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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 09:59:44 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 09:59:44 (GMT)
commitd9b463f8d452f692205bee39eabff6ec0cfd5de7 (patch)
treee8de8efea3bb5a0774d1c5e69a4c3896e57c8032 /chapitres/locaux-globaux.tex
parentd954f1c63169d1ac9fd7737ee528433c01e51f86 (diff)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex31
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 7912ef9..486367a 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -111,7 +111,7 @@ de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$
Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes
démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui
-vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats déjà établis
+vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats établis
dans le chapitre précédent, la principale difficulté
est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue.
Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration
@@ -2065,7 +2065,7 @@ comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii).
Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition,
c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$.
À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$).
-on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant déjà été traité, supposons maintenant $a>0$.
+on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant été traité, supposons maintenant $a>0$.
Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$
et la formule \ref{module=module} entraîne :
$ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$.
@@ -2984,7 +2984,7 @@ où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$, et $C^∘$ le voisinage ouvert
Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel dont l'image dans chaque $𝐐_p$
appartient à $𝐙_p$ est entier, c'est-à-dire dans $𝐙$.
D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est l'entier nul.
-Ceci prouve déjà que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également
+Ceci prouve que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également
fermé — car discret dans un espace séparé — de sorte que le groupe
topologique quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐$ est séparé (\ref{discrétion et séparation quotient}).
Pour montrer la compacité du quotient,
@@ -3010,7 +3010,7 @@ de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\}
fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$
appartient à $𝒪_{𝐅_p(t),P}$ est un polynôme, c'est-à-dire dans $𝐅_p[t]$.
D'autre part, le seul polynôme dans $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))$ est le polynôme nul.
-Ceci prouve déjà que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$.
+Ceci prouve que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$.
Pour montrer que le quotient (séparé) $𝐅_p(t)_𝐀/𝐅_p(t)$ est compact,
il suffit de vérifier l'égalité $C+𝐅_p(t)=𝐅_p(t)_𝐀$,
c'est-à-dire que le groupe additif quotient $𝐅_p(t)_𝐀 / 𝐅_p(t)_𝐀(Σ-\{∞\})$
@@ -4179,7 +4179,7 @@ l'égalité :
Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$.
Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$
(dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
-a déjà été observée en \ref{finitude K inter O sur a}),
+a été observée en \ref{finitude K inter O sur a}),
n'est autre que l'ensemble
\[
L(𝔞):=\{f ∈ K: \div(f) ≥ - 𝔞\},
@@ -4317,22 +4317,19 @@ De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$.
Cf. [Rosen, p. 247] \XXX
-\begin{remarques2}
-\begin{enumerate}
-\item Munissons l'ensemble $Σ$ de la topologie suivante,
-dite de Zariski (cf. \refext{AC}{}) : un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou vide.
-Le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
-$(Σ,𝒪_K)$ (« espace annelé ») est un \emph{schéma}. C'est une courbe projective lisse
-sur $𝐅_p$.
+\subsubsection{}Si l'on muni l'ensemble $Σ$ de la topologie
+de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}),
+en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou
+vide, le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
+$(Σ,𝒪_K)$ est \textbf{espace annelé} d'un type particulier, appelé \textbf{schéma}.
+Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$.
\XXX
-\item Observons que les résultats de la proposition précédente ont
-déjà été obtenus en \ref{sections globales droite projective}
-dans le cas particulier d'un corps de fonctions rationnelles $𝐅_p(t)$.
+\item Les résultats de la proposition précédente ont
+été établis en \ref{sections globales droite projective}
+lorsque $K=𝐅_p(t)$.
\item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)
-\end{enumerate}
-\end{remarques2}
\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme