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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-09-12 10:40:51 +0200 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-09-12 10:40:51 +0200 |
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[LG] finitude Pic(đȘ_K) par mĂ©thode Ă©lĂ©mentaire
Cf. Ribenboim.
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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 44 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index de413bd..a5207c7 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -3394,12 +3394,12 @@ Dedekind}, quotient du groupe des idĂ©aux fractionnaires inversibles de $đȘ_K par le sous-groupe de ses idĂ©aux fractionnaires principaux. Le noyau de $\Div(U) â \Pic(đȘ_K(U))$ Ă©tant $\div_U(K^Ă)$ [dĂ©tailler \XXX], on a : -\begin{thĂ©orĂšme2} +\begin{proposition2} Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$, supposĂ© distinct de $ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$ si $K$ est un corps de fonctions. Le morphisme naturel $\Pic(U) â \Pic(đȘ_K(U))$ est un \emph{isomorphisme}. -\end{thĂ©orĂšme2} +\end{proposition2} \begin{corollaire2} Soit $K$ un corps de nombres. @@ -3407,7 +3407,45 @@ Le groupe $\Pic(đȘ_K)$ est fini. \end{corollaire2} \begin{dĂ©mo}[Seconde dĂ©monstration] -Cf. p. ex. Ribenboim. +Rappelons (\XXX) que la norme d'un idĂ©al non nul $đ$ de $đȘ_K$ +est le cardinal $N(đ)$ du quotient $đȘ_K/đ$. Commençons par Ă©tablir +un premier rĂ©sultat de finitude : \emph{pour tout entier $n$ il existe +un nombre fini d'idĂ©aux $đ$ de norme $n$}. En effet, si $đ$ est un tel +idĂ©al, on a $(n) â đ$, car $n â
1_{đȘ_K}$ est d'image nulle dans le quotient +$đȘ_K/đ$. Comme le quotient $đȘ_K/(n)$ de l'anneau de Dedekind $đȘ_K$ est fini, +le nombre de possibilitĂ©s pour $đ$ est Ă©galement fini. +Soit maintenant $âŹ=\{xâ,âŠ,x_d\}$ une base de $đȘ_K$ sur $đ$. +Posons +\[ +ÎŒ_⏠= â_{Ï â \Hom_đ(K,đ)} â_{x â âŹ} |Ï(x)|. +\] +VĂ©rifions que pour chaque idĂ©al non nul $đ$ de $đȘ_K$, +il existe un Ă©lĂ©ment $a â 0$ tel que +\[ +|N_{K \bo đ}(a) †N(đ) Ă ÎŒ_âŹ. +\] +Soit $r$ un entier tel que $r^d †N(đ) < (r+1)^d$. +Comme $N(đ)$ est le cardinal du quotient $đȘ_K/đ$, +il existe par le principe des tiroirs deux Ă©lĂ©ments +$b=â_{x â âŹ} n_x x$ et $bâČ=â_{x â âŹ} m_x x$, oĂč $0 †n_x,m_x †r$, +tels que $a=b-bâČ=â_x a_x x$ appartienne Ă Â l'idĂ©al $đ$. Par construction, on a +$N_{K \bo đ}(a)=â_Ï |Ï(a)| †r^d ÎŒ_âŹ$ car chaque coefficient $|a_x|$ est majorĂ© +par $r$. +Pour achever la dĂ©monstration du corollaire, il suffit de vĂ©rifier +que tout idĂ©al non nul $đ$ de $đȘ_K$ est dans la classe d'un idĂ©al +de norme infĂ©rieure ou Ă©gale Ă Â $ÎŒ_âŹ$. +Soit $đ$ un idĂ©al non nul ; il existe un Ă©lĂ©ment non nul $x â đȘ_K$ +tel que $đ=x đ^{-1}$ soit contenu dans $đȘ_K$. (En effet, $đ^{-1}$ +est un \emph{idĂ©al fractionnaire}, cf. \refext{}{}. \XXX) +Soit maintenant $b â đ$ non nul tel que $N_{K \bo đ}(b) †N(đ) ÎŒ_âŹ$. +Montrons que la norme $N(đ x^{-1} b)$ est majorĂ©e par $ÎŒ_âŹ$, ce qui +suffit pour conclure. De façon Ă©quivalente, on veut montrer l'inĂ©galitĂ© +\[ +N(đ) Ă N(đ x^{-1} b) †N(đ) Ă ÎŒ_⏠. +\] +Or, par multiplicativitĂ© de la norme et par dĂ©finition de l'idĂ©al $đ$, +le terme de gauche est $N(đ â
đ^{-1}) N((b))=N_{K \bo đ}(b)$. +CQFD. \end{dĂ©mo} |