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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-29 15:10:15 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-29 15:10:15 +0100
commitf040a2b11fd1f720f93d22228c2b51cc1b7b2ccc (patch)
treed14ba0c5a64f9e8831d340a86dd68ef1ebea19fa /chapitres/locaux-globaux.tex
parentba1b41431a3c322c731fb3ecfaf7e22f1b19dcb1 (diff)
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[LG] modifications mineures
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex14
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index 1fab675..8bad234 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2994,6 +2994,8 @@ niveau $n_x(ψ_x)$. Celui-ci est nul pour presque tout $x
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \emph{idèle différentiel attaché à $ψ$},
\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
+Lorsque $x$ est archimédienne, cf. [BNT, p. 113].
+
Par construction, on a l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
@@ -3065,7 +3067,8 @@ où $x$ parcourt les places \emph{ultramétriques} de $K$
et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_x/𝔪_x$.
% vérifier notations ci-dessus \XXX
Notons que $ζ_K(s)=∏_{x ∈Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} ζ_{K_x}(s)$
-où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] \XXX
+où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] cf. \ref{calcul
+explicite intégrale quasi-caractère I} \XXX
\subsubsection{}Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
@@ -3149,7 +3152,7 @@ fonction analytique sur $\{s:s>0\}$. De plus,
le résidu de $\chap{ζ}_𝐐$ en $1$ est [...] \XXX.
Nous verrons ci-après des généralisations (corps global
-quelconque) des deux observations précédentes),
+quelconque) des deux observations précédentes,
démontrées par voie adélique.
\begin{exercice2}
@@ -3181,14 +3184,15 @@ et finalement que
ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})^{-1}ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
\]
Comme d'autre part $g_{𝐅_p(t)}=0$ d'où $|d_{𝐅_p(t)}|^½=p^{-1}$,
-on a
+si bien que
\[
\chap{ζ}_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{p^{-s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}.
\]
Cette fonction est visiblement invariante par le changement
la transformation $s ↔ 1-s$, s'étend en une fonction
-méromorphe sur $𝐂$ à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement
-et ayant pour résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
+méromorphe sur $𝐂$ — c'est même une fonction rationnelle
+en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement
+et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
% colle bien avec le $-h_K/(1-q)$.
\subsubsection{$𝐐(i)$}