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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 11:24:35 +0200
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 11:24:35 +0200
commitcd75010cce49e9c05a9d039ebe11f9f7515c3b08 (patch)
treebfec106e5db717741f40bfc0742727c67795a491 /chapitres/locaux-globaux.tex
parente81b38a4616fec7976f4d2df865f6cb09524a2bf (diff)
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[LG] cb pour adèles
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex29
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 28a2249..6f41ca3 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2705,15 +2705,19 @@ isomorphisme d'anneaux topologiques $K_𝐀 ⊗_K L ⥲ L_𝐀$
compatible avec les inclusions canoniques $K ↪ K_𝐀$
et $L ↪ L_𝐀$.
De plus, si $L\bo K$ est étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
-$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
+$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$
+pour un unique $a ∈ L_𝐀$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
Cas d'une extension étale. Pour chaque place $s$ de $K$, notons $ι_s$
-le plongement diagonal de $K_s$ dans $∏_{s′↦ s} L_{s′}$. Soit $α₁,…,α_n$ une
-base de $L$ sur $K$. Rappelons (\refext{AVD-D}{EVT sur corps valué complet} \XXX)
-que pour chaque place $s$ de $K$, le morphisme $K_s^n → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$,
-$(λ_i)↦ ∑_i ι_s(λ_i) α_i$, est un \emph{isomorphisme}.
+le plongement diagonal de $K_s$ dans $∏_{s′↦ s} L_{s′}$.
+Rappelons (\refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion})
+que pour chaque place $s$ de $K$, le morphisme $K_s ⊗_K L → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$
+déduit de $ι_s$ est un isomorphisme. En d'autres termes,
+si $α₁,…,α_n$ est une base de $L$ sur $K$,
+il en est ainsi de l'application $K_s^n → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$,
+$(λ_i)↦ ∑_i ι_s(λ_i) α_i$.
Pour démontrer le premier point, il suffit de montrer
que si l'on note $A_s$ l'anneau des $s$-entiers de $K$
et $B_{s′}$ celui des $s′$-entiers de $L$
@@ -2725,9 +2729,18 @@ et soit $b ∈ 𝒪_K$ tel que $b (𝒪_K α₁ + \cdots + 𝒪_K α_n) ⊆ 𝒪
dès que $a$ et $b$ sont $s$-entiers, ce qui est le cas pour
presque tout $s$.
-Cas général. Il suffit de traiter le cas d'une extension finie radicielle.
-Nous n'utiliserons pas ce résultat, que nous
-admettons. Cf. \cite[VIII, §6]{BNT@Weil}. \XXX
+Cas général. Il suffit de traiter le cas d'une extension finie radicielle,
+de degré $p$. C'est le même argument, à ceci près qu'il n'y a qu'une place
+au-dessus de $s$. Le fait que $K_s ⊗_K L ↠ L_{s′}$ soit
+un isomorphisme doit résulter du fait que le terme de droite
+est une extension non triviale radicielle de $L$ (d'où l'isomorphisme
+pour des raisons de degré). [Variante :
+le radical de $K_s ⊗_K L$ est nul car $K_s \bo K$ est
+séparable. (?)]
+Cf. \cite[VIII, §6]{BNT@Weil}. \XXX
+
+Trace. \XXX
+
\end{démo}