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@@ -209,7 +209,7 @@ de Haar.
compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar ; elle est
unique à un facteur multiplicatif non nul près.
(Cf. Bourbaki, INT, VII.§1.№2 ; la démonstration ne fait que
-quelques pages.) Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
+quelques pages. \XXX) Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident.
\subsubsection{}Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
@@ -217,8 +217,10 @@ invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_g f ∘ φ^{-1} d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
réel $\mod(φ)>0$, appelé \emph{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
+Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module unité.
\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
+\label{mesures Tamagawa locales}
Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc} de mesures
de Haar dans le cas où $G$ est le groupe additif d'un corps local.
@@ -235,7 +237,7 @@ de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[non arch.] Soit $K$ un corps local non archimédien et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
-constante à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
+constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^n}.
@@ -251,11 +253,17 @@ La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
précédents.
\begin{proposition2}
+\label{module=module}
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
-Le module de l'automorphisme $[a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
+Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
-termes, $[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus
-$+$}}$ pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
+termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
+c'est-à-dire
+\[
+|a| ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
+∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
+\]
+pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}
Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
@@ -276,9 +284,9 @@ corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=1$ si $ψ$ est non trivial
-et $-∞$ sinon. [doute sur le signe $±n$ ; cf. $\deg(𝔠)$ dans RR. \XXX]
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus petit
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
+et $-∞$ sinon.
\end{définition2}
Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
@@ -329,25 +337,46 @@ il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.
\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
-Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère non trivial.
+Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
-\[x ↦ \big([x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
-est un isomorphisme.
+\[x ↦ \big([×x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
+est un isomorphisme de groupes.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-L'injectivité est évidente. Soit $ψ ′$ un caractère
-non trivial et montrons qu'il appartient à l'image. On peut
-supposer $ψ$ et $ψ′$ de niveaux nuls. Le fait que le résultat
-soit connu pour un corps fini montre qu'il existe
-un $x₁ ∈ 𝒪^×$ tel que $[x₁]^*ψ$ coïncide avec $ψ ′$
-sur $𝔪^{-1}$. (On utilise le fait que $𝔪^{-1}/𝒪$ est
-isomorphe au groupe additif du corps résiduel $k$.) On construit alors
-de proche en proche une suite $x_n ∈ 𝒪^×$
-telle que $x_n - x_{n-1} ∈ 𝔪^n$ et telle que
-$[x_n]^*ψ$ coïncide avec $ψ ′$ sur $𝔪^{-n}$.
-\XXX
+L'égalité $[×(x + x ′)]^*ψ=[×x]^*ψ × [×x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
+du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
+évidente car $ψ$ est supposé non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
+niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
+si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
+de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
+coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
+Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
+l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
+peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
+corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
+et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
+par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ 𝔪^{n+1}/𝔪^n$
+est l'isomorphisme défini par le choix de $ϖ$.
+De même, pour chaque $n ≥ 0$ et chaque
+caractère additif $θ_n$ de $𝔪^{-n}$,
+l'ensemble des prolongements de $θ_n$ en un
+caractère de $𝔪^{-(n+1)}$ est naturellement
+un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
+on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $θ$
+par $χ ⋅ θ = θ × \chap{ι}(χ)$ où $\chap{ι}: \chap{k} ⥲
+\chap{𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}}$ est un isomorphisme.
+Soit maintenant $ψ ′$ un caractère additif de $k$
+et montrons qu'il appartient à l'image du morphisme
+considéré dans l'énoncé. On peut le supposer de niveau nul.
+D'après ce qui précède, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
+ait même cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≥ 0$
+un élément $x_n ∈ 𝒪$, unique modulo $𝔪^n$,
+tel que $[× x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
+La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[× x]^* ψ = ψ ′$,
+comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
+$𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
% voir aussi \jap{井草}, « An introduction to the theory of
% local zeta functions », chap. 8.
@@ -360,17 +389,24 @@ de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}
\begin{proposition2}
-Niveau de $𝐞_{p,K}$ et discriminant.
-%Niveau de $ψ_ω$.
+Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
+et de caractéristique résiduelle $p>0$.
