summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-18 18:27:43 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-18 18:27:43 +0100
commitcc2f0b017ca74c325ca2130981cdf13ae464eaf2 (patch)
tree12741cb93517bccfceb2444759625440bb93cc44 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent3db44dc8c7d2c3eb701efa043168776153243621 (diff)
downloadgalois-cc2f0b017ca74c325ca2130981cdf13ae464eaf2.zip
galois-cc2f0b017ca74c325ca2130981cdf13ae464eaf2.tar.gz
galois-cc2f0b017ca74c325ca2130981cdf13ae464eaf2.tar.bz2
[LG] Iwasawa-Tate implique équ. fonct. zêta (début esquisse)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex40
1 files changed, 26 insertions, 14 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index c15cdc7..6d08ef3 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1637,14 +1637,17 @@ $Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$ vaut $\frac{χ(x) q^e }{1-q^{-1}} (\frac{X}{q})^{r}$
si ${χ₁}_{| 1+𝔪^{e-r}}=1$ et $0$ sinon.
\begin{remarque2}
+\label{Matchett}
La formule
\[
ζ(𝟭_𝒪,χ \text{ net},s)=\frac{1}{1-χ(ϖ)|ϖ|^s}
\]
rappelle sans équivoque un facteur eulérien, analogue
des facteurs Gamma considérés ci-dessus.
-Généralement attribuée à Margaret Matchett (thèse, 1946),
-cette formule est un des points de départ de la méthode
+(Rappelons que la notation sous-entend que
+la caractère additif $ψ$ utilisé est de niveau nul.)
+Généralement attribuée à Margaret Matchett (thèse « On the Zeta Function for
+Ideles », 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
— due indépendamment à Iwasawa Kenkiti et John Tate — pour
démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
\end{remarque2}
@@ -3305,7 +3308,7 @@ on a :
\[
\begin{array}{rcll}
ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres}\\
-& = & κ \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions}
+& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions}
\end{array}
\]
En effet, on trouve respectivement l'intégrale
@@ -3323,7 +3326,7 @@ Le même calcul s'applique à $ζ_{ψ, ≥1}(𝟭,χ,s)$.
\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction
\[
-ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)
+ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)=∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}
\]
est égale à
\[
@@ -3353,21 +3356,32 @@ De plus, la fonction zêta satisfait l'équation fonctionnelle
\end{théorème2}
-\subsubsection{}On applique cette formule à
+\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta} On applique cette formule à
+la fonction
\[
-g= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
+f= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
-où les fonctions $g_{K_x}$ sont comme en \ref{fonction zêta archimédienne}
-et $χ$ est le caractère trivial.
-
-Soit $S$ l'ensemble des places telles que $n(ψ_x) ≠ 0$
-ou $x$ archimédien.
+où les fonctions $g_{K_x}$ sont comme en \ref{fonction zêta archimédienne} et $χ$ est le caractère trivial.
+Fixons un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ et notons $S$ l'ensemble
+de $x ∈ Σ(K)$ tels que $n(ψ_x) ≠ 0$ ou $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
+Il résulte de la formule
+\[
+ζ_ψ(f,χ,s)=∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)
+\]
+et de \ref{Matchett} que l'on a
+\[
+ζ_ψ(f,1,s)=\sur{ζ}_K(s) × ∏_{x ∈ S} \frac{ζ_{ψ_x}(f_x,1,s)}{ζ_{K_x}(s)}.
+\]
On obtient
\[
ζ_K(s)/ζ_K(1-s) = ∏_{x ∉ S} \text{ facteurs locaux simples}.
\]
-
+D'autre part,
+\[
+ℱ_ψ(f)=\big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
+\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+\]
[...]
Voir Weil, p. 130 pour un argument formel faisant apparaître le
polynôme numérateur de $ζ_K$ dans le cas des corps de fonctions.
@@ -3389,8 +3403,6 @@ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty
Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
-\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}
-
\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}
\subsection{Le théorème de Minkowski}