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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-08-30 17:58:48 +0200 |
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committer | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-08-30 17:58:48 +0200 |
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[LG] fin Dirichlet abstrait
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 17f9f9f..54e7d90 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -3125,19 +3125,43 @@ d'idèles de norme $1$. Prendre garde au fait que $C_K$ n'est \label{theoreme-unites-abstrait} L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, où $K^×$ est muni de la topologie discrète, est un isomorphisme modulo les compacts. +En particulier, $C_K^{=1}$ est \emph{compact}. \end{théorème2} \begin{démo} -$K^×$ est discret dans $K^{×,=1}_𝐀$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et -la topologie de $K^{×,=1}_𝐀$ induite -$A^×_K ⊆ K_𝐀$ est continu. Il « suffit » de montrer -que $μ(K^×_𝐀/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité -de $K_𝐀/K$ et le lemme \ref{topologies induites coincident}. -Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration -repose sur RR. +La discrétion de $K^×$ dans $K^{×,=1}_𝐀$ ou, +de façon équivalente dans $K^×_𝐀$, résulte +de celle de $K$ dans $K_𝐀$ et de la continuité +de l'injection $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$. +Montrons maintenant que le quotient $K^{×,=1}_𝐀/K^×$ +est compact en utilisant la compacité du quotient $K_𝐀/K$ +et le résultat de comparaison \ref{topologies induites coïncident}. +Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar sur le groupe +(localement compact) $K_𝐀$ des adèles et notons $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}$ +la mesure induite (\ref{module quotient}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adèles par le groupe +discret cocompact $K$. Le groupe des adèles n'étant \emph{pas} compact \XXX, +il existe d'après \ref{caractérisation compacité par mesure} +un compact $C₀$ de $K_𝐀$ tel que +$μ^{\mbox{\minus $+$}}(C₀)>\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$. +Soit $C$ l'ensemble des différences $\{g-h:g,h ∈ C₀\} ⊆ K_𝐀$ ; +c'est un compact de $K_𝐀$ par continuité de la soustraction, +séparation de $K_𝐀$ et compacité de $C₀$. +Notons $C^{=1}$ l'intersection $C ∩ K_𝐀^{=1} =C ∩ K_𝐀^{×,=1}$. +C'est un compact de $K_𝐀$, étant intersection du compact $C$ +avec le fermé $K_𝐀^{=1}$ de $K_𝐀$ (\ref{topologies induites coïncident}). +Les deux topologies induites sur $K_𝐀^{=1}=K_𝐀^{×,=1}$ coïncidant, +$C^{=1}$ est donc un compact du groupe des idèles de norme $1$. +Montrons maintenant que $C^{=1}K^×=K_𝐀^{×,=1}$, ce qui suffit +pour montrer la compacité du quotient $K_𝐀^{×,=1}/K^×$. +Soit $f ∈ K_𝐀^{×,=1}$. Comme $μ^{\mbox{\minus +$+$}}(f^{-1}C₀)>\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$, +il existe deux éléments distincts $g,h ∈ C₀$ tels que +$f^{-1}g-f^{-1}h = λ ∈ K$. En conséquence, $f = λ^{-1}(g-h)$ appartient +à $K^× C$, et même à $K^× C^{=1}$ car $|f|=1$. CQFD. \end{démo} -Le théorème précédent a fameux corollaire suivant. +Le théorème précédent a pour corollaire le fameux +théorème de Dirichlet suivant. \begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet] \label{theoreme-unites-Dirichlet} |