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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 00:58:01 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 00:58:01 (GMT)
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\title{Corps locaux, corps globaux}
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@@ -42,22 +15,14 @@
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\section{Corps locaux}
@@ -465,12 +430,12 @@ $ν(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. Nécessairement, $μ(φ)=ν(φ)$ ; CQFD
Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_G f ∘ φ^{-1}   d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
-réel $\mod(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$ ; il
+réel $\module(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\module(φ) μ$ ; il
ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
-pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
+pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\module(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
-— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
+— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\module(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
Appliquant cette observation au cas des automorphismes
intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$
@@ -524,12 +489,12 @@ Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout
automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
on a
\[
-\mod_G(φ)=\mod_{G/Γ}(φ)\mod_Γ(φ).
+\module_G(φ)=\module_{G/Γ}(φ)\module_Γ(φ).
\]
Dans le cas particulier considéré ici,
-on a $\mod_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
-et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
-d'où $\mod_G(φ)=1$.
+on a $\module_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
+et $\module_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
+d'où $\module_G(φ)=1$.
Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
et imposant à $μ_Γ$ d'être — par exemple — la mesure de comptage,
@@ -570,13 +535,13 @@ du paragraphe précédent.
\subsubsection{}Soit $K$ un corps topologique localement
compact, non discret. Fixons une mesure de Haar $μ$ sur le
-groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\mod_K(x)$
+groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\module_K(x)$
le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif
-de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie
-mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$.
+de $K$ : $μ(aX)=\module_K(a)μ(X)$ pour toute partie
+mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\module_K(0)=0$.
Dans cette section nous allons montrer comment
construire une valeur absolue sur $K$
-à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue
+à partir de $\module_K$ et démontrer un analogue
du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet}
dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}).
Nous terminons par une démonstration du
@@ -586,15 +551,15 @@ théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
\begin{proposition2}
\label{continuité de modK}
-La fonction $\mod_K:K → 𝐑_+$ est continue et
-satisfaisant l'égalité $\mod_K(ab)=\mod_K(a)\mod_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
+La fonction $\module_K:K → 𝐑_+$ est continue et
+satisfaisant l'égalité $\module_K(ab)=\module_K(a)\module_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
\end{proposition2}
Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret.
\begin{démo}
L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente :
-$\mod(φ ∘ ψ)=\mod(φ) \mod(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
+$\module(φ ∘ ψ)=\module(φ) \module(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
sont deux automorphismes d'un groupe localement compact.
Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$
@@ -604,11 +569,11 @@ Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$,
dont l'existence est assurée par la continuité du produit.
Pour chaque $x ∈ A$, on a :
\[
-\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\mod_K(x) ≤ \mod_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
+\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\module_K(x) ≤ \module_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
\]
-Il en résulte que la fonction $\mod_K$ est \emph{semi-continue
+Il en résulte que la fonction $\module_K$ est \emph{semi-continue
supérieurement}. En particulier, elle est continue en $0$ (où
-elle atteint son minimum.) L'égalité $\mod_K(x)=\mod_K(x^{-1})^{-1}$
+elle atteint son minimum.) L'égalité $\module_K(x)=\module_K(x^{-1})^{-1}$
pour chaque $x ≠ 0$ montre qu'elle est aussi semi-continue
inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue.
\end{démo}
@@ -621,20 +586,20 @@ En déduire que $K$ n'est pas compact.
\subsubsection{}
\label{compacité des Br}
Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la
-proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\mod_K(x)
+proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\module_K(x)
≤ r\}$ est un voisinage fermé de $0$ dans $K$. Montrons
qu'il est \emph{compact}. Soit $V$ un voisinage compact
de $0$ et $W$ un voisinage ouvert de $0$ tel que $WV ⊆ V$.
L'existence de $V$ résulte de la locale compacité de $K$ ;
celle de $W$ de la continuité du produit $K×K → K$.
