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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-11-15 16:53:24 (GMT)
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[LG] réécriture blabla (trivial) sur ζ
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1512,10 +1512,10 @@ et pour chaque $n ≥ 0$, on a
\[
ζ(-n) = (-1)^n \frac{B_{n+1}}{n+1}.
\]
-De plus, la fonction $\chap{ζ}(s)=ζ(s) π^{-s/2} Γ(s/2)$
+De plus, la fonction $\sur{ζ}(s)=ζ(s) π^{-s/2} Γ(s/2)$
satisfait l'équation fonctionnelle
\[
-\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s).
+\sur{ζ}(s)=\sur{ζ}(1-s).
\]
\end{théorème2}
@@ -2964,7 +2964,7 @@ Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
-Cependant, si $U$ est \emph{affine}, le morphisme diagonal
+Cependant, si $U$ est \emph{affine} (\ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}), le morphisme diagonal
$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
\commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...}
\item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
@@ -3509,7 +3509,7 @@ et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
\subsubsection{}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense \emph{affine} de $K$
de sorte que $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps
-des fractions $K$ (cf. \ref{OKU Dedekind}).
+des fractions $K$ (cf. \ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}).
L'application $U ⥲ \Specmax(𝒪_K(U))$ (cf. \emph{loc. cit.}), s'étend par linéarité
en une application surjective $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$, où le terme de droite
est le groupe de Picard défini en \refext{AVD-D}{définition groupe Picard
@@ -3566,6 +3566,7 @@ CQFD.
\end{démo}
\subsubsection{}
+\label{définition diviseur effectif}
On appelle \textbf{diviseur effectif}\footnote{On évite la terminologie
« diviseur positif » qui peut prêter à confusion dans un contexte plus
général.} sur $U$ tout élément du sous-monoïde $\Div_+(U)$ de $\Div(U)$
@@ -4533,143 +4534,141 @@ au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition.
\subsubsection{}
\label{définition zêta Dedekind}
-Soit $K$ un corps global. Notons $|d_K|$ la norme d'un idèle
-différentielle (\ref{idèle différentiel}) et, le cas
-échéant, $q$ le cardinal du corps des constantes.
-Les fonctions zêta suivantes jouent un rôle essentiel
-dans l'étude de l'arithmétique de $K$.
-La plus célèbre est la \emph{fonction zêta de Dedekind}
-\index{fonction zêta de Dedekind}
-\[
-ζ_K(s)= ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} \frac{1}{1-q_x^{-s}}
-\]
-où $x$ parcourt les places \emph{ultramétriques} de $K$
-et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$.
-% vérifier notations ci-dessus \XXX
-Notons que $ζ_K(s)=∏_{x ∈Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} ζ_{K_x}(s)$
-où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] cf. \ref{calcul
-explicite intégrale quasi-caractère I} \XXX
+Soit $K$ un corps global, dont on note $X$ l'ensemble des places
+ultramétriques. Pour chaque $x ∈ X$ notons $q_x$ — ou
+parfois $N(x)$ — le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$.
+La \textbf{fonction zêta de Dedekind} \index{fonction zêta de Dedekind}
+de $K$ est la fonction
+\[
+ζ_K(s)= ∏_{x ∈ X} ζ_{K_x}(s)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-q_x^{-s}}.
+\]
+Ce produit converge absolument sur le demi-plan $\Re(s)>1$.
+Comme c'est un cas particulier d'un énoncé démontré ci-dessous
+(\ref{}), nous n'en donnons pas la démonstration ici. \XXX
+% cf. Weil p. 102-103.
+
+\subsubsection{}On rappelle (\ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère},
+\ref{Matchett}) que pour chaque $x$, le facteur local
+$ζ_{K_x}(s) = \frac{1}{1-q_x^{-s}}$ est la transformée de Mellin
+(locale) $ζ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_{K_x}},1,s)$ relativement à un
+caractère additif $ψ_x$ de niveau nul de $K_x$. Cette observation
+est cruciale.
-\subsubsection{}Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
+\subsubsection{}
+\label{zeta Dedekind via Hasse}
+Si $U$ est un \emph{ouvert affine} de $K$,
+c'est-à-dire un ensemble cofini $U ⊆ X$ tel que l'anneau $𝒪_K(U)$
+des $U$-entiers soit de corps des fractions $K$ (\ref{normalité triviale},
+\ref{OKU Dedekind}), on a l'égalité tautologique
\[
-ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s},
+ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
\]
-où $𝔞$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$,
-et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K ∕ 𝔞$.
-(Pour une définition générale de la fonction zêta de Hasse,
-cf. \refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}.)
+où l'on note $ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$
+est la fonction zêta de Hasse d'un anneau $A$ et $κ(𝔪)$
+le corps résiduel $A/𝔪$ (\refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}).
