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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-22 18:30:06 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-22 18:30:06 +0100
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treefb42d6ceb53904043a7c31325a45f7ca437ab239 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] re-clarifications
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex50
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index 0940c36..eefb5c6 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2068,8 +2068,9 @@ Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert den
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
-\subsubsection{}
+\subsubsection{Exemples}
\label{sections globales droite projective}
+\label{exemples U-entiers}
Par exemple, si $K=𝐅_p(t)$ et $Σ=Σ(𝐅_p(t))$, on a $𝒪_{K}(Σ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle
sans pôle est une constante. Plus précisément, si
l'on a $|f|_P ≤ 1$ pour chaque $P ∈ 𝐅_p[t]$
@@ -2077,8 +2078,13 @@ irréductible et que l'on écrit $f=a/b$ avec $a,b ∈ 𝐅_p[t]$ premiers entre
alors $P$ ne divise pas $b$ si bien que $b$ est
finalement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$
(absence de pôle à l'infini).
+
+Si $U ↔ \{||_{P_i}\}$ [...]
+
Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_K(Σ)=𝐙$.
+
+
\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
@@ -2255,6 +2261,12 @@ $A$ est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
\end{démo}
+\begin{remarque2}
+\label{normalise dans étale donc fini}
+Il résulte de \refext{AC}{} que si $L\bo K$ est étale,
+$𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
+\end{remarque2}
+
\section{Adèles, idèles}
\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}
@@ -3242,7 +3254,7 @@ $g_{𝐅_p(t)}=0$. \XXX
\begin{corollaire2}
\label{RR et existence de fonctions}
-Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$. En particulier, $l(𝔞)>0$ si $\deg(𝔞) ≥ 2g$.
+Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$.
\end{corollaire2}
\begin{proposition2}
@@ -3268,34 +3280,30 @@ sur $𝐅_p$, engendré par $φ$. L'extension
$K \bo K₀$ est finie et, par construction,
$U$ s'envoie par $π: Σ=Σ(K) → Σ₀=Σ(K₀)$
sur les places « finies » de $K₀$.
-L'anneau $𝒪_K(U)$ contient $𝒪_K(Σ-∞)$ qui est,
+L'anneau $B=𝒪_K(U)$ contient $A=𝒪_K(Σ-∞)$ qui est,
d'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale}
la clôture intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀-∞)$.
Cet anneau est $𝐅_p[φ]$, de corps des fractions $K₀$.
-Il en résulte \refext{AC}{} que le corps des fractions
-de $𝒪_K(Σ-∞)$ — et \emph{a fortiori} celui de $𝒪_K(U)$ —
+Il en résulte (\refext{AC}{}) % commutation normalisation à localisation
+que le corps des fractions de $𝒪_K(Σ-∞)$ — et \emph{a fortiori} celui de $𝒪_K(U)$ —
est $K$.
-Considérons maintenant un sous-corps global premier $K₀$ de $K$
-tel que l'extension $K \bo K₀$ soit séparable. Pour chaque $U$
-comme précédemment, il existe $U′$ et $U″$ dans $Σ(K)$, \emph{saturés}
-tels que $U′ ⊆ U ⊆ U″$. En particulier, $A=𝒪_K(U″)$
-est contenu dans $B=𝒪_K(U)$, lui-même contenu dans $C=𝒪_K(U′)$.
-D'après \emph{loc. cit.}, \refext{AVD-D}{Krull-Akizuki},
-et le cas particulier $K=K₀$ facile de la proposition %\XXX
-les anneaux $A$ et $C$ sont des anneaux de Dedekind, de type fini sur $𝐅_p$.
-Il en résulte d'une part que $B$ est nœthérien et d'autre part que
-c'est une $A$-algèbre de type fini. Comme $A$ et $B$ ont même corps des
-fractions, il en résulte que $B=A[a^{-1}]$ pour un élément $a$ de $A$.
-(Écrire $B=A[x₁,…,x_n]$, $x_i=b_i/a_i ∈ K=\Frac(A)$ et mettre au même
-dénominateur.) Il en résulte que $B$ est un localisé de $A$
-et, par conséquent (\refext{AVD-D}{}) un anneau de Dedekind.
+Il résulte du théorème de Krull-\jap{秋月} (\refext{AVD-D}{Krull-Akizuki})
+que l'anneau $B$ est nœthérien, de dimension $1$.
+On sait d'autre part qu'il est normal (cf. \ref{}) ; c'est donc un anneau de
+Dedekind.
+Pour montrer qu'il est de type fini sur $k$, on peut rétrécir $U$ (ce
+qui agrandit $𝒪_K(U)$) et le supposer saturé relativement au sous-corps
+global premier $K₀$. Quitte à changer $K₀$, c'est-à-dire $φ$,
+on peut supposer $K \bo K₀$ séparable. Comme observé en \ref{normalisé dans étale donc fini},
+l'anneau $𝒪_K(U)$ est alors fini (comme module) sur $𝒪_{K₀}(U₀)$. D'après \ref{exemples U-entiers}, ce dernier
+est une $k$-algèbre de type fini. CQFD.
\end{démo}
\begin{remarque2}
Munissons l'ensemble $Σ$ de la topologie suivante,
dite de Zariski (cf. \refext{AC}{}) : un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou vide.
-Le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneau et la paire
-$(Σ,𝒪_K)$ (« espace annelé ») est un schéma. C'est une courbe projective lisse
+Le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
+$(Σ,𝒪_K)$ (« espace annelé ») est un \emph{schéma}. C'est une courbe projective lisse
sur $𝐅_p$.
\XXX
\end{remarque2}