-Le corps $K$ étant non discret et $\mod_K$ étant
+Le corps $K$ étant non discret et $\module_K$ étant
continue, il existe $x ∈ W ∩ V$ tel que
-$0<\mod_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
+$0<\module_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
pour tout $n ≥ 1$. Nous allons montrer que $B_r$ est contenu
dans une réunion finie d'ensembles $x^{-n}V$, $n ≥ 0$.
Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite $(x^n)$.
-Le réel $\mod_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
-suite $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
+Le réel $\module_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
+suite $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
est nul. Comme la suite $(x^n)$ appartient au \emph{compact} $V$,
elle tend donc vers $0$. Ainsi, pour chaque $a ∈ K$, il
existe $n ≥ 0$ — que l'on peut supposer minimal —
@@ -645,9 +610,9 @@ Si $n>0$, $x^n a ∈ V-xV$. Soit $X$
l'adhérence de $V-xV$ ; c'est un compact, car fermé
dans $V$, ne contenant pas $0$, car $xV$ en est un
voisinage. Il en résulte qu'il existe $m_r>0$
-tel que $\mod_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
-En particulier, $\mod_K(x^n a)=\mod_K(a) \mod_K(x)^n ≥ m_r$.
-Comme $\mod_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\mod_K(x)<1$,
+tel que $\module_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
+En particulier, $\module_K(x^n a)=\module_K(a) \module_K(x)^n ≥ m_r$.
+Comme $\module_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\module_K(x)<1$,
l'entier $n$ est majoré indépendamment de $a$. CQFD.
\subsubsection{}
@@ -657,9 +622,9 @@ voisinage de $0$ dans $K$ : pour tout voisinage $V$ de $0$,
il existe $r>0$ tel que $B_r ⊆ V$. Pour le montrer, on peut
supposer $V$ compact (par locale compacité de $K$). Soit $ρ$
un réel strictement supérieur à la borne supérieure
-de $\mod_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
+de $\module_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
de $B_ρ-V$. C'est un compact ne contenant pas $0$. Soit $σ$
-la borne inférieure de $\mod_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
+la borne inférieure de $\module_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
Considérons enfin $0<r<σ$ ; par construction, $B_r ∩ X= ∅$
et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.
@@ -667,23 +632,23 @@ et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.
\label{module est valeur absolue}
Soit
\[
-A_K=\sup_{\mod_K(x) ≤ 1} \mod_K(1+x) ,
+A_K=\sup_{\module_K(x) ≤ 1} \module_K(1+x) ,
\]
le réel $ ≥ 1$ dont l'existence est assurée par la continuité
-de la fonction $\mod_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
+de la fonction $\module_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
de $B_1$ (\ref{compacité des Br}).
Pour toute paire $(x,y) ∈ K²$, on a l'inégalité
\[
-\mod_K(x+y) ≤ A_K \max\{\mod_K(x),\mod_K(y)\}
+\module_K(x+y) ≤ A_K \max\{\module_K(x),\module_K(y)\}
\]
et $A_K$ est le plus petit réel pour lequel ceci soit vrai.
Pour vérifier l'inégalité, on peut supposer
-$x ≠ 0$ et $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, auquel
-cas on a $\mod_K(x+y)=\mod_K(1+yx^{-1}) \mod_K(x) ≤ A_K \mod_K(x)$ car
-$\mod_K(yx^{-1})≤ 1.$
+$x ≠ 0$ et $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, auquel
+cas on a $\module_K(x+y)=\module_K(1+yx^{-1}) \module_K(x) ≤ A_K \module_K(x)$ car
+$\module_K(yx^{-1})≤ 1.$
\subsubsection{}Soit $f_K$ la fonction $𝐍 → 𝐑_+$, $n ↦
-\mod_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\module_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f_K ≤ 1$
\item $A_K=1$.
@@ -697,7 +662,7 @@ Vérifions l'équivalence ci-dessus. Une récurrence immédiate montre que (ii)
Considérons la réciproque. Soient $r$ un entier et $n=2^r$.
Par récurrence sur $r$, on a
\[
-\mod_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \mod_K(x_i)
+\module_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \module_K(x_i)
\]
pour tout choix d'éléments $x₁,…,x_n ∈ K$.