+Cette égalité est conséquence formelle du fait
+que l'application $x↦ 𝔪_x$ induit une bijection
+entre $U$ et le spectre maximal $\Specmax(𝒪_K(U))$ de $𝒪_K(U)$,
+telle que $q_x = N(𝔪_x)$.
-En effet \XXX.
-
-Dans ce cas, il est également naturel de considérer la
-fonction zêta étendue aux places archimédiennes :
+\subsubsection{Réécriture : corps de nombres}
+Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
-\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s) × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
-ζ_{K_x}(s) = ζ_K(s) ζ_𝐑(s)^{r_𝐑} ζ_𝐂(s)^{r_𝐂},
+ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
\]
-où $K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe à $𝐑^{r_𝐂}× 𝐂^{r_𝐂}$ et les fonctions
-zêta archimédiennes sont comme en \ref{fonction zêta
-archimédienne}. On étend cette notation au
-cas de la caractéristique positive en posant
-$\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$, ou encore : $r_𝐑=r_𝐂=0$.
+où $𝔞$ parcourt l'ensemble des idéaux non nuls de l'anneau
+des entiers $𝒪_K$ et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient (fini) $𝒪_K ∕ 𝔞$.
+La seconde égalité est l'analogue de la formule d'Euler
+$∏_p \frac{1}{1-p^{-s}} = ∑_{n ≥ 1} n^{-s}$ (\cite[théorème 8]{Variae@Euler}).
+Elle résulte des égalités $(1-N(𝔪)^{-s})^{-1}=∑_{r ≥ 1} N(𝔪^r)^{-s}$,
+et du fait que chaque $𝔞$ s'écrit de manière unique
+(à l'ordre des facteurs près) comme un produit $𝔪_{x₁} \cdots 𝔪_{x_r}$,
+dont la norme est $N(𝔪_{x₁} \cdots 𝔪_{x_r})=N(x₁)\cdots N(x_r)$.
-\subsubsection{}Si $K$ est un corps de fonctions, extension finie
-de $𝐅_p(t)$, on a également
+\subsubsection{Réécriture : corps de fonctions}
+Si $K$ est un corps de fonctions, notons $q$ le cardinal
+de son corps des constantes. Pour chaque $x ∈ X$,
+le cardinal $q_x$ est donc égal à $q^{\deg(x)}$,
+où $\deg(x)$ est le degré de l'extension $κ(x) \bo k$
+(\ref{formule du produit additive}).
+Il en résulte que l'on a, du moins formellement,
\[
-ζ_K(s)=ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x | ∞} ζ_{K_x}.
+ζ_K(s) = Z_K(q^{-s}) \text{, où }
\]
-À titre d'exemple, considérons le cas où $A=𝐅_p[t]$.
-On a
\[
-ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}
-=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}},
+Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} ∈ 𝐙[[T]].
\]
-où $|f|=p^{-\deg(f)}$ et $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles
-unitaires de $𝐅_p[t]$. Comme expliqué plus haut (dans un cas plus général),
-l'égalité entre la somme et le produit eulérien
-est une conséquence immédiate du fait que tout polynôme unitaire se
-décompose de façon unique (à l'ordre des facteurs près) en produit
-de polynômes unitaire irréductibles.
-Puisqu'il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
-dans $𝐅_p$, on a $ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_d
-\frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$.
-Comme $ζ_{K_∞}(s)=(1-p^{-s})$, on en déduit :
+L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet de réécrire
+cette nouvelle « fonction Zêta » :
\[
-ζ_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
+Z_K(T)= ∑_{r ≥ 0} N_r T^r,
\]
+où $N_r$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs}
+(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $r$.
-\begin{exercice2}
-Déduire de l'égalité
+\subsubsection{Fonction zêta complétée}
+\label{fonction zêta complétée}
+Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode
+d'introduire la \textbf{fonction zêta (de Dedekind) complétée}
\[
-(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}
+\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
\]
-la formule $p^n=∑_{d|n} d ⋅ \#𝒫_{p,d}$, où $𝒫_{p,d}=\{P ∈ 𝒫_p:\deg(P)=d\}$.
-(Indication : on pourra poser $X=p^{-s}$ et considérer la dérivée
-logarithmique relativement à $X$ des deux termes.)
-Cette formule a été précédemment démontrée
-en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
-\end{exercice2}
-
-
-\XXX
-
-\subsubsection{}
-\label{fonction zêta étendue}
-Enfin, on pose :
+où les fonctions zêta archimédiennes $ζ_𝐑$ et $ζ_𝐂$ sont
+les \textbf{facteurs Gamma} modifiés considérés en \ref{Mellin local archimédien}.
+Nous étendons cette définition au cas où $K$ est un corps de fonctions
+en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathrm{arch.}}(K)=∅$).
