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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-20 21:39:55 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-20 21:39:55 +0200
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[LG] début sorites sur quasi-car. mult. et transformation Mellin
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@@ -237,7 +237,7 @@ de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[non arch.] Soit $K$ un corps local non archimédien et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
-constante à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
+constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^n}.
@@ -285,8 +285,8 @@ corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=1$ si $ψ$ est non trivial
-et $-∞$ sinon. [doute sur le signe $±n$ ; cf. $\deg(𝔠)$ dans RR. \XXX]
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
+et $-∞$ sinon.
\end{définition2}
Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
@@ -399,7 +399,7 @@ et l'opposé de la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
-Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème de Riemann-Roch. \XXX
+Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème de Riemann-Roch.
\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
@@ -416,7 +416,8 @@ archimédien, donc isomorphe à $𝐑^n$ pour un entier $n ∈ \{1,2\}$,
on demande que $f$ soit $𝒞^∞$ (en tant que fonction de $n$
variables) et que pour tout polynôme $P ∈ 𝐂[X_i,∂_{X_i}: 1 ≤ i ≤ n]$
la fonction $P ⋅ f$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
-pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
+pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
+constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
de \emph{Bruhat-Schwartz}.
%Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
@@ -452,7 +453,7 @@ fonction sur $\chap{K}$.
\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
\[
-ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}.
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}.
\]
En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
@@ -504,7 +505,10 @@ groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur
l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
-de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$.
+de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
+ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
+donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
+sus-mentionné.)
(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
est un cas particulier du fait général suivant : le produit
@@ -534,50 +538,132 @@ L'existence et l'unicité en découle.
(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=-v(a)+n(ψ)$ et de (v).
\end{démo}
-\begin{exemples2}
-\XXX
-Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
-Lien avec sommes de Gauß.
-\end{exemples2}
+Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
+dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
+dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
+
+\begin{exemple2}
+Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
+Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
+telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
+$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
+$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙$
+et on étend $χ$ à $𝐙/p 𝐙$ en la prolongeant par zéro.
+On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
+\[
+ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
+\]
+où $G(χ)$ est la somme de Gauß
+\[
+∑_{x ∈ 𝐙/p^×} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
+\]
+Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez}.
+\end{exemple2}
%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.
-\subsection{Théorie multiplicative}
+Abordons maintenant la théorie multiplicative.
+
+\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local}
+
+\begin{définition2}
+\label{quasi-caractère}
+On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
+tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
+𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$).
+\end{définition2}
+
+Ainsi, un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}.
+
+\subsubsection{}Soit $K$ un corps local. Pour tout nombre complexe $s$,
+la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
+multiplicatif.
+
+\begin{définition2}
+\label{quasi-caractère net}
+Soit $K$ un corps local.
+Un quasi-caractère multiplicatif de $K$
+est dit \emph{non ramifié} ou \emph{net}
+s'il est trivial sur le sous-groupe $U=\{x ∈ K^×: |x|=1\}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Tout quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
+est de la forme $ω_s$ pour un nombre complexe $s$ bien défini
+modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
+(resp. archimédien).
+\end{proposition2}
-\subsubsection{Quasi-caractères}
+\begin{démo}
+Facile (cf. Tate, p. 311). \XXX
+\end{démo}
\begin{définition2}
-Conducteur.
+Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
+ultramétrique $K$. On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
+noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
+que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
\end{définition2}
-$ω_s=| ⋅ |^s$.
+En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
+d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
+si il est de conducteur nul.
+
+\subsubsection{}Si $K$ est un corps local ultramétrique,
+supposons choisie une uniformisante $ϖ$. Tout élément
+$x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
+\[
+x=x₁ ρ,
+\]
+où $x₁ ∈ U=\{z ∈ K^×:|z|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
+est archimédien (resp. ultramétrique).
\begin{proposition2}
-Structure des quasi-caractères.
+Soit $χ$ un quasi-caractère d'un corps local. Il existe un unique
+caractère $χ₁$ de $U$ et un nombre complexe $s$ tels
+que, pour chaque $x ∈ K^×$, on ait l'égalité
+\[
+χ(x)=χ₁(x₁) ω_s(x).
+\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Cf. ex. Tate.
+Facile (cf. ibidem). \XXX
\end{démo}
-\subsubsection{}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
+\subsection{Transformée de Mellin}
+
+ \[⁂\]
+
+\subsubsection{Mesures multiplicatives}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
sur $K$. On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ la mesure de Haar
multiplicative sur $K^×$ définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
-si $K$ est ultramétrique et
+c'est-à-dire
+\[
+∫_{K^×} f d μ^{\mbox{\minus $×$}} = \frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}}
+f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
+\]
+pour chaque $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$ si $K$ est ultramétrique et
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{1}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×}
\]
sinon.
-On vérifie immédiatement que, dans le cas ultramétrique,
+
+Dans le cas ultramétrique, on utilise
+implicitement le fait que si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
+la fonction $f ω_{-1}$, prolongée par zéro à $K$,
+est également dans $𝒞_c(K^×,𝐂)$. Détailler \XXX
+Notons que, dans ce cas,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
+
\begin{lemme2}
Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
\end{lemme2}