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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-13 10:35:46 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-13 10:35:46 (GMT)
commite7b74dc9b5f1ad1cc2ec360540ce215bf8fece55 (patch)
tree35f4b98638c4082a2b69ec14873fc16863571663 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent8296c9665e81ae810c603967a65a74bd67e0c704 (diff)
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[LG] coquille + questions de notation
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex33
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index 047e05c..7ffde1f 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -74,6 +74,7 @@ Une extension de corps topologiques
est un morphisme \emph{continu} $K → L$ de corps topologiques.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier
ou le symbole $∞$, le corps $𝐐_p$ — avec la convention
+\commentaire{Noter $𝐐_{\chap{p}}$, $𝐐_{\chap{∞}}$ ?}
que $𝐐_∞=𝐑$ — muni de la topologie associé à la norme
$|⋅|_p$ est un corps topologique. De même, pour
chaque $p$ premier, le corps $𝐅_p((t))$ des séries de Laurent
@@ -2089,6 +2090,8 @@ $P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$
cette place (ultramétrique).
\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
+\commentaire{Noter $K_{\chap{x}}$ ? et réserver $K_x$ pour le corps valué
+$(K,||_x)$ ?}
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
classe $x$ ; c'est un corps local
au sens de \ref{definition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
@@ -2221,7 +2224,7 @@ de celle-ci). Voir aussi \refext{AVD-D}{définition indice de ramification}.
\label{toute courbe est revêtement ramifié de P1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
-$K\bo 𝐅_p(t)$ soit étale..
+$K\bo 𝐅_p(t)$ soit étale.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -2354,10 +2357,11 @@ Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un en
\label{fonctorialité et clôture intégrale}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
\begin{enumerate}
-\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est normal. À moins
-que $K$ ne soit un corps de fonctions et $U=Σ(K)$,
-c'est un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$
-et de spectre maximal naturellement en bijection avec $U$.
+\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est normal ;
+c'est une anneau de Dedekind de corps
+des fractions $K$ lorsque $U$ est \textbf{affine},
+c'est-à-dire si $K$ est un corps de nombres ou bien
+si $K$ est un corps de fonctions et $U ≠ Σ(K)$.
\item Pour toute extension finie $L \bo K$,
l'anneau $𝒪_L(U)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
@@ -2403,20 +2407,25 @@ corps de fonctions — cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre
(\ref{RR implique Dedekind de type fini}, \emph{infra}) et de
\refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}.
-(i) La normalité de $A$ a été démontrée en cours de route :
-c'est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
-Si $K$ est
-un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
+(i) La normalité de $A=𝒪_K(U)$ a été démontrée en cours de route ;
+l'anneau $A$ est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
+\commentaire{notation merdique : $𝒪_{K,u}$ devrait être dans $K$, $=K_u^+$...}
+
+
+— Si $K$ est un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$ (et même
$𝒪_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clôture intégrale commute à localisation}).
-Il reste à montrer que l'anneau $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind.
+Montrons que l'anneau $𝒪_K(U)$ est de Dedekind.
Il est intégralement clos ; il suffit donc de montrer qu'il est nœthérien
de dimension $1$. Cela résulte du théorème de Krull-Akiduki
(\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}).
-Si $K$ est un corps de fonctions, le fait que $𝒪_K(U)$ soit
-un anneau de Dedekind sous les hypothèses faites
+
+— Si $K$ est un corps de fonctions, le fait que $𝒪_K(U)$ soit
+un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$, lorsque $U$
+est un ouvert dense \emph{affine},
est démontré en \ref{RR implique Dedekind de type fini}.
% voir aussi Fried-Jarden, p. 32
+
Vérifions maintenant le dernier énoncé. Soit $u ∈ U$.
L'application naturelle $U → \Specmax(A)$ n'est autre
que le morphisme envoyant $u$ sur l'image du point fermé