summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-20 15:07:59 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-20 15:07:59 (GMT)
commitdc950f834b554fc581c9472ebe178f74d119c7c3 (patch)
tree6101634e2286a63385d49d5fe6ccfc2f3406c6e7 /chapitres/locaux-globaux.tex
parenta0a44d08bb4da9c395012489f9dfb5fc145dce9d (diff)
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[LG] début démonstration formule d'extension des scalaires
2012-12-20 (16h8)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex75
1 files changed, 55 insertions, 20 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 2b24e6e..f50addd 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4612,6 +4612,7 @@ et du fait que chaque $𝔞$ s'écrit de manière unique
dont la norme est $N(𝔪_{x₁} \cdots 𝔪_{x_r})=N(x₁)\cdots N(x_r)$.
\subsubsection{Réécriture : corps de fonctions}
+\label{réécriture Zêta corps de fonctions}
Si $K$ est un corps de fonctions, notons $q$ le cardinal
de son corps des constantes. Pour chaque $x ∈ X$,
le cardinal $q_x$ est donc égal à $q^{\deg(x)}$,
@@ -4622,17 +4623,52 @@ Il en résulte que l'on a, du moins formellement,
ζ_K(s) = Z_K(q^{-s}) \text{, où }
\]
\[
-Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} ∈ 𝐙[[T]].
+Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} = ∏_{n ≥ 1} (1-T^n)^{-B_K(n)} ∈ 𝐙[[T]],
\]
-L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet de réécrire
-cette nouvelle « fonction Zêta » :
+où $B_K(n)$ est ici le nombre de $x ∈ X$ de degré $n$.
+L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet d'une part de calculer la dérivée logarithmique
\[
-Z_K(T)= ∑_{r ≥ 0} N_r T^r,
+T \frac{Z′_K}{Z_K} = ∑_{n ≥ 1} N_K(n) T^n,
+\]
+où $N_K(n):= ∑_{r|n} B_K(r)r=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ — ce qui revient à compter
+les points de $X$ de degré $r$ avec une multiplicité $r$ —
+et aussi d'exprimer la fonction Zêta sous la forme
+d'une série génératrice
+\[
+Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n,
+\]
+où $E_K(n)$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs}
+(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $n$\footnote{En termes plus
+expressifs, $N_K(n)$ est le \emph{nombre de $𝐅_{q^n}$-points de la courbe projective
+lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}.
+Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente
+à la formule :
+\[
+Z_K(T)=\exp(∑_{n ≥ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††}
\]
-où $N_r$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs}
-(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $r$.
-[Formule $Z_{K_d}(T^d)=∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$. \XXX]
+\subsubsection{Extension du corps des constantes}
+Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$.
+Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme
+près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k} k_e$ obtenu à partir de $K$
+par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques).
+Le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ \XXX et l'application
+$X_d → X$ est surjective. Si $y↦x$, le corps résiduel $κ(y)$ est extension
+composée du corps fini $κ(x)$ (de degré $\deg(x)$ sur $k$) et de $k_e$ : elle
+est donc de degré $\frac{e}{(e,\deg(x))}$ sur $k_e$.
+L
+
+
+Reprenons les notations de
+\ref{réécriture Zêta corps de fonctions}. Le lecteur se convaincra aisément,
+à partir de la formule $N_K(n)=∑_{r | n} r B_K(r)$, que l'on a
+$N_{K_d}(n)=N_K(nd)$ si $d$ divise $n$ et $N_{K_d}(n)=0$ sinon.
+
+
+C'est un
+fait général (indépendant de l'hypothèse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$.
+
+
\subsubsection{Fonction zêta complétée}
@@ -5112,20 +5148,19 @@ Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P_K(1)=h_K$.
\subsubsection{Existence d'un diviseur de degré $1$}
\label{existence diviseur degré 1}
-Pour conclure la démonstration du théorème \ref{pôles et équation
+Pour achever la démonstration du théorème \ref{pôles et équation
fonctionnelle Iwasawa-Tate} (et par conséquent, du théorème
-\ref{équation fonctionnelle zêta}), il faut vérifier que, pour tout
-corps de fonctions $K$, il existe un diviseur de degré $1$. Ce fait
-étant pour l'instant inconnu, on a seulement démontré une variante
-affaiblie de \ref{équation fonctionnelle zêta} (iii) : la fonction
-$Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$ en $T^d$, où $d$ est le
-plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$, et $Q$ a un pôle simple
-en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). En particulier, toute fonction Zêta $Z_L$ d'un
-corps de fonctions $L$ a un pôle simple en $1$ et il en est de même de
-$Z_L(T^n)$ pour tout $n$. Appliquons cette remarque au corps $K_d=K
-⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires
-de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$. C'est un
-fait général (indépendant de l'hypothèse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$.
+\ref{équation fonctionnelle zêta}), il nous faut vérifier que, pour tout
+corps de fonctions $K$, il existe un diviseur de degré $1$. Nous avons
+vu ci-dessus que si $d$ est le degré $>0$ minimal d'un diviseur de $K$,
+la fonction $Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$,
+où $Q$ a un pôle simple en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). Il en résulte que pour tout
+corps de fonctions $L$ et tout entier $n ≥ 1$,
+la fonction rationnelle $Z_L(T^n)$ un pôle simple en $1$.
+Appliquons cette remarque au corps $K_d=K ⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires
+de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$.
+[...]
+
Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, cette formule se réécrit
$Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un
pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de