+On a l'égalité
+\[
+n(e_{p,K})=-v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
+\]
+entre le niveau du caractère additif non trivial
+$e_{p,K}$ défini en \ref{caractère corps local}
+et l'opposé de la valuation de la différente
+définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
-Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème
-de Riemann-Roch. \XXX
+Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème de Riemann-Roch.
\begin{démo}
-$𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
-si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$
-c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝔡^{-1}$ (cf. \ref{}).
+Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
+si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
+La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}
\subsection{Transformation de Fourier}
@@ -380,105 +416,256 @@ Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des fonctions continues $
décroissante à l'infini suivante. Lorsque $K$ est
archimédien, donc isomorphe à $𝐑^n$ pour un entier $n ∈ \{1,2\}$,
on demande que $f$ soit $𝒞^∞$ (en tant que fonction de $n$
-variables) et que pour tout polynôme $P$ (resp. $Q$) à
-coefficients complexes en les $n$ variables (resp. en
-les dérivées par rapport à ces $n$ variables), la fonction réelle $|P × (Q ⋅
-f)|$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
-pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
+variables) et que pour tout polynôme $P ∈ 𝐂[X_i,∂_{X_i}: 1 ≤ i ≤ n]$
+la fonction $P ⋅ f$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
+pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
+constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
de \emph{Bruhat-Schwartz}.
%Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
%et variantes uniquement dans cas archimédien).
- \[⁂\]
-
-\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
-et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
+\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
+et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
\begin{remarques2}
-Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
-en fait une somme \emph{finie}.
-D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
-de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
+\begin{enumerate}
+\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
+en fait une somme \emph{finie}
+\[
+∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\]
+où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
+localement constante à support compact $f ψ_x$.
+Si $K=𝐑$, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ est la transformation de Fourier usuelle — au choix de la
+normalisation près — de $f$ : $x ↦ ∫ f(t)\exp(-2i π tx) dt$.
+\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
+additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
+\end{enumerate}
\end{remarques2}
\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
-\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
+\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
+\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
+\[
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}.
+\]
+En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
+\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
+\begin{enumerate}
+\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
+\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([+a]^*f)=ψ_{-a} ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$,
+où $[+a]^*f$ désigne la fonction $y ↦ f(y+a)$ ;
+\item $ψ_a f$ appartient à $𝒮(K)$ et $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(ψ_a f)=[+a]^* ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$.
+\end{enumerate}
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
-ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
-où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
-\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
-$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$.
+où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
+\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \emph{auto-duale}
+(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
+$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
+et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
+$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$.
-\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{±n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
-(resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$), si $K$ est ultramétrique et $n$ est le niveau
-de $ψ$ (resp. si $ψ=[a]^*𝐞_{∞,K}$).
-\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{±n/2} ⋅ [ϖ^{±n}]^*\mathbf{1}_𝒪$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-
On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
\begin{démo}
-Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
+Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
+par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
+ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
+des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une gaussienne.
+Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
+(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
+\[
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})(x)=∫_{𝔪^r} ψ(xy) d
+μ^{\mbox{\minus $+$}}(y).
+\]
+Si $x 𝔪^r$ est contenu dans $𝔪^{n(ψ)}$, l'intégrande
+est constante égale à $1$ de sorte que l'intégrale
+vaut $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝔪^r)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)/q^r$.
+(Voir p. ex. \ref{module=module} pour cette dernière égalité.)
+Dans le cas contraire, l'intégrale est nulle. En effet,
+on a la généralisation suivante de
+\refext{Fin}{variante-orthogonalite-caracteres} :
+pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
+groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
+l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
+tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
+et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
+de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
+ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
+donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
+sus-mentionné.)
+(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
+et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
+est un cas particulier du fait général suivant : le produit
+d'une fonction localement constante par une fonction localement
+constante à support compact est localement constante à support
+compact.
+(i) On a vu en \ref{mesures Tamagawa locales} que l'espace vectoriel $𝒮(K)$
+est engendré par les fonctions caractéristiques $𝟭_{a + 𝔪^r}=[+a]^*[× ϖ^r] 𝟭_{𝒪}$, $a ∈ K, r ∈ 𝐙$.
