[LG] fin Dirichlet abstrait

1 files changed, 32 insertions, 8 deletions

diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 17f9f9f..54e7d90 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3125,19 +3125,43 @@ d'idèles de norme $1$. Prendre garde au fait que $C_K$ n'est
 \label{theoreme-unites-abstrait}
 L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, où $K^×$ est muni de la
 topologie discrète, est un isomorphisme modulo les compacts.
+En particulier, $C_K^{=1}$ est \emph{compact}.
 \end{théorème2}
 
 \begin{démo}
-$K^×$ est discret dans $K^{×,=1}_𝐀$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et
-la topologie de $K^{×,=1}_𝐀$ induite
-$A^×_K ⊆ K_𝐀$ est continu. Il « suffit » de montrer
-que $μ(K^×_𝐀/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
-de $K_𝐀/K$ et le lemme \ref{topologies induites coincident}.
-Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration
-repose sur RR.
+La discrétion de $K^×$ dans $K^{×,=1}_𝐀$ ou,
+de façon équivalente dans $K^×_𝐀$, résulte
+de celle de $K$ dans $K_𝐀$ et de la continuité
+de l'injection $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$.
+Montrons maintenant que le quotient $K^{×,=1}_𝐀/K^×$
+est compact en utilisant la compacité du quotient $K_𝐀/K$
+et le résultat de comparaison \ref{topologies induites coïncident}.
+Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar sur le groupe
+(localement compact) $K_𝐀$ des adèles et notons $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}$
+la mesure induite (\ref{module quotient}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adèles par le groupe
+discret cocompact $K$. Le groupe des adèles n'étant \emph{pas} compact \XXX,
+il existe d'après \ref{caractérisation compacité par mesure}
+un compact $C₀$ de $K_𝐀$ tel que
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}(C₀)>\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$.
+Soit $C$ l'ensemble des différences $\{g-h:g,h ∈ C₀\} ⊆ K_𝐀$ ;
+c'est un compact de $K_𝐀$ par continuité de la soustraction,
+séparation de $K_𝐀$ et compacité de $C₀$.
+Notons $C^{=1}$ l'intersection $C ∩ K_𝐀^{=1} =C ∩ K_𝐀^{×,=1}$.
+C'est un compact de $K_𝐀$, étant intersection du compact $C$
+avec le fermé $K_𝐀^{=1}$ de $K_𝐀$ (\ref{topologies induites coïncident}).
+Les deux topologies induites sur $K_𝐀^{=1}=K_𝐀^{×,=1}$ coïncidant,
+$C^{=1}$ est donc un compact du groupe des idèles de norme $1$.
+Montrons maintenant que $C^{=1}K^×=K_𝐀^{×,=1}$, ce qui suffit
+pour montrer la compacité du quotient $K_𝐀^{×,=1}/K^×$.
+Soit $f ∈ K_𝐀^{×,=1}$. Comme $μ^{\mbox{\minus
+$+$}}(f^{-1}C₀)>\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$,
+il existe deux éléments distincts $g,h ∈ C₀$ tels que
+$f^{-1}g-f^{-1}h = λ ∈ K$. En conséquence, $f = λ^{-1}(g-h)$ appartient
+à $K^× C$, et même à $K^× C^{=1}$ car $|f|=1$. CQFD.
 \end{démo}
 
-Le théorème précédent a fameux corollaire suivant.
+Le théorème précédent a pour corollaire le fameux
+théorème de Dirichlet suivant.
 
 \begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
 \label{theoreme-unites-Dirichlet}