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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-12 08:40:51 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-12 08:40:51 (GMT)
commitd8cf290deb4bd1fd8f868ac3693fcfc74c36096d (patch)
treea2c5a23d110afa8cb9059a42f15c2b44177b8642 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] finitude Pic(𝒪_K) par méthode élémentaire
Cf. Ribenboim.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex44
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index de413bd..a5207c7 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3394,12 +3394,12 @@ Dedekind}, quotient du groupe des idéaux fractionnaires inversibles de $𝒪_K
par le sous-groupe de ses idéaux fractionnaires principaux. Le noyau de $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$
étant $\div_U(K^×)$ [détailler \XXX], on a :
-\begin{théorème2}
+\begin{proposition2}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$,
supposé distinct de $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ si $K$ est un corps de fonctions.
Le morphisme naturel $\Pic(U) → \Pic(𝒪_K(U))$ est un
\emph{isomorphisme}.
-\end{théorème2}
+\end{proposition2}
\begin{corollaire2}
Soit $K$ un corps de nombres.
@@ -3407,7 +3407,45 @@ Le groupe $\Pic(𝒪_K)$ est fini.
\end{corollaire2}
\begin{démo}[Seconde démonstration]
-Cf. p. ex. Ribenboim.
+Rappelons (\XXX) que la norme d'un idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$
+est le cardinal $N(𝔞)$ du quotient $𝒪_K/𝔞$. Commençons par établir
+un premier résultat de finitude : \emph{pour tout entier $n$ il existe
+un nombre fini d'idéaux $𝔞$ de norme $n$}. En effet, si $𝔞$ est un tel
+idéal, on a $(n) ⊆ 𝔞$, car $n ⋅ 1_{𝒪_K}$ est d'image nulle dans le quotient
+$𝒪_K/𝔞$. Comme le quotient $𝒪_K/(n)$ de l'anneau de Dedekind $𝒪_K$ est fini,
+le nombre de possibilités pour $𝔞$ est également fini.
+Soit maintenant $ℬ=\{x₁,…,x_d\}$ une base de $𝒪_K$ sur $𝐙$.
+Posons
+\[
+μ_ℬ = ∏_{σ ∈ \Hom_𝐐(K,𝐂)} ∑_{x ∈ ℬ} |σ(x)|.
+\]
+Vérifions que pour chaque idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$,
+il existe un élément $a ≠ 0$ tel que
+\[
+|N_{K \bo 𝐐}(a) ≤ N(𝔞) × μ_ℬ.
+\]
+Soit $r$ un entier tel que $r^d ≤ N(𝔞) < (r+1)^d$.
+Comme $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K/𝔞$,
+il existe par le principe des tiroirs deux éléments
+$b=∑_{x ∈ ℬ} n_x x$ et $b′=∑_{x ∈ ℬ} m_x x$, où $0 ≤ n_x,m_x ≤ r$,
+tels que $a=b-b′=∑_x a_x x$ appartienne à  l'idéal $𝔞$. Par construction, on a
+$N_{K \bo 𝐐}(a)=∏_σ |σ(a)| ≤ r^d μ_ℬ$ car chaque coefficient $|a_x|$ est majoré
+par $r$.
+Pour achever la démonstration du corollaire, il suffit de vérifier
+que tout idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$ est dans la classe d'un idéal
+de norme inférieure ou égale à $μ_ℬ$.
+Soit $𝔞$ un idéal non nul ; il existe un élément non nul $x ∈ 𝒪_K$
+tel que $𝔟=x 𝔞^{-1}$ soit contenu dans $𝒪_K$. (En effet, $𝔞^{-1}$
+est un \emph{idéal fractionnaire}, cf. \refext{}{}. \XXX)
+Soit maintenant $b ∈ 𝔟$ non nul tel que $N_{K \bo 𝐐}(b) ≤ N(𝔟) μ_ℬ$.
+Montrons que la norme $N(𝔞 x^{-1} b)$ est majorée par $μ_ℬ$, ce qui
+suffit pour conclure. De façon équivalente, on veut montrer l'inégalité
+\[
+N(𝔟) × N(𝔞 x^{-1} b) ≤ N(𝔟) × μ_ℬ .
+\]
+Or, par multiplicativité de la norme et par définition de l'idéal $𝔟$,
+le terme de gauche est $N(𝔟 ⋅ 𝔟^{-1}) N((b))=N_{K \bo 𝐐}(b)$.
+CQFD.
\end{démo}