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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-04 18:47:50 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-04 18:47:50 +0100
commitcbaeb0e498430732d3b564f71724b63c577174c6 (patch)
tree296dddad5b003e9c3a82066b341e4ce7eca57129 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] esquisse méthode 岩沢-Tate
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex64
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index b33d019..3868bee 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3179,6 +3179,68 @@ Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected
algebraic number theory », Colmez (F.2.15),
et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
+\subsubsection{Esquisse}
+Soit $K^{×, ≤1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $i$ tels que $|i| ≤ 1$
+et soit $χ$ un caractère idélique trivial sur $K^×$.
+Fixons un caractère adélique $ψ$ trivial sur $K$.
+Posons
+\[
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)= ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
+\]
+où [...],
+et de même pour $ζ_{ψ, ≥ 1}$. Cela converge lorsque $f…$ \XXX.
+Soit $D_{≤ 1}$ un domaine fondamental pour l'action de $k^×$
+sur $K^{×, ≤1}_𝐀$.
+Cette transformée de Mellin tronquée (demi-? \XXX)
+est égale à la somme $∑_{λ ∈ K^×} ∫_{D_{≤ 1}} f(λ i) χ(i)
+|i|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$, que l'on peut réécrire :
+\[
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)
+= ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ i) \big) χω_s (i) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}
+- f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} χω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
+\]
+D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch},
+on a donc, suite à un changement de variable $i ↔ i^{-1}$,
+\[
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) =
+ζ_{ψ,≥ 1}(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\check{χ},1-s).
+\]
+
+Si $χ$ est trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=
+\frac{C}{s}$ où $C=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$.
+Sinon, $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$. (Orthogonalité des caractères.)
+
+En conséquence, $ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)$
+est égal à
+\[
+ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ψ, ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s)+
+C⋅ \big( \frac{ℱ_ψ(f,0)}{s-1}-\frac{f(0)}{s} \big),
+\]
+le second terme n'apparaissant que si $χ$ est trivial.
+Sous réserve de convergence, il résulte de la formule
+d'inversion de Fourier (et du caractère involutif de $χ
+↦ \check{χ}$) que
+\[
+ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s).
+\]
+
+On applique cette formule à
+\[
+g= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
+\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+\]
+où les fonctions $g_{K_x}$ sont comme en \ref{fonction zêta archimédienne}
+et $χ$ est le caractère trivial.
+
+Soit $S$ l'ensemble des places telles que $n(ψ_x) ≠ 0$
+ou $x$ archimédien.
+On obtient
+\[
+ζ_K(s)/ζ_K(1-s) = ∏_{x ∉ S} \text{ facteurs locaux simples}.
+\]
+
+[...]
+
Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.
@@ -3196,7 +3258,7 @@ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty
Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
-\subsection{$ζ(s,χ,f)$}
+\subsection{$ζ(f,χ,s)$}
\begin{théorème2}
Théorème de (Iwasawa?)-Tate.