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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-25 17:19:25 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-25 17:19:25 +0100
commitd74787273cc9ec716202756c58c150ad624c5c74 (patch)
tree8d51c25f32c58ba9d56e2b0d9190f519bdeecde0 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] correction : Re(s)>0 ⤳ Re(s)>1 …
La fonction privilégiée devient ζ_{≥1} et non ζ_{≤1}
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex102
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 0b99a6b..eb0f991 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1520,7 +1520,7 @@ transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
Plutôt que de fixer $χ$ et introduire la variable complexe $s$
on pourrait — à l'aide de la proposition \ref{description quasi-caractères} —
munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
-de variété analytique (cf. p. ex. \cite[chap. Ⅱ]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
+de variété analytique (cf. p. ex. \cite[§2.1]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
\end{remarque2}
\subsubsection{Cas archimédien réel : interprétation}
@@ -3266,54 +3266,37 @@ et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
\subsubsection{Esquisse}
Pour chaque $? ∈ \{<,≤,=, ≥,>\}$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$
-tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un caractère idélique trivial sur $K^×$,
-$ψ$ un caractère adélique trivial sur $K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
-la fonction valant $1$ sur $K^{×, <1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, ≥1}_𝐀$
+tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$,
+$ψ$ un caractère de $K^𝐀/K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
+la fonction valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
-Posons
-\[
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)= ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
-\]
-Notons que \emph{lorsque $K$ est un corps de nombres},
-l'introduction du facteur correctif $c$ est inutile car
-la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
-de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
-de $K^{×, =1}_𝐀$. Cette intégrale définit une fonction holomorphe
-sur $\Re(s)>-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. \XXX
-De même, posons
-\[
-ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s)= ∫_{K^{×, ≥1}_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
-\]
-La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
-D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$.
-Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{ψ,≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
-sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(ι)$
-sur un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
-(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
-En ajoutant puis retranchant la contribution de $λ=0$, on trouve donc
+Considérons les fonctions zêta suivantes, obtenues par
+transformation de Mellin :
\[
\begin{array}{rcl}
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(ι) \\
- & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≥1}_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ} = ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}, \\
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ} = ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}, \text{ et enfin} \\
+ζ_ψ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ} = ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s).
\end{array}
\]
-D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch},
-on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$,
-\[
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) =
-ζ_{ψ,≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s).
-\]
-Il résulte de cette égalité — \emph{a priori} valable dans la bande
-\[
-\{s ∈ 𝐂 : -\Re(χ)<\Re(s)<-\Re(χ)+1\}
-\]
-intersection des deux demi-espaces $\{s:\Re(s)>-\Re(χ)\}$ et $\{s: \Re(-s)>-\Re(\chap{χ})\}$ —
-que le terme de droite et le terme de gauche s'étendent
-en des fonctions méromorphes sur $𝐂$. Ces extensions sont notées de la même façon.
+%Quitte à remplacer $χ$ par un « translaté » $χ ω_s$, on peut
+%supposer que $\Re(χ)=0$, c'est-à-dire que $χ$ est un \emph{caractère}.
+Lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres},
+l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile car
+la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
+de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
+de $K^{×, =1}_𝐀$.
-\subsubsection{}
+\subsubsection{}Ces intégrales définissent des fonctions holomorphe
+sur $\Re(s)>1-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. Il suffit de considérer la transformée
+de Mellin $ζ_ψ(f,χ,s)$ et de la comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
+Fubini [...] \XXX
+La transformée de Mellin tronquée $ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe
+sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est.
+
+\subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$}
\label{calcul zeta1khis}
-Si $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
+Si le quasi-caracatère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
caractères). Si par contre $χ$ est trivial
@@ -3340,10 +3323,32 @@ Notons que dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
choix de $σ$ ; elle disparaît en évaluant $q^{-σ}$.
Le même calcul s'applique à $ζ_{ψ, ≥1}(𝟭,χ,s)$.
-\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction
+\subsubsection{}La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
+D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$.
+Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{ψ,≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
+sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(ι)$
+sur un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
+(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
+En ajoutant puis retranchant la contribution de $λ=0$, on trouve donc
\[
-ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)=\text{« }∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}\text{ »}
+\begin{array}{rcl}
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(ι) \\
+ & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
+\end{array}
+\]
+D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch},
+on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$,
+\[
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) =
+ζ_{ψ,≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s).
\]
+Le terme de droite étant une fonction méromorphe,
+il résulte de cette égalité que le terme de gauche,
+\emph{a priori} méromorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$,
+s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$.
+Ces extensions sont notées de la même façon.
+
+\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction méromorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$
est égale à
\[
\big( ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ψ, ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+
@@ -3362,7 +3367,7 @@ et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f$ une fonction dans $𝒮(K)$.
\begin{enumerate}
\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est absolument convergente et définit une fonction
-holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$.
+holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$.
\item La fonction $s↦ ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
@@ -3380,16 +3385,17 @@ Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions
(resp. un corps de nombres) l'ensemble des $σ$
comme en (iv) est un torseur sous $\frac{2 π i}{\log(q)}𝐙$
(resp. un singleton).
-Enfin, notons que la variable $s$ est superflue : si l'on pose
+Enfin, notons que la variable $s$ est en grande partie superflue : si l'on pose
$ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$, on a $ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s)$
-et l'équation fonctionnelle prend la forme plus agréable :
+et l'équation fonctionnelle prend la forme équivalente plus agréable
\[
ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ}),
\]
où $\chap{f}$ désigne la transformée de Fourier relativement
au caractère $ψ$. Comme signalé en \ref{quasi-caractères=variété},
on pourrait considérer $χ$ comme variable, parcourant
-la surface de Riemann des quasi-caractères.
+la surface de Riemann des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$.
+Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
\end{remarques2}
\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta}