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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 14:16:45 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 14:16:45 (GMT)
commitc75cdf1d9d6c3b630e0fa3d0ed14d5fe14d24cc9 (patch)
tree7019e7c9d7d505f65fff854dd2772e5c8a96b9fd /chapitres/locaux-globaux.tex
parent24f328d8fe1278eb11e77b8aad9b76c7815b734d (diff)
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[LG] p-rang + sauvegarde K_A (x) L = L_A avant réécriture
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex59
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 6f41ca3..a7d9606 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2219,6 +2219,26 @@ Ainsi, $y$ séparable sur $𝐅_p(x)$
et l'extension $K \bo 𝐅_p(x)$ est étale.
\end{démo}
+\begin{corollaire2}
+\label{p-rang-corps-global-égal-1}
+Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
+Alors, le degré de $K$ sur son sous-corps $K^p$
+des puissances $p$-ième est égal à $p$.
+En d'autres termes, le \emph{$p$-rang} (\refext{RT}{définition-p-rang})
+de $K$ est égal à $1$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Il est clair que $𝐅_p(t)^p=𝐅_p(t^p)$ et que l'on a l'égalité
+$[𝐅_p(t):𝐅_p(t)^p]=p$. D'autre part, on a vu en
+\refext{RT}{p-rang-invariant-par-extension-finie}
+que cette égalité passe aux extensions finies (non nécessairement
+étales).
+Pour une démonstration \emph{ad. hoc.}, cf.
+\cite[VIII.§6, lemme 1]{BNT@Weil}.
+\end{démo}
+
+
\subsubsection{}Un corps global est donc une extension finie
étale d'un \textbf{corps global premier}, un tel corps
étant par convention égal à $𝐐$ ou isomorphe à un corps
@@ -2298,7 +2318,7 @@ l'anneau $𝒪_L(V)$ en est la clôture intégrale dans $L$.
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
-On montrera plus tard (\ref{RR implique Dedekind}) que l'anneau $𝒪_K(U)$
+On montrera plus tard (\ref{RR implique Dedekind de type fini}) que l'anneau $𝒪_K(U)$
est, sauf exception, un anneau de Dedekind de corps
des fractions $K$.
@@ -2727,16 +2747,33 @@ Soit $a ∈ 𝒪_K$ tel que $a 𝒪_L ⊆ 𝒪_K α₁ + \cdots + 𝒪_K α_n$
et soit $b ∈ 𝒪_K$ tel que $b (𝒪_K α₁ + \cdots + 𝒪_K α_n) ⊆ 𝒪_L$
(cf. \refext{??}{} \XXX). L'égalité désirée a lieu
dès que $a$ et $b$ sont $s$-entiers, ce qui est le cas pour
-presque tout $s$.
-
-Cas général. Il suffit de traiter le cas d'une extension finie radicielle,
-de degré $p$. C'est le même argument, à ceci près qu'il n'y a qu'une place
-au-dessus de $s$. Le fait que $K_s ⊗_K L ↠ L_{s′}$ soit
-un isomorphisme doit résulter du fait que le terme de droite
-est une extension non triviale radicielle de $L$ (d'où l'isomorphisme
-pour des raisons de degré). [Variante :
-le radical de $K_s ⊗_K L$ est nul car $K_s \bo K$ est
-séparable. (?)]
+presque tout $s$. Ceci achève la démonstration dans le cas
+d'une extension étale et, par conséquent, lorsque $K$ est de caractéristique
+nulle.
+
+Cas d'une extension non nécessairement étale.
+On peut supposer l'extension $L\bo K$ finie radicielle
+de degré $p>0$, lorsque $K$ est un corps global de caractéristique $p$.
+Soit $s$ une place de $K$. D'après \refext{AVD-D}{finitude préservée par
+complétion}, il existe une unique place $s′$ de $L$ au-dessus de $K$
+et le morphisme canonique $K_s ⊗_K L → L_{s′}$ est \emph{surjectif}.
+Vérifions que c'est un isomorphisme. Il résulte de la surjection
+précédente que le corps $L_{s′}$ est monogène sur $K_s$, radiciel
+de degré $1$ ou $p$. D'après \ref{p-rang-corps-global-égal-1}, l'extension $L\bo K$ est
+isomorphe à $L\bo L^p$. Si on avait l'égalité $L_{s′}=K_s$,
+tout élément de $K$ serait une puissance $p$-ième dans $K_s$
+(puisqu'il en est ainsi dans $L$). Par continuité du Frobenius,
+et densité de $K$ dans $K_s$, on aurait alors $K_s=K_s^p$
+ce qui est absurde, comme on le voit en considérant par exemple
+une uniformisante de $K_s$. Ainsi, $K_s ⊗_K L$ et $L_{s′}$
+sont de degré $p$ sur $K_s$ ; le morphisme ci-dessus est donc
+un isomorphisme. (Un autre argument consiste à utiliser
+le fait que le noyau du morphisme $K_s ⊗_K L → L_{s′}$
+est le radical de $K_s ⊗_K L$, qui est trivial car l'extension
+$K_s \bo K$ est \emph{séparable}. C'est un résultat
+d'« excellence », qui se ramène aisément à la séparabilité
+de l'extension $𝐅_p((t))\bo 𝐅_p(t)$ établie en \refext{RT}{} \XXX.)
+
Cf. \cite[VIII, §6]{BNT@Weil}. \XXX
Trace. \XXX