summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 20:53:53 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 20:53:53 +0200
commitbca66de0f326ac180b57976b19c70f286ac8ed42 (patch)
treeb876cf911715f31e26d1e6073a0a50d1422b3434 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent57a44ec801fdb1d96b8e928910d65a9d3f91ab83 (diff)
downloadgalois-bca66de0f326ac180b57976b19c70f286ac8ed42.zip
galois-bca66de0f326ac180b57976b19c70f286ac8ed42.tar.gz
galois-bca66de0f326ac180b57976b19c70f286ac8ed42.tar.bz2
[LC] modifications mineures
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex52
1 files changed, 35 insertions, 17 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index d140f66..1ec7c8f 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -754,17 +754,21 @@ Soient $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et $f ∈
\item La fonction $f_{|K^×} ⋅ χ$ appartient à
$L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$ dès lors que $\Re(χ)>0$.
\item La fonction $s ↦ ∫_{K^×} f χ ω_s  dμ^{\mbox{\minus $×$}}$
-est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>\Re(χ^{-1})=-\Re(χ)$.
+est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>\Re(χ^{-1})$.
+\item Si $K$ est ultramétrique, la fonction précédente appartient à $𝐂[q^s,q^{-s}]$.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}
+Notons que $\Re(χ^{-1})=-\Re(χ)$ pour tout quasi-caractère
+multiplicatif $χ$.
+
\begin{démo}
(i) L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
immédiatement du fait que $f$ est à décroissance rapide en
l'infini. Pour démontrer l'intégrabilité sur le fermé $|x| ≤ 1$,
il suffit de vérifier la convergence de l'intégrale
\[
-∫_{|x|<1} ω_σ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁
+∫_{|x|<1} ω_σ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}
\]
pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Ce résultat est classique dans
le cas archimédien et résulte du calcul précédent dans le
@@ -773,13 +777,13 @@ $\{x ∈ K: |x|<1\}$ est l'idéal maximal $𝔪$.
(ii) Si $K$ est archimédien, l'holomorphie est classique ;
cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}.
-Si $K$ est ultramétrique, l'intégrale est une fraction
-rationnelle en $q^{-s}$. En effet, $f$ ne prend qu'un nombre
-fini de valeurs ; on utilise
-alors les formules explicites de \ref{calcul explicite
-intégrale quasi-caractère}, jointe à la formule triviale :
-$(χ ω_s)(y)=χ(y) |y|^{-s}$ pour $y ∈ K^×$.
-(On rappelle que $|y| ∈ q^𝐙$.)
+Si $K$ est ultramétrique, il suffit de démontrer (iii).
+
+(iii). La fonction $f$ ne prenant qu'un nombre fini de
+valeurs, cela résulte des formules explicites de \ref{calcul explicite
+intégrale quasi-caractère} et de la formule triviale :
+$(χ ω_s)(y)=χ(y) |y|^{-s}$ pour $y ∈ K^×$,
+où, rappelons-le, $|y| ∈ q^𝐙$.
\end{démo}
\subsubsection{Fonction zêta locale}
@@ -791,8 +795,8 @@ intégrable, on pose :
ζ_ψ(χ,f)= ∫_{K^×} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
\]
où l'on rappelle que la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
-n'est autre que la mesure de Haar associée (\ref{sorites
-mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
+n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
+le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
On a vu précédemment que $ζ_ψ(χ,f)$ à un sens dès lors que $\Re(s)>0$ et $f ∈ 𝒮(K)$.
@@ -809,19 +813,33 @@ Alternativement, on pourrait — à l'aide de la proposition
de variété analytique (cf. p. ex. \cite[chap. Ⅱ]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
Nous ne le ferons pas.
-\subsubsection{}
+\begin{proposition2}
\label{zêta local dans cas net}
-Si $f=𝟭_𝒪$, $χ$ net, et $ψ$ de niveau nul, on
-a :
+Soit $ψ$ un caractère additif non trivial de niveau nul d'un
+corps ultramétrique $K$.
+\begin{enumerate}
+\item Si $χ$ est un quasi-caractère multiplicatif net,
+\[
+ζ_ψ(χ,𝟭_𝒪)=\frac{1}{1-χ(ϖ)}.
+\]
+\item Si $χ$ est un caractère ramifié (non net), on a
\[
-ζ_ψ(χ,f)=\frac{1}{1-χ(ϖ)}.
+ζ_ψ(χ,𝟭_𝒪)=0.
\]
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
Cela résulte immédiatement de \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.
Compte tenu de l'égalité $(χ ω_s)(ϖ)=χ(ϖ)q^{-s}$,
-on peut réécrire la formule précédente sous la forme : $ζ_ψ(s,χ,f)=(1-χ(ϖ)q^{-s})^{-1}$.
+on peut réécrire la formule (i) sous la forme : $ζ_ψ(s,χ,𝟭_{𝒪})=(1-χ(ϖ)q^{-s})^{-1}$.
% [Bushnell-Henniart] 23.4
-Cette observation, généralement attribuée à Margaret
+\end{démo}
+
+La formule (i), qui rappelle sans équivoque un facteur
+eulérien, est généralement attribuée à Margaret
Matchett (thèse, 1946), est le point de départ de la méthode de Iwasawa Kenkiti et John Tate pour
l'étude des fonctions zêta \emph{globales}.