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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-20 17:23:17 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-20 17:23:17 (GMT)
commitd31e4a7f956f3f07791a56294e657a751373cd1b (patch)
tree108af6cbc5d316618b77f51bfd51e3ec3190ccdd /chapitres/locaux-globaux.tex
parentf960022ab28f8c6146a94ac162e6c08fcfe08ee5 (diff)
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[LG] début blabla avant démonstration hypothèse de Riemann
… pour les courbes sur un corps fini ;)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex85
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index ead47d6..9e6e59f 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4648,7 +4648,7 @@ Z_K(T)=\exp(∑_{n ≥ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††}
\label{extension des scalaires pour Zêta}
Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$.
Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme
-près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k} k_e$ obtenu à partir de $K$
+près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k k_e$ obtenu à partir de $K$
par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques).
Les faits suivant résultent des résultats exposés en \refext{AVD-D}{} \XXX :
\begin{enumerate}
@@ -5080,7 +5080,7 @@ où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$.
\item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière.
\item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et
-égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\!\log(q)𝐙$},
+égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\!\log(q)𝐙$),
où $q$ est cardinal du corps des constantes de $K$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
Les résidus sont $-f(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $0$
@@ -5159,6 +5159,15 @@ Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, la formule établie en \emph{loc. cit.}
devient $Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un
pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de
multiplicité $d$. On a donc $d=1$. CQFD.
+Pour référence ultérieure, écrivons explicitement le résultat obtenu.
+
+\begin{théorème2}[F. K. Schmidt]
+\label{théorème FKSchmidt}
+Tout corps de fonctions possède un diviseur de degré $1$.
+Plus précisément, pour corps de fonctions $K$ et tout entier $n ≥ 1$, il existe
+exactement $h_K>0$ diviseurs de degré $n$.
+\end{théorème2}
+
\[⁂\]
@@ -5350,19 +5359,71 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes}
\label{HR courbes}
-\subsection{Applications du théorème de Riemann-Roch}
+Dans cette section, $K$ désigne un corps de fonctions de corps des
+constantes $k$, de cardinal $q$ et de caractéristique $p$.
+On note $g$ le genre de $K$.
-Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
-\XXX
+\subsection{Énoncé}
+On a vu que la fonction Zêta de $K$ s'écrit $Z(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$,
+où $P$ est un polynôme à coefficients entier de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$.
+On peut donc l'écrire $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$, où les $α_i$ sont les
+inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des complexes.
+En identifiant la dérivée logarithmique de la fraction rationnelle $Z$
+avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions},
+on trouve immédiatement le fait suivant.
+
+\begin{proposition2}
+Il existe $2g$ nombres algébriques $α₁,…,α_{2g}$ tels que pour chaque entier $n ≥ 1$,
+on ait
+\[
+N(n)=q+1-∑₁^{2g} α_i^n.
+\]
+De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$.
+%et satisfait la relation $∏_1^{2g} α_i=q^g$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Seul le complément est à vérifier.
+La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle satisfaite
+par $P$ (\ref{}) d'après laquelle l'ensemble des zéros de $P$ est stable
+par $z↦ 1/(qz)$.
+%Il en résulte également que $∏_i α_i = ∏_i q/α_i$ d'où
+%$∏_i α_i = ± q^g$. On laisse le soin au lecteur de vérifier
+%que l'égalité $∏_i α_i = -q^g$ contredit l'équation fonctionnelle (et l'égalité
+%$P(0)=1$) \XXX. Nous n'utiliserons pas ce fait.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+La connaissance des entiers $N(1),…,N(2g)$ détermine les valeurs de $N(n)$
+pour $n$ arbitraire.
+\end{corollaire2}
+
+[Améliorer ($g$ suffit); cf. [Katz, p. 19] \XXX]
+
+L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}[Weil]
+Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, on a $|α_i|=√q$.
+De façon équivalente, on a
+\[
+|N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2}
+\]
+pour chaque entier $n ≥ 1$.
+\end{théorème2}
+
+Dans cet énoncé, $|z|$ désigne le module usuel $(z \sur{z})^½$ d'un nombre complexe.
+L'implication non triviale de l'équivalence sera établie ci-dessous. \XXX
+
+ \[⁂\]
+
+\begin{corollaire2}
+$B_K(n) = q^n/n + O(q^{n/2})$ [cf. Gauß].
+\end{corollaire2}
-Cf. Katz, « Lectures on Deligne's proof of the RH for
-varieties over finite fields » (1973-74) et
-\cite{Counting@Bombieri}.
+[référence optimale : [Fried-Jarden] (et Katz) pour interprétation un chouia
+géométrique.]
-\subsubsection{}[Blabla à déplacer]
-$g$ mesure la complexité de la courbe :
-$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les $g$ premières
-valeurs.
+\subsection{Dévissage}
Il suffit donc de démontrer le théorème après extension
des scalaires.