Quitte à considérer des éléments nuls, cette inégalité
@@ -710,18 +675,18 @@ où $x$ et $y$ sont des éléments quelconques de $K$
et la somme de gauche contient $2^r+1 ≤ 2^{r+1}$ termes, on
obtient, grâce à l'hypothèse faite sur $f_K$,
\[
-\mod_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\mod_K(x)^i  \mod_K(y)^{2^r-i}\}.
+\module_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\module_K(x)^i  \module_K(y)^{2^r-i}\}.
\]
-Si $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, on en tire
+Si $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, on en tire
\[
-\mod_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \mod_K(x),
+\module_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \module_K(x),
\]
et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite.
\subsubsection{}
\label{corps localement compacts archimédiens}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}.
-La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$
+La restriction du module $\module_K$ au sous-corps premier $𝐐$
est $|⋅|_∞^c$, où $|⋅|_∞$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel.
D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnée
par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br système
@@ -741,25 +706,25 @@ sur corps valué complet}).
\subsubsection{}
\label{corps localement compacts ultramétriques}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{ultramétrique}.
-Posons $𝒪=\{x ∈ K: \mod_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
+Posons $𝒪=\{x ∈ K: \module_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
nous notions $B₁$ précédemment. Il est donc compact. D'autre
part, on a $𝒪+𝒪=𝒪$ car $K$ est ultramétrique. Ainsi, $𝒪$
est un sous-anneau compact de $K$ ; il est maximal
-car — comme il résulte de la continuité de $\mod_K$
-et de la formule $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ —
+car — comme il résulte de la continuité de $\module_K$
+et de la formule $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ —
tout sous-ensemble relativement compact de $K$
-est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\mod_K(x)<1\}$
+est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\module_K(x)<1\}$
de $𝒪$ est un idéal ; il est maximal car tout élément de $x ∈ 𝒪-𝔭$
est de module $1$ donc d'inverse $x^{-1}$ dans $𝒪$.
Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
de $𝒪$ modulo $𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts
-disjoints $\{x ∈ K:\mod_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
+disjoints $\{x ∈ K:\module_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
fini ; le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ aussi. Le quotient $k$ étant
fini donc séparé, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
-$\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
-tel que $𝔭=\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
-absolue $\mod_K$ est donc discrète : son
+$\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
+tel que $𝔭=\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
+absolue $\module_K$ est donc discrète : son
image est un sous-groupe discret de $𝐑_+$.
Ainsi, $K$ est le corps des fractions d'un anneau de
valuation discrète de corps résiduel fini.
@@ -776,7 +741,7 @@ En caractéristique nulle, on peut à nouveau considérer
l'adhérence du corps $𝐐$ et utiliser \refext{AVD-D}{Ostrowki}).
En caractéristique $p>0$, on peut remplacer $𝐐$
par le corps $ℚ=𝐅_p(ϖ)$ engendré par un élément $ϖ ∈ K$ tel
-que $\mod_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
+que $\module_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
sur $𝐅_p$ sans quoi il serait une racine de l'unité,
de module $1$. Utilisant \refext{AVD-D}{k-valuations de k(X)},
il en résulte que l'adhérence de $ℚ$ dans $K$
@@ -878,7 +843,7 @@ constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
-d'après laquelle $\Hom_\cont(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
+d'après laquelle $\Hom_{\mathrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
@@ -1003,9 +968,9 @@ du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
-coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
+coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \module 𝔪^r$.
Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
-l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
+l'ensemble des relèvements de $x_n \module 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
@@ -1194,7 +1159,7 @@ on a la généralisation suivante de
pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
-tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
+tout $g ∈ G$ (car $\module(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
@@ -1240,7 +1205,7 @@ dans $𝐙[1/ \sqrt{q}]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
-$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
+$f_χ(x)=χ(x \module p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$
et on étend $χ$ à $𝐅_p$ en la prolongeant par zéro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
@@ -2565,7 +2530,7 @@ la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée}.