+Nous verrons ci-dessous que cette fonction zêta se prolonge analytiquement
+en une fonction méromorphe satisfaisant l'équation fonctionnelle
\[
-\chap{ζ}_K(s)=|d_K|^{½s} ⋅ \sur{ζ}_K(s).
+\sur{ζ}_K(s)=|d_K|^{s-½} \sur{ζ}_K(1-s),
\]
-C'est cette fonction qui satisfait une équation
-fonctionnelle (cf. \ref{} \emph{infra}).
+où $|d_K|$ désigne la norme d'un idèle différentiel (\ref{idèle différentiel}).
+
+La fonction zêta complétée est parfois notée $Ξ_K$ ou $\chap{ζ}_K$ dans la littérature.
+Prendre également garde au fait que certains auteurs (comme \cite{Neukirch}) incluent le facteur
+correctif supplémentaire $|d_K|^{-s/2}$ dans la définition de $\sur{ζ}_K$ de
+façon à avoir une parfaite invariance $s ↔ 1-s$.
+
+\subsubsection{}Nous verrons dans d'autres chapitres des applications
+arithmétique de l'étude analytique des fonctions zêta
+(au sens large). Voici une chronologie non exhaustive \XXX :
+\begin{itemize}
+\item 1737, Euler (\cite[théorème 19]{Variae@Euler})\footnote{Voir par exemple
+\cite{Euler@Kurokawa} pour un panorama des résultats d'Euler.} : $∑_{p \text{ premier}} \frac{1}{p} =
+\log ζ(1) = +∞$.
+\item 1838, Dirichlet : « Sur l′usage des séries infinies dans la théorie des
+nombres » [...].
+\item 1859, Riemann : utilisation de la variable complexe, lien fin entre $π(x)$
+et les zéros de $ζ$.
+\item 1896, Hadamard et de la Vallée-Poussin : $ζ_{|\Re =1} ≠ 0 ↔ π(x) ∼
+\frac{x}{\log(x)}$.
+% Frobenius \XXX
+\item 1925, Čebotarëv : théorème d'équidistribution
+\end{itemize}
\subsection{Exemples}
\subsubsection{Corps des rationnels}
La fonction zêta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction
-zêta de Riemann\index{fonction zêta de Riemann}\footnote{Rappelons que cette
-série a été considérée, du moins évaluée en les entiers
-positifs, par Euler dès les années \oldstylenums{1730}
-environ. Voir \cite{Euler@Kurokawa} pour un panorama
-des résultats d'Euler. Domaine complexe ($\Re(s)>1$) : Čebyšev ; référence ? \XXX.}
-\[
-ζ(s)=∑_{n ≥ 1} n^{-s}=∏_p (1-p^{-s})^{-1}.
-\]
-% « Variae observationes circa series infinitas , théorème 8
-% pour la formule du produit.
-On a, par définition,
+zêta de Riemann\index{fonction zêta de Riemann}
\[
-\chap{ζ}_𝐐=ζ ⋅ Γ_𝐑
+ζ(s)=∑_{n ≥ 1} n^{-s}=∏_p (1-p^{-s})^{-1},
\]
-et, comme on l'a vu en \ref{exemple Mellin réel},
+et, par définition,
\[
-ζ(ψ,s)=ζ(2s) Γ(s) π^{-s}
+\sur{ζ}_𝐐=ζ ⋅ ζ_𝐑 \text{, où } ζ_𝐑(s)=π^{-½s}Γ(½s).
\]
-— le terme de gauche désignant la transformée de
-Mellin définie en \ref{transformée Mellin réelle} —,
-soit encore $\chap{ζ}_𝐐(s)=ζ(ψ,\frac{s}{2})$,
-où $ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}$ et l'on suppose par exemple $s>1$.
-Dans le paragraphe susmentionné, cette égalité est le point de départ
-d'une démonstration classique de l'équation fonctionnelle
-de la fonction zêta de Riemann (\ref{propriétés zêta Euler-Riemann}),
-obtenue en appliquant la formule de Poisson réelle à $ψ$ (ou plutôt $θ=1+2 ψ$).
-Nous verrons ci-après des généralisations (corps global quelconque)
+Comme on l'a vu en \ref{exemple Mellin réel},
+la fonction $\sur{ζ}_𝐐(s)$ est la transformée de Mellin (\ref{transformation Mellin réelle})
+$ζ(ψ,\frac{s}{2})$ de la fonction $ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}$,
+où l'on suppose par exemple $s>1$.
+Cette égalité, jointe à la formule de Poisson, est le point clef
+de la démonstration classique de l'équation fonctionnelle
+de la fonction zêta de Riemann (\ref{propriétés zêta Euler-Riemann}).
+(Rappelons que le norme d'un idèle différentiel de $𝐐$ est  $1$.)
