summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-12 10:40:51 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-12 10:40:51 +0200
commitd8cf290deb4bd1fd8f868ac3693fcfc74c36096d (patch)
treea2c5a23d110afa8cb9059a42f15c2b44177b8642 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent7b170a87bd81d24cc61b41ec5d4f40dff18cb8ab (diff)
downloadgalois-d8cf290deb4bd1fd8f868ac3693fcfc74c36096d.tar.gz
galois-d8cf290deb4bd1fd8f868ac3693fcfc74c36096d.tar.bz2
galois-d8cf290deb4bd1fd8f868ac3693fcfc74c36096d.zip
[LG] finitude Pic(đ’Ș_K) par mĂ©thode Ă©lĂ©mentaire
Cf. Ribenboim.
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex44
1 files changed, 41 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index de413bd..a5207c7 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3394,12 +3394,12 @@ Dedekind}, quotient du groupe des idĂ©aux fractionnaires inversibles de $đ’Ș_K
par le sous-groupe de ses idĂ©aux fractionnaires principaux. Le noyau de $\Div(U) → \Pic(đ’Ș_K(U))$
Ă©tant $\div_U(K^×)$ [dĂ©tailler \XXX], on a :
-\begin{théorÚme2}
+\begin{proposition2}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$,
supposé distinct de $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ si $K$ est un corps de fonctions.
Le morphisme naturel $\Pic(U) → \Pic(đ’Ș_K(U))$ est un
\emph{isomorphisme}.
-\end{théorÚme2}
+\end{proposition2}
\begin{corollaire2}
Soit $K$ un corps de nombres.
@@ -3407,7 +3407,45 @@ Le groupe $\Pic(đ’Ș_K)$ est fini.
\end{corollaire2}
\begin{démo}[Seconde démonstration]
-Cf. p. ex. Ribenboim.
+Rappelons (\XXX) que la norme d'un idĂ©al non nul $𝔞$ de $đ’Ș_K$
+est le cardinal $N(𝔞)$ du quotient $đ’Ș_K/𝔞$. Commençons par Ă©tablir
+un premier résultat de finitude : \emph{pour tout entier $n$ il existe
+un nombre fini d'idĂ©aux $𝔞$ de norme $n$}. En effet, si $𝔞$ est un tel
+idĂ©al, on a $(n) ⊆ 𝔞$, car $n ⋅ 1_{đ’Ș_K}$ est d'image nulle dans le quotient
+$đ’Ș_K/𝔞$. Comme le quotient $đ’Ș_K/(n)$ de l'anneau de Dedekind $đ’Ș_K$ est fini,
+le nombre de possibilitĂ©s pour $𝔞$ est Ă©galement fini.
+Soit maintenant $ℬ=\{x₁,
,x_d\}$ une base de $đ’Ș_K$ sur $𝐙$.
+Posons
+\[
+ÎŒ_ℬ = ∏_{σ ∈ \Hom_𝐐(K,𝐂)} ∑_{x ∈ ℬ} |σ(x)|.
+\]
+VĂ©rifions que pour chaque idĂ©al non nul $𝔞$ de $đ’Ș_K$,
+il existe un Ă©lĂ©ment $a ≠ 0$ tel que
+\[
+|N_{K \bo 𝐐}(a) ≀ N(𝔞) × ÎŒ_ℬ.
+\]
+Soit $r$ un entier tel que $r^d ≀ N(𝔞) < (r+1)^d$.
+Comme $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $đ’Ș_K/𝔞$,
+il existe par le principe des tiroirs deux éléments
+$b=∑_{x ∈ ℬ} n_x x$ et $bâ€Č=∑_{x ∈ ℬ} m_x x$, oĂč $0 ≀ n_x,m_x ≀ r$,
+tels que $a=b-bâ€Č=∑_x a_x x$ appartienne à  l'idĂ©al $𝔞$. Par construction, on a
+$N_{K \bo 𝐐}(a)=∏_σ |σ(a)| ≀ r^d ÎŒ_ℬ$ car chaque coefficient $|a_x|$ est majorĂ©
+par $r$.
+Pour achever la démonstration du corollaire, il suffit de vérifier
+que tout idĂ©al non nul $𝔞$ de $đ’Ș_K$ est dans la classe d'un idĂ©al
+de norme infĂ©rieure ou Ă©gale à $ÎŒ_ℬ$.
+Soit $𝔞$ un idĂ©al non nul ; il existe un Ă©lĂ©ment non nul $x ∈ đ’Ș_K$
+tel que $𝔟=x 𝔞^{-1}$ soit contenu dans $đ’Ș_K$. (En effet, $𝔞^{-1}$
+est un \emph{idéal fractionnaire}, cf. \refext{}{}. \XXX)
+Soit maintenant $b ∈ 𝔟$ non nul tel que $N_{K \bo 𝐐}(b) ≀ N(𝔟) ÎŒ_ℬ$.
+Montrons que la norme $N(𝔞 x^{-1} b)$ est majorĂ©e par $ÎŒ_ℬ$, ce qui
+suffit pour conclure. De façon équivalente, on veut montrer l'inégalité
+\[
+N(𝔟) × N(𝔞 x^{-1} b) ≀ N(𝔟) × ÎŒ_ℬ .
+\]
+Or, par multiplicativitĂ© de la norme et par dĂ©finition de l'idĂ©al $𝔟$,
+le terme de gauche est $N(𝔟 ⋅ 𝔟^{-1}) N((b))=N_{K \bo 𝐐}(b)$.
+CQFD.
\end{démo}