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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-08 22:28:07 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-08 22:28:07 +0100
commitf226414180398dc01be4b316b6929f2008ba01ad (patch)
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[LG] ε sur équation fonctionnelle de ζ
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex57
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index edbe568..cc4a449 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2768,7 +2768,7 @@ Or, il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} et de la formule
du produit que si $a ∈ K^×$, on a $ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$.
L'indépendance du terme de droite en résulte aussitôt.
\end{enumerate}
-\end{remarque2}
+\end{remarques2}
\subsubsection{Démonstration du (ii)}
@@ -3054,6 +3054,21 @@ et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente}
% dans fonction $ζ$
\subsubsection{}
+\label{Fourier de 1}
+Lorsque $K$ est un corps de fonctions, on a
+\[
+ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭,
+\]
+où $𝟭$ est la fonction introduite en \ref{Poisson implique RR}.
+Cette formule est également valable dans le cas des corps de nombres
+si l'on considère la fonction
+\[
+𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
+\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+\]
+\XXX
+
+\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
Compte tenu de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$,
il résulte de ce qui précède que l'on a :
@@ -3459,38 +3474,48 @@ Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à
la fonction
\[
-f= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
+𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
-où les fonctions $g_{K_x}$ sont comme en \ref{fonction zêta archimédienne} et $χ$ est le caractère trivial.
+considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations
+lorsque cela ne prête pas à confusion.
Fixons un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ et notons $S_ψ$ l'ensemble
de $x ∈ Σ(K)$ tels que $n(ψ_x) ≠ 0$ ou $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
-Il résulte de la formule
+Il résulte de la formule générale
\[
ζ(f,χ,s)=∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)
\]
-appliquée au caractère trivial $χ=1$ et de \ref{Matchett} que l'on a
+et de \ref{Matchett} que l'on a
\[
-ζ(f,s)=\sur{ζ}_K(s) × ∏_{x ∈ S_ψ} \frac{ζ_{ψ_x}(f_x,s)}{ζ_{K_x}(s)},
+ζ(𝟭,s)=\sur{ζ}_K(s) × ∏_{x ∈ S_ψ} \frac{ζ_{ψ_x}(𝟭_x,s)}{ζ_{K_x}(s)}.
\]
-où l'on note $ζ(f,s)$ pour $ζ(f,1,s)$.
D'autre part,
\[
-ℱ_ψ(f)=\big(⊠′ _{x ∉ S_ψ} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠ \big(⊠_{x ∈ S_ψ} ℱ_{ψ_x}(f_x)\big)
+ℱ_ψ(𝟭)=\big(⊠′ _{x ∉ S_ψ} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠ \big(⊠_{x ∈ S_ψ} ℱ_{ψ_x}(𝟭_x)\big)
\]
d'où
\[
-ζ(ℱ_ψ(f),\chap{1},s)=\sur{ζ}_K(1+s) × ∏_{x ∈ S_ψ} \frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(f_x),1+s)}{ζ_{K_x}(1+s)}.
+ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},s)=\sur{ζ}_K(1+s) × ∏_{x ∈ S_ψ} \frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(𝟭_x),1+s)}{ζ_{K_x}(1+s)}.
\]
-Comme $ζ(f,1,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{1},-s)$, on en déduit :
+Comme on a en toute généralité $ζ(f,1,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{1},-s)$, on en déduit :
\[
\frac{ζ_K(s)}{ζ_K(1-s)} = ∏_{x ∈ S_ψ}
-\frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(f_x),1-s)}{ζ_{ψ_x}(f_x,s)} ⋅ \frac{ζ_{K_x}(s)}{ζ_{K_x}(1-s)}.
+\Big( \frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(𝟭_x),1-s)}{ζ_{ψ_x}(𝟭_x,s)} ⋅ \frac{ζ_{K_x}(s)}{ζ_{K_x}(1-s)} \Big).
+\]
+Comme $ℱ_{ψ_s}(𝟭_x)=|d_x|^{½} [×d_x]^*𝟭_x$, le quotient
+ce quotient vaut
+\[
+|d_x|^{s-½}.
\]
-Remarquons que l'on a déjà vu que les facteurs
+
+\begin{lemme2}
+\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\]
+\end{lemme2}
+
+Remarquons, bien que cela ne soit pas utile ici, que l'on a déjà vu que les facteurs
$\frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(f_x),1-s)}{ζ_{ψ_x}(f_x,s)}$ ne dépendent pas de $f_x$.
-(On pourrait utiliser l'égalité précédente pour en donner une seconde
-démonstration, « globale ».)
+(On pourrait donner une démonstration « globale » de ce fait en
+utilisant ce qui précède.) % c'est-à-dire la formule pour le quotient des ζ globales
\subsubsection{Cas des corps de fonctions}
Il résulte de la définition \ref{définition zêta Dedekind}, ou bien
@@ -3508,6 +3533,10 @@ Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$ où $P$
est une fonction \emph{entière} telle que $P(0)=1$.
Elle satisfait la même équation fonctionnelle qu'en (iii). Il en résulte
aussitôt que $P_K$ est un \emph{polynôme}, de degré $2g_K$.
+Vérifions les propriétés (i)--(iii). La première est une reformulation
+de \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} (iv). La seconde
+est conséquence du fait que $ζ_K(s) → 1$ lorsque $\Re(s) → + ∞$.
+(iii) [...]
Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.