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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-25 11:33:37 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-25 11:33:37 +0100
commite471474846485d9365ce2e499409cf6e24ff120a (patch)
treeb75299297d12befe88b44114bbe3151195e2e671 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[locaux-globaux] blabla sur mesures (début)
En fait, peut-être que le point de vue « mesure de Radon » est plus élémentaire/adapté ici. Ce qu'on veut, c'est juste intégrer des fonctions (hyper-régulières en l'occurence).
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex41
1 files changed, 41 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 94a1ea0..8cec51f 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -81,6 +81,47 @@ le cardinal.
valeur absolue normalisée : $|ϖ|=\frac{1}{q}$.
\end{définition2}
+\subsection{Mesures}
+
+\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique.
+Rappelons qu'un ensemble borélien, ou simplement « un borélien »,
+est un élément du plus petit ensemble $ℬ$ de parties de $X$
+contenant les ouverts de $X$ et stable par
+passage au complémentaire et union au plus dénombrable.
+Une \emph{mesure borélienne} sur $X$ est une fonction $μ$ à valeurs dans $𝐑_+ ∪ \{+∞\}$
+définie sur les ensembles boréliens et
+satisfaisant la condition d'additivité : $μ(⋃_{i ≥ 1} E_i)=∑_{i ≥ 1} μ(E_i)$
+lorsque les $E_i$ sont mutuellement disjoints.
+
+\subsubsection{}Soit maintenant $G$ un groupe topologique localement
+compact, c'est-à-dire […]. On appelle \emph{mesure de Haar} à gauche
+sur $G$ un mesure borélienne $μ$ satisfaisant les conditions
+suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item pour tout borélien $E ⊆G$, et tout $g ∈ G$, on a $μ(gE)=μ(E)$.
+(Invariance à gauche).
+
+\item pour tout compact $C ⊆G$, $μ(C)<∞$.
+\begin{définition2}
+Mesure de Haar invariante à gauche (resp. droite) sur un groupe localement compact.
+\end{définition2}
+
+\subsubsection{}C'est un fait général (Bourbaki, ...) qu'il existe
+une mesure de Haar invariante à gauche et qu'elle est unique à un facteur multiplicatif
+près. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
+invariante à droite.
+
+\begin{définition2}
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ : si $K=𝐑$, mesure de Lebesgue
+$dx$ usuelle : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}([0,1])=1$ ; si
+$K=𝐂$, deux fois la mesure usuelle $dxdy$ : $μ^{\mbox{\minus
+$+$}}_{\japmath{玉}}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$. Enfin, si $K$ est non
+archimédien, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(𝒪)=1$.
+\end{définition2}
+
+\subsubsection{}Construction ad hoc de la mesure de Haar dans
+le cas non archimédien.
+
\begin{proposition2}
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ mesure de Haar et $a ∈ K^×$. Alors
$[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}$.