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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-01-18 17:04:33 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-01-18 17:04:33 (GMT)
commitf96b5a65e4d99a0b54266f570a8d782afe0d2eb8 (patch)
treef6b02c0d9d74ce94555aad60ce82d2c347288725 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] ε² sur RH
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex48
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index 3c2b65f..d6e4e40 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4664,11 +4664,11 @@ notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$
on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant
une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$.
(Ce dernier correspond à une classe de valuations sur $K$.)
-Si $k′ \bo k$ est finie de degré $n$,
-l'image cette application est $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre
+Si l'extension $k′ \bo k$ est finie de degré $n$,
+l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre
au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$.
Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre
-que le cardinal de $X(k_n)$ où $k_n$ désigne une extension
+que le cardinal de $X(k_n)$, où $k_n$ désigne une extension
de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près).
@@ -5392,9 +5392,11 @@ constantes $k$, de cardinal $q$ et de caractéristique $p$.
On note $g$ le genre de $K$.
\subsection{Énoncé}
-On a vu que la fonction Zêta de $K$ s'écrit $Z(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$,
-où $P$ est un polynôme à coefficients entier de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$.
-On peut donc l'écrire $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$, où les $α_i$ sont les
+D'après \ref{équation fonctionnelle zêta} (iii), la fonction Zêta de $K$ est une
+fraction rationnelle de la forme $\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$,
+où $P$ est un polynôme à coefficients entiers de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$.
+Un tel polynôme se factorise de façon unique, à l'ordre des facteurs près,
+en un produit $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$ : les $α_i$ sont les
inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des complexes.
En identifiant la dérivée logarithmique de la fraction rationnelle $Z$
avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions},
@@ -5412,9 +5414,10 @@ De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$.
\begin{démo}
Seul le complément est à vérifier.
-La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle satisfaite
-par $P$ (\ref{}) d'après laquelle l'ensemble des zéros de $P$ est stable
-par $z↦ 1/(qz)$.
+La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle
+$P(q^{-1}T^{-1})=q^{-χ/2}T^{-χ_K}P(T)$ (\ref{équation fonctionnelle
+zêta} (iii,b), qui entraîne la stabilité de l'ensemble des zéros de $P$
+par $z↦ q^{-1}z^{-1}$.
%Il en résulte également que $∏_i α_i = ∏_i q/α_i$ d'où
%$∏_i α_i = ± q^g$. On laisse le soin au lecteur de vérifier
%que l'égalité $∏_i α_i = -q^g$ contredit l'équation fonctionnelle (et l'égalité
@@ -5422,11 +5425,21 @@ par $z↦ 1/(qz)$.
\end{démo}
\begin{corollaire2}
-La connaissance des entiers $N(1),…,N(2g)$ détermine les valeurs de $N(n)$
+La connaissance des entiers $N(1),…,N(g)$ détermine les valeurs de $N(n)$
pour $n$ arbitraire.
\end{corollaire2}
-[Améliorer ($g$ suffit); cf. [Katz, p. 19] \XXX]
+\begin{démo}
+Commençons par observer que la connaissance de tous les $N(n)$
+est équivalente à la connaissance de la fonction Zêta,
+qui est égale à $\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})$ (cf. \ref{réécriture Zêta corps de fonctions}, ($††$)).
+Écrivons $P(T)=∑₀^{2g} c_n T^n$. D'après l'équation fonctionnelle satisfaite
+par $P$, on a $c_{2g-n}=q^{g-n}c_n$ pour chaque $0 ≤ n ≤ g$. Il en résulte que la fonction
+Zêta $Z=P (1-T)^{-1}(1-qT)^{-1}$ est déterminée par $c₁,…,c_g$.
+Or, l'égalité
+$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})}) \mod (T^{g+1})$
+montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 ≤ n ≤ g$.
+\end{démo}
L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant.
@@ -5446,7 +5459,8 @@ L'implication non triviale de l'équivalence sera établie ci-dessous. \XXX
Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et,
pour chaque entier $n$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$
-de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$.
+de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$
+définis en \ref{notation-Xk}.
Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble
$\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points
fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k$ agissant sur
@@ -5461,20 +5475,20 @@ correspondant est net, il existe un unique $g ∈ G$ tel
que $\Frob_k(x)=g(x)$. Il en résulte
que
\[
-1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1).
+1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \#\Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1).
\]
Le terme supplémentaire est là pour tenir compte des points de ramification.
-Il en résulte que, si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
-ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ on sait également
+Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
+ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également
minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$.
\begin{théorème2}[Bombieri]
Supposons $q=p^α$ avec $α$ pair, $q>(g+1)⁴$
-et qu'il existe $x ∈ X(k)$.
+et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
Alors pour tout $g ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
\[
-\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}.
+\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}.
\]
\end{théorème2}