+La stabilité de l'espace de Bruhat-Schwartz par la transformation de
+Fourier résulte immédiatement du calcul explicite (ii), de la formule (iii.b)
+et du fait que $𝒮(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
+(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'après ce qui
+précède on a les égalités :
+\[
+ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r}))=[-a]^*ℱ
+ℱ(𝟭_{𝔪^r})=[-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r}
+𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}[-a]^*
+𝟭_{𝔪^r}=c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
+\]
+où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus
+$+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
+La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
+(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
+auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
+si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{n(ψ)}{2}}$.
+L'existence et l'unicité en découle.
+(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=-v(a)+n(ψ)$ et de (v).
\end{démo}
-\begin{exemples2}
-\XXX
-Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
-Lien avec sommes de Gauß.
-\end{exemples2}
+Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
+dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
+dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
+
+\begin{exemple2}
+Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
+Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
+telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
+$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
+$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙$
+et on étend $χ$ à $𝐙/p 𝐙$ en la prolongeant par zéro.
+On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
+\[
+ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
+\]
+où $G(χ)$ est la somme de Gauß
+\[
+∑_{x ∈ 𝐙/p^×} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
+\]
+Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez}.
+\end{exemple2}
%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.
-\subsection{Théorie multiplicative}
+Abordons maintenant la théorie multiplicative.
-\subsubsection{Quasi-caractères}
+\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local}
\begin{définition2}
-Conducteur.
+\label{quasi-caractère}
+On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
+tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
+𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$).
\end{définition2}
-$ω_s=| ⋅ |^s$.
+Ainsi, un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}.
+
+\subsubsection{}Soit $K$ un corps local. Pour tout nombre complexe $s$,
+la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
+multiplicatif.
+
+\begin{définition2}
+\label{quasi-caractère net}
+Soit $K$ un corps local.
+Un quasi-caractère multiplicatif de $K$
+est dit \emph{non ramifié} ou \emph{net}
+s'il est trivial sur le sous-groupe $U=\{x ∈ K^×: |x|=1\}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Tout quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
+est de la forme $ω_s$ pour un nombre complexe $s$ bien défini
+modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
+(resp. archimédien).
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Facile (cf. Tate, p. 311). \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
+ultramétrique $K$. On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
+noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
+que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
+\end{définition2}
+
+En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
+d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
+si il est de conducteur nul.
+
+\subsubsection{}Si $K$ est un corps local ultramétrique,
+supposons choisie une uniformisante $ϖ$. Tout élément
+$x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
+\[
+x=x₁ ρ,
+\]
+où $x₁ ∈ U=\{z ∈ K^×:|z|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
+est archimédien (resp. ultramétrique).
\begin{proposition2}
-Structure des quasi-caractères.
+Soit $χ$ un quasi-caractère d'un corps local. Il existe un unique
+caractère $χ₁$ de $U$ et un nombre complexe $s$ tels
+que, pour chaque $x ∈ K^×$, on ait l'égalité
+\[
+χ(x)=χ₁(x₁) ω_s(x).
+\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Cf. ex. Tate.
+Facile (cf. ibidem). \XXX
\end{démo}
-\subsubsection{}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
+\subsection{Transformée de Mellin}
+
+ \[⁂\]
+
+\subsubsection{Mesures multiplicatives}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
sur $K$. On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ la mesure de Haar
multiplicative sur $K^×$ définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
-si $K$ est ultramétrique et
+c'est-à-dire
+\[
+∫_{K^×} f d μ^{\mbox{\minus $×$}} = \frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}}
+f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
+\]
+pour chaque $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$ si $K$ est ultramétrique et
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{1}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×}
\]
sinon.
-On vérifie immédiatement que, dans le cas ultramétrique,
+
+Dans le cas ultramétrique, on utilise
+implicitement le fait que si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
+la fonction $f ω_{-1}$, prolongée par zéro à $K$,
+est également dans $𝒞_c(K^×,𝐂)$. Détailler \XXX
+Notons que, dans ce cas,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
+
\begin{lemme2}
Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
\end{lemme2}
@@ -618,7 +805,7 @@ etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.)
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
\begin{proposition2}
-$[a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
+$[×a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}