+\end{exercice2}
+% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).
+
+\subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}
+Il résulte de la factorialité de l'anneau $𝐅_p[t]$
+que l'on a l'égalité :
+\[
+ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} N(f)^{-s}
+\]
+où $N(f)=p^{\deg(f)}$. Il en résulte que
+\[
+ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{d ≥ 1} p^d ⋅ p^{-ds}=(1-p^{1-s})^{-1}
+\]
+et finalement que
+\[
+ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})^{-1}ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
+\]
+Comme d'autre part $g_{𝐅_p(t)}=0$ d'où $|d_{𝐅_p(t)}|^½=p^{-1}$,
+on a
+\[
+\chap{ζ}_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{p^{-s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}.
+\]
+Cette fonction est visiblement invariante par le changement
+la transformation $s ↔ 1-s$, s'étend en une fonction
+méromorphe sur $𝐂$ à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement
+et ayant pour résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
+% colle bien avec le $-h_K/(1-q)$.
\subsubsection{$𝐐(i)$}
$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
-Objectif.
+\subsection{L'équation fonctionnelle de la fonction zêta : énoncé}
+Objectif : démontrer le théorème suivant.
\begin{théorème2}
-Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
+La fonction $ζ_K$ Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
-∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$=….
+∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$
+égal à … ou $-h_K/(1-q)$.
\end{théorème2}
Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})