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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-12-20 18:23:17 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-12-20 18:23:17 +0100 |
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[LG] début blabla avant démonstration hypothèse de Riemann
… pour les courbes sur un corps fini ;)
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index ead47d6..9e6e59f 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4648,7 +4648,7 @@ Z_K(T)=\exp(∑_{n ≥ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††} \label{extension des scalaires pour Zêta} Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$. Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme -près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k} k_e$ obtenu à partir de $K$ +près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k k_e$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques). Les faits suivant résultent des résultats exposés en \refext{AVD-D}{} \XXX : \begin{enumerate} @@ -5080,7 +5080,7 @@ où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$. \item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière. \item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et -égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\!\log(q)𝐙$}, +égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\!\log(q)𝐙$), où $q$ est cardinal du corps des constantes de $K$) selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions. Les résidus sont $-f(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $0$ @@ -5159,6 +5159,15 @@ Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, la formule établie en \emph{loc. cit.} devient $Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de multiplicité $d$. On a donc $d=1$. CQFD. +Pour référence ultérieure, écrivons explicitement le résultat obtenu. + +\begin{théorème2}[F. K. Schmidt] +\label{théorème FKSchmidt} +Tout corps de fonctions possède un diviseur de degré $1$. +Plus précisément, pour corps de fonctions $K$ et tout entier $n ≥ 1$, il existe +exactement $h_K>0$ diviseurs de degré $n$. +\end{théorème2} + \[⁂\] @@ -5350,19 +5359,71 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier \section{Hypothèse de Riemann pour les courbes} \label{HR courbes} -\subsection{Applications du théorème de Riemann-Roch} +Dans cette section, $K$ désigne un corps de fonctions de corps des +constantes $k$, de cardinal $q$ et de caractéristique $p$. +On note $g$ le genre de $K$. -Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$. -\XXX +\subsection{Énoncé} +On a vu que la fonction Zêta de $K$ s'écrit $Z(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$, +où $P$ est un polynôme à coefficients entier de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$. +On peut donc l'écrire $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$, où les $α_i$ sont les +inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des complexes. +En identifiant la dérivée logarithmique de la fraction rationnelle $Z$ +avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions}, +on trouve immédiatement le fait suivant. + +\begin{proposition2} +Il existe $2g$ nombres algébriques $α₁,…,α_{2g}$ tels que pour chaque entier $n ≥ 1$, +on ait +\[ +N(n)=q+1-∑₁^{2g} α_i^n. +\] +De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$. +%et satisfait la relation $∏_1^{2g} α_i=q^g$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Seul le complément est à vérifier. +La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle satisfaite +par $P$ (\ref{}) d'après laquelle l'ensemble des zéros de $P$ est stable +par $z↦ 1/(qz)$. +%Il en résulte également que $∏_i α_i = ∏_i q/α_i$ d'où +%$∏_i α_i = ± q^g$. On laisse le soin au lecteur de vérifier +%que l'égalité $∏_i α_i = -q^g$ contredit l'équation fonctionnelle (et l'égalité +%$P(0)=1$) \XXX. Nous n'utiliserons pas ce fait. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +La connaissance des entiers $N(1),…,N(2g)$ détermine les valeurs de $N(n)$ +pour $n$ arbitraire. +\end{corollaire2} + +[Améliorer ($g$ suffit); cf. [Katz, p. 19] \XXX] + +L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant. + +\begin{théorème2}[Weil] +Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, on a $|α_i|=√q$. +De façon équivalente, on a +\[ +|N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2} +\] +pour chaque entier $n ≥ 1$. +\end{théorème2} + +Dans cet énoncé, $|z|$ désigne le module usuel $(z \sur{z})^½$ d'un nombre complexe. +L'implication non triviale de l'équivalence sera établie ci-dessous. \XXX + + \[⁂\] + +\begin{corollaire2} +$B_K(n) = q^n/n + O(q^{n/2})$ [cf. Gauß]. +\end{corollaire2} -Cf. Katz, « Lectures on Deligne's proof of the RH for -varieties over finite fields » (1973-74) et -\cite{Counting@Bombieri}. +[référence optimale : [Fried-Jarden] (et Katz) pour interprétation un chouia +géométrique.] -\subsubsection{}[Blabla à déplacer] -$g$ mesure la complexité de la courbe : -$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les $g$ premières -valeurs. +\subsection{Dévissage} Il suffit donc de démontrer le théorème après extension des scalaires. |