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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 18:14:30 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 18:14:30 +0100
commitdefe41346f9b8f8a39a962f02f52f139884ee961 (patch)
tree84dd4a08adbd4e16d012736a1c3c44830a730fe1 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] changement de signe dans niveau (cas ultramétrique)
À faire : vérifier qu'il n'y a pas eu d'oubli... [Chercher les « n(ψ »]
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex52
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9b1931d..56292d6 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -871,9 +871,9 @@ corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
\label{niveau caractère}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
-et $-∞$ sinon.
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus grand
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
+et $+∞$ sinon.
\end{définition2}
Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
@@ -987,11 +987,11 @@ Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
\[
-n(e_{K})=-v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
+n(e_{K})=v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
\]
entre le niveau du caractère additif non trivial
$e_{K}$ défini en \ref{caractère corps local}
-et l'opposé de la valuation de la différente
+et la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
@@ -1001,17 +1001,9 @@ si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et s
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}
-\begin{remarques2}
-\begin{enumerate}
-\item Cette formule est un indice selon lequel
-il serait préférable de changer le signe
-dans la définition du niveau. C'est ce que font
-certains auteurs, dont A. Weil.
-\item En caractéristique, l'interprétation du niveau
+En caractéristique, l'interprétation du niveau
de $e_{K,ω}$ est plus subtile.
Voir le théorème de Riemann-Roch pour un énoncé global.
-\end{enumerate}
-\end{remarques2}
\begin{proposition2}
\label{niveau reste nul si extension nette}
@@ -1079,9 +1071,9 @@ fonction sur $\chap{K}$.
\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
\[
-ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}.
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-(r+n(ψ))}}.
\]
-En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
+En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{-n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
@@ -1097,7 +1089,7 @@ où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \emph{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{-n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $√{|a|} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
@@ -1157,19 +1149,18 @@ précède on a les égalités :
\[
\begin{array}{rcl}
ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r})) & = & [-a]^*ℱℱ(𝟭_{𝔪^r}) \\
- & = & [-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}) \\
- & = & \frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{𝔪^r} \\
+ & = & [-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-n(ψ)-r}}) \\
+ & = & \frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{𝔪^r} \\
& = & c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
\end{array}
\]
-où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus
-$+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
+où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
-si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{n(ψ)}{2}}$.
+si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{-n(ψ)}{2}}$.
L'existence et l'unicité en découle.
-(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=-v(a)+n(ψ)$ et de (v).
+(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=n(ψ)+v(a)$ et de (v).
\end{démo}
Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
@@ -2524,8 +2515,7 @@ $c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
-$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ : le niveau
-de $ψ_∞$ est égal à $1$.
+$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$.% : le niveau de $ψ_∞$ est égal à $1$.
Le caractère composé $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝒪_{𝐤_∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
se factorise à travers la surjection $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝐀_𝐤 \bo 𝐤$ (\ref{cocompacité})
car \mbox{$ψ_∞(𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞})=\{1\}$}. On en déduit donc
@@ -2959,10 +2949,10 @@ chap. II. \XXX
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
-de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x -n(ψ_x) ⋅ x$,
+de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}).
Il résulte de \ref{dual des classes de adèles},
-de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$ \XXX
+de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$
et de \ref{définition Pic} que la classe
de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
@@ -2976,8 +2966,8 @@ Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
ℱ_ψ(\mathbf{1})
-= ⊠′_x \big( q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}} \big)
-= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}}.
+= ⊠′_x \big( q_x^{½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big)
+= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
\[
@@ -2991,7 +2981,7 @@ sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
De même,
\[
-∑_{λ ∈ K} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}}(λ/i)= \# \{ λ ∈ K:
+∑_{λ ∈ K} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(λ/i)= \# \{ λ ∈ K:
\div(λ) ≥ 𝔞-𝔠\}=\# L(𝔠-𝔞).
\]
@@ -3059,7 +3049,7 @@ tel que
\]
Lorsque $x$ est ultramétrique,
ceci se produit si et seulement si
-la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale à l'opposé du niveau $n_x(ψ_x)$.
+la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale au niveau $n_x(ψ_x)$.
Dans ce cas, on a la formule
\[
ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* 𝟭_{𝒪_x},