+Nous verrons ci-après des généralisations, pour un corps global quelconque,
de ce fait, démontrées par voie adélique.
-L'intérêt de ces fonctions pour l'étude de la théorie des nombres
-est connue depuis longtemps\footnote{Cf. Dirichlet,
-« Sur l′usage des séries infinies dans la théorie des nombres », 1838
-et Hadamard, « Sur la distribution des zéros de la fonction $ζ(s)$ et
-ses conséquences arithmétiques » (1896). [Gallica].}.
-Par exemple, l'existence d'un pôle
-simple en $s=1$ de $ζ$ et l'existence du produit eulérien
-entraîne l'égalité
-\[
-\text{« }∑_{p \text{ premier}} \frac{1}{p} = \log(∞) \text{ »}
-\]
-découverte par Euler, précisant ainsi le théorème d'Euclide sur
-l'infinité des nombres premiers.
-Nous en verrons de nombreux autres exemples dans les chapitres suivants.
-
\begin{exercice2}[Démonstration de $ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par récurrence]
Soit $k ≥ 4$ un nombre pair. Considérons
la fraction rationnelle
@@ -4708,31 +4707,50 @@ En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
\end{exercice2}
\subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}
-Il résulte de la factorialité de l'anneau $𝐅_p[t]$
-que l'on a l'égalité :
-\[
-ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} N(f)^{-s}
-\]
-où $N(f)=p^{\deg(f)}$. Il en résulte que
-\[
-ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{d ≥ 1} p^d ⋅ p^{-ds}=(1-p^{1-s})^{-1}
-\]
-et finalement que
-\[
-ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})^{-1}ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
-\]
-Comme d'autre part $g_{𝐅_p(t)}=0$ d'où $|d_{𝐅_p(t)}|^½=p^{-1}$,
-si bien que
-\[
-\chap{ζ}_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{p^{-s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}.
-\]
-Cette fonction est visiblement invariante par le changement
-la transformation $s ↔ 1-s$, s'étend en une fonction
-méromorphe sur $𝐂$ — c'est même une fonction rationnelle
+Par définition et description des places de $𝐅_p(t)$, on a
+\[
+ζ_{𝐅_p(t)}(s)= \Big(∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}\Big) ⋅ (1-p^{-s})^{-1},
+\]
+où $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles
+unitaires de $𝐅_p[t]$ et $|f|=p^{-\deg(f)}$.
+Notons que le premier facteur s'identifie à la fonction
+zêta de Hasse de l'anneau $𝐅_p[t]$ des entiers
+hors de la place à l'infini $∞$. (Rappelons
+que la valuation correspondante est définie par
+le degré (en $t$) des fractions rationnelles.)
+Ce facteur se réécrit
+\[
+∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}=
+∑_d \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$
+\]
+car il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
+dans $𝐅_p$. Ainsi,
+\[
+ζ_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})} \text{\quad et \quad}
+Z_{𝐅_p(t)}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-pT)}.
+\]
+Comme d'autre part le genre $g_{𝐅_p(t)}$ de $𝐅_p(t)$ est nul (\ref{genre droite projective}),
+on a $|d_{𝐅_p(t)}|^½=p$ (\ref{Tamagawa et idèle différentiel})
+de sorte que, notant $K=𝐅_p(t)$, on a
+$|d_K|^{-s/2} ⋅ ζ_{K}(s)=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}$.
+Cette fonction est visiblement invariante par la substitution $s ↔ 1-s$,
+s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$ — c'est même une fonction rationnelle
en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement
et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
% colle bien avec le $-h_K/(1-q)$.
+\begin{exercice2}
+Déduire de l'égalité
+\[
+(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}
+\]
+la formule $p^n=∑_{d|n} d ⋅ \#𝒫_{p,d}$, où $𝒫_{p,d}=\{P ∈ 𝒫_p:\deg(P)=d\}$.
+(Indication : on pourra poser $T=p^{-s}$ et considérer la dérivée
+logarithmique relativement à $X$ des deux termes.)
+Cette formule a été précédemment démontrée
+en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
+\end{exercice2}
+
\subsubsection{$𝐐(i)$}
$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
@@ -4745,7 +4763,7 @@ La fonction $ζ_K$ converge absolument pour $\Re(s)>1$.
Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
-∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$
+∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$
égal à … ou $-h_K/(1-q)$.
\end{théorème2}
@@ -4964,7 +4982,7 @@ pour obtenir :
\]
Enfin, $ζ([×d]^*f,χ)=χ(d)^{-1}ζ(f)$, d'où
$ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s)=|d_K|^{½-s} [...]ζ(𝟭,s)$
-L'équation fonctionnelle pour $\chap{ζ}_K$ en résulte aussitôt.
+L'équation fonctionnelle pour $\sur{ζ}_K$ en résulte aussitôt.
\begin{lemme2}
\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\]