En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$
est l'image du morphisme propre — donc fermé —
composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et
-du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
+du morphisme propre $\pr₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
\begin{proposition2}
\label{discrétion et séparation quotient}
@@ -2751,8 +2716,8 @@ craindre, le produit
d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une immersion
ouverte (continue) $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$. Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté
-$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
-$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
+$\resprod_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
+$\resprod_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
\[(𝒳;\! 𝒱)_𝐀=\colim_{U ⊆ Σ} (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),\]
où $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $Σ$. Ensemblistement,
$(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ Σ} ∈ ∏_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ tels que pour presque
@@ -2982,7 +2947,7 @@ Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
Cependant, si $U$ est \emph{affine} (\ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}), le morphisme diagonal
-$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
+$K → \resprod_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
\commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...}
\item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
un isomorphisme modulo les compacts.
@@ -3099,7 +3064,7 @@ de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients}
que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$.
D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
-que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$.
+que $\module_K([×a])= ∏_x \module_{K_x}([×a])$.
Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD.
\end{démo}
@@ -3144,7 +3109,7 @@ si pour chaque nombre premier $p$, $x_p$ désigne l'idèle de $𝐐$
dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$, la suite $x_p$ converge
vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais pas dans $𝐐^×_𝐀$
-Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
+Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \module_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
n'est \emph{pas} continue pour la topologie adèlique, alors que sa restriction
en $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ l'est — essentiellement par définition — pour la topologie
idélique : si pour chaque entier $n$, $x_n$ désigne l'adèle de $𝐐$ tel que $x_{n,∞}=1$ et
@@ -4027,8 +3992,8 @@ adélique}).
\begin{enumerate}
\item La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
du choix de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
-telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ soit le produit
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
+telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ soit le produit
(au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par
la mesure de Haar normalisée sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$.
@@ -4058,7 +4023,7 @@ forme $[×a]^*ψ$ (noté également $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il ré
$+$}}_{ψ_a}$. (On montre également, en utilisant la formule
$ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'égalité (iii)
ne dépend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite
-par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
+par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration.
\subsubsection{Formule d'inversion}
@@ -4453,7 +4418,7 @@ et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2
L'égalité locale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$
entraîne l'égalité
\[
-μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
Le module $|d_ψ|$ ne dépendant pas du choix de $ψ$, on
le note dorénavant $|d_K|$.
@@ -4496,9 +4461,9 @@ Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K_𝐀$, notons ici
$\sur{μ}$ l'unique mesure de Haar sur $K_𝐀/K$
telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients})
de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$.
-Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$
+Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}(K_𝐀 ∕ K)=1$
(\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus
-$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
+$+$}}_{玉}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a :
\[
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
@@ -5141,7 +5106,7 @@ Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d
et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$.
\begin{enumerate}
-\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction
+\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{玉}$ est absolument convergente et définit une fonction
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
@@ -5253,8 +5218,8 @@ exactement $h_K>0$ diviseurs de degré $n$.
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
-\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}
@@ -5279,7 +5244,7 @@ $𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.
\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
+\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}
@@ -5305,7 +5270,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -5402,7 +5367,7 @@ $$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
-la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
@@ -5487,7 +5452,7 @@ qui est égale à $\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})$ (cf. \ref{réécriture
par $P$, on a $c_{2g-n}=q^{g-n}c_n$ pour chaque $0 ≤ n ≤ g$. Il en résulte que la fonction
Zêta $Z=P (1-T)^{-1}(1-qT)^{-1}$ est déterminée par $c₁,…,c_g$.
Or, l'égalité
-$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \mod (T^{g+1})$
+$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \module (T^{g+1})$
montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 ≤ n ≤ g$.
\end{démo}
@@ -5573,7 +5538,7 @@ Il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement
indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients
$λ_s$ sont non nuls et dans $K$, il existe deux indices distincts $s₁,s₂$
dans $S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′}
-f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \mod q′$, ce qui
+f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \module q′$, ce qui
est exclu car $s₁$ et $s₂$ sont majorés par $N=q′ -1$.
Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$