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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 20:18:59 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 20:18:59 (GMT)
commitcac3eeb7267df16fa0ec47ffec5bce8cd1679979 (patch)
tree50bedb992ed1c9d5926692f6b60fb729149590a8 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent799cb3bba9ec7d8224f71cc1d2031ea07ae6cf59 (diff)
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[LG] trace et dualité (suite et fin)
Il faudrait peut-être vérifier/justifier les passages à la limite (que je crois triviaux).
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex55
1 files changed, 23 insertions, 32 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 936db66..279c868 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2792,38 +2792,29 @@ $(λ_i)↦ ∑_i ι_u(λ_i) α_i$ est un isomorphisme.
Le (i) résulte de \refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion}.
Le (ii) résulte de l'hypothèse faite sur les $(α_i)$ ci-dessus.
-Supposons $L\bo K$ étale et montrons que la trace met $L_𝐀$ en dualité
-(sur $K_𝐀$) avec lui-même. Soit $a=(a_y)_{y ∈ Σ(L)} ∈ L_𝐀$ tel que $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]=0$.
-Pour chaque place $s$ de $K$, la $K_x$-forme linéaire
-\mbox{$\Tr_{L_x\bo K_x} ∘ [× a_x]$} est nulle, où $a_x=(a_y)_{y↦ x}$.
-La $K_x$-algèbre $L_x$ étant isomorphe à $K_x ⊗_K L$, elle est
-étale de sorte que $a_x=0$ (\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}).
-Montrons maintenant que toute forme linéaire $φ$ est du type annoncé.
-Quitte à rétrécir $U$ comme ci-dessus, on peut supposer, par passage
-à la (co)limite, les faits suivants.
-\begin{enumerate}
-\item La forme linéaire $φ$ provient d'une $K_𝐀(U)$-forme linéaire $φ_U:L_𝐀(U) → K_𝐀(U)$.
-\item Le morphisme $\Tr_{𝒪_L(U)\bo 𝒪_K(U)}$ est surjectif, c'est-à-dire d'image $𝒪_K(U)$.
-\item Les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(U)^×$.
-\end{enumerate}
-Pour (ii), on utilise le fait que le morphisme
-$\Tr_{L\bo K}:L → K$, colimite
-des morphismes $\Tr_{𝒪_L(U′)\bo 𝒪_K(U′)} : 𝒪_L(U′) → 𝒪_K(U′)$ pour $U′ ⊆
-U$, est \emph{surjectif}.
-Montrons que pour un tel $U$, on a l'égalité $φ_U = \Tr_{L_𝐀(U)\bo K_𝐀(U)} ∘ [×a]$
-avec $a ∈ L_𝐀(U)$ ; il suffit de le faire lorsque $φ_U$ est un élément
-$α_i^∨$ de la base duale des $α₁,…,α_d$, vus dans $L_𝐀(U)$.
-Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$ et chaque indice $1 ≤ j ≤ d$,
-notons $α_{j,x} ∈ L_x$ la $x$-composante de l'élément $α_j$.
-Comme chaque extension $L_x \bo K_x$ est étale, il résulte de \emph{op. cit.} qu'il existe
-un élément $a_{i,x} ∈ L_x$ tel $\Tr_{L_x\bo K_x}(α_{j,x} a_{i,x})$ vaut $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.
-
-Soit $u ∈ U$. Par (i), la $u$-composante de l'image de $φ_U$
-est contenue dans $𝒪_{K,u}$ et coïncide avec $\Tr_{𝒪_{L,u}\bo 𝒪_{K,u}}(a_u 𝒪_{L,u})$.
-Par (ii), [...]
-Il faut montrer que $a ∈ L_𝐀$, c'est-à-dire que $a_u ∈ 𝒪_{L,u}$ pour chaque $u ∈ U$.
-
-
+Supposons $L\bo K$ étale et montrons que l'accouplement
+$⟨ ,⟩_𝐀:L_𝐀 ⊗_{K_𝐀} L_𝐀→ L_𝐀$, $a ⊗ b↦ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(a b)$, met
+$L_𝐀$ en dualité avec lui-même (sur $K_𝐀$).
+Soit $a ∈ L_𝐀$ tel que $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]=0$,
+c'est-à-dire dans l'orthogonal de $L_𝐀$.
+Pour chaque place $x$ de $K$ cet accouplement induit par
+changement de base $K_𝐀 → K_x$ l'accouplement
+$⟨ ,⟩_x:L_x ⊗_{K_x} L_x → L_x$ donné par la trace de $L_x$ à $K_x$, parfait
+d'après \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}
+et le fait que $L_x ≃ L ⊗_K K_x$ est une $K_x$-algèbre étale.
+Ainsi chaque $a_x ∈ L_x$ est nul et finalement $a=0$, comme attendu.
+Soient $U$ et les $(α_i)$ comme ci-dessus. Il nous faut montrer
+qu'il existe des éléments $α_j^∨ ∈ L_𝐀$ tels que
+$⟨α_i,α_j^∨⟩=δ_{i,j}$, c'est-à-dire $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.
+D'après ce qui précède, il existe des $α_j^∨$ dans le produit (non
+restreint) $∏_{x ∈ Σ(K)} L_x=∏_{y ∈ Σ(L)} L_y$ tel que pour chaque $x$
+on ait $⟨α_{i,x},α_{j,x}^∨⟩_x=δ_{i,j}$. Pour conclure, il faut montrer
+que chaque $α_j^∨$ appartient à l'anneau des adèles $L_𝐀$.
+Or, l'accouplement parfait $⟨ ,⟩_K: L ⊗_K L → L$
+déduit de la trace est la colimite des accouplements
+$⟨ ,⟩_{U′}: 𝒪_L(U′) ⊗_{𝒪_K(U ′)} 𝒪_L(U′) → 𝒪_L(U′)$ pour $U′ ⊆ U$.
+Ainsi, quitte à rétrécir $U$, on peut supposer $⟨ ,⟩_U$ parfait.
+Pour un tel $U$, chaque $α_j^∨$ appartient à $L_𝐀(U) ⊆ L_𝐀$. CQFD.
\end{démo}