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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-25 18:47:30 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-25 18:47:30 +0100
commitdf6e5d428140d4bec8e16d4d199cab12fff46cc3 (patch)
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[LG] équation fonctionnelle globale ; énoncé en forme
À améliorer, notamment : — dépendance en ψ ; — dissymétrie ω_s ω_{1-σ}...
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--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1520,7 +1520,7 @@ transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
Plutôt que de fixer $χ$ et introduire la variable complexe $s$
on pourrait — à l'aide de la proposition \ref{description quasi-caractères} —
munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
-de variété analytique (cf. p. ex. \cite[§2.1]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
+de variété analytique (cf. p. ex. \cite[§2.1]{Weil2@Deligne}, \cite[VII.§3]{BNT@Weil}).
\end{remarque2}
\subsubsection{Cas archimédien réel : interprétation}
@@ -2730,8 +2730,8 @@ Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant.
\XXX
Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$.
\begin{enumerate}
-\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associées
-aux mesures auto-duales $μ_{ψ_x}$. Alors, $μ_ψ(K_𝐀/K)=1$.
+\item Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associées
+aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$. Alors, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(K_𝐀/K)=1$.
\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
\item Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
\[
@@ -2750,7 +2750,7 @@ on a :
Il résulte des calculs locaux (\ref{Fourier et mesure locaux}),
de la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}) et
la formule du produit (\ref{formule du produit})
-que la mesure $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
+que la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, par opposition
à la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures
@@ -3265,9 +3265,9 @@ algebraic number theory », Colmez (F.2.15),
et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
\subsubsection{Esquisse}
-Pour chaque $? ∈ \{<,≤,=, ≥,>\}$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$
+Pour chaque signe de comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$
tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$,
-$ψ$ un caractère de $K^𝐀/K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
+$ψ$ un caractère de $K_𝐀/K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
la fonction valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
Considérons les fonctions zêta suivantes, obtenues par
@@ -3287,36 +3287,42 @@ la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un cor
de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
de $K^{×, =1}_𝐀$.
+\subsubsection{}Clarifier dépendance en $ψ$ et définition de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$.
+(Lien avec mesure de Tamagawa ?)
+Remarque : $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$.
+\XXX
+
+
\subsubsection{}Ces intégrales définissent des fonctions holomorphe
sur $\Re(s)>1-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. Il suffit de considérer la transformée
de Mellin $ζ_ψ(f,χ,s)$ et de la comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
-Fubini [...] \XXX
+Fubini [...] \XXX % p. ex., BNT, p. 119, prop. 10.
La transformée de Mellin tronquée $ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe
sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est.
\subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$}
\label{calcul zeta1khis}
-Si le quasi-caracatère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
+Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
caractères). Si par contre $χ$ est trivial
sur $K^{×,=1}_𝐀$, il provient d'un caractère de
$K^×_𝐀/K^{×,=1}_𝐀$ et est donc (\ref{quasi-caractères globaux}) de la forme
-$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$
+$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ_ψ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$
on a :
\[
\begin{array}{rcll}
-ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
-& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
+ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ_ψ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+& = & \frac{κ_ψ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
En effet, on trouve respectivement l'intégrale
\[
-κ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t}
+κ_ψ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t}
\]
et la somme
\[
-κ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
+κ_ψ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
\]
(On utilise ici la surjectivité de $||: K^×_𝐀 → q^{𝐙}$.)
Notons que dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
@@ -3367,16 +3373,36 @@ et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f$ une fonction dans $𝒮(K)$.
\begin{enumerate}
\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est absolument convergente et définit une fonction
-holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$.
+holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
+comme un produit « eulérien » absolument convergent
+\[
+ζ_ψ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s).
+\]
+[dépendance en $ψ$ ?] \XXX
+
\item La fonction $s↦ ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
-\item Ses pôles, simples, sont en les $s=-σ$ et $s=1-σ$ où $σ ∈ i 𝐑$ est tel que $χ=ω_σ$.
-Leurs résidus respectifs sont $κf(0)$ et $κ ℱ_ψ(f,0)$ lorsque $K$ est un corps de nombres
-et ces quantités divisées par $\log(q)$ lorsque $K$ est un corps
-de fonctions.
+\item Leurs résidus respectifs sont
+\[
+\begin{array}{rcll}
+\mathrm{R\acute{e}s}_{- σ} ζ_ψ(f,ω_σ,s) & = & κ_ψf(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+ & = & κ_ψf(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
+\end{array}
+\]
+et
+\[
+\begin{array}{rcll}
+\mathrm{R\acute{e}s}_{1-σ} ζ_ψ(f,ω_σ,s) & = & κ_ψℱ_ψ(f)(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+ & = & κ_ψℱ_ψ(f)(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
+\end{array}
+\]
+et ces pôles, simples, sont les seuls.
+[$ω_{1-σ}$ \XXX]
+En particulier, si ni $χ$ ni $\chap{χ}$ n'appartiennent
+à $\{ω_{σ}: σ ∈ i 𝐑\}$, la fonction zêta $ζ_ψ(f,χ,s)$ est \emph{entière}.
\end{enumerate}
\end{théorème2}