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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-15 18:10:50 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-15 18:10:50 +0100
commitfefc3432c24f7a2055c80368102c36b4f834a4ef (patch)
tree46b7244bc03670781968351c3500d0efc2549fbe /chapitres/locaux-globaux.tex
parenta5e126285559918489639e5f4e1be60179e02267 (diff)
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[LG] début réécriture en détail (après la phase « esquisse »). Clarification sur mesures quotients.
Cf. aussi Nachbin, p. 86.
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex96
1 files changed, 59 insertions, 37 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index e318b0c..05bd911 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -255,9 +255,12 @@ invariante à droite, en un sens évident.
\subsubsection{Existence et unicité à un facteur près d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration}
\label{Haar existence et unicité}
Le lecteur pressé peut omettre la lecture de ce paragraphe sans préjudice
-notable\footnote{Voir \ref{mesures Tamagawa locales} pour une construction \emph{ad hoc} dans le cas local
-et \XXX pour des remarques dans le cas adélique. Cf. Weil,
-commentaire sur [1967c] dans ces Œuvres, tome III.}
+notable : dans les applications que nous en ferons, les énoncés
+peuvent se ramener par passage à la limite à des énoncés
+explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de manière
+\emph{ad hoc} en \ref{mesures Tamagawa locales}.
+%\XXX Il faudrait vérifier.
+%Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses Œuvres, tome III.
%l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions
%dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes
%dans $𝒪_x$ [utile pour formule du produit] et que
@@ -428,7 +431,7 @@ réel $\mod(φ)>0$, appelé \emph{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$
ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
-unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (\XXX) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
+unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
— car $gG=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
Appliquant cette observation au cas des automorphismes
intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
@@ -440,49 +443,68 @@ invariante à droite lorsque $G$ est
\subsubsection{}
\label{module quotient}
-$\mod_G(φ)=\mod_{G/H}(φ)\mod_H(φ)$
-\XXX
-
-\subsubsection{Mesure quotient et domaine fondamental}
-\label{mesure quotient par groupe discret}
-Soient $G$ un groupe abélien\footnote{inutile \XXX} topologique localement compact,
-muni d'une mesure de Haar $μ$ et $Γ$ un sous-groupe discret tel que le quotient
-$X=G/Γ$ soit compact. Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
+Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$.
+Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact.
+Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$.
+À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
+la fonction « moyenne sur les $H$-orbites » :
+\[
+m_Γ(f): g↦ μ_Γ([×g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dγ.
+\]
+Cette fonction est $Γ$-invariante et induit
+une fonction continue à support compact sur $X$,
+également notée $m_Γ(f)$.
+La forme linéaire $f↦ μ_X( m_Γ(f))$ est une mesure
+de Haar $μ_G$ sur $G$ telle que
+\[
+∫_G f(g) dμ_G(g)=∫_X \Big( ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ)\Big) dμ_X(\sur{g}).
+\]
+On peut montrer l'existence d'un triplet de telles mesures de Haar
+dès que $Γ$ est un sous-groupe fermé de $G$ (non nécessairement
+discret ou cocompact).
+% Nachbin, p. 86.
+Il résulte immédiatement de cette formule que pour tout
+automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
+on a
+\[
+\mod_G(φ)=\mod_{G/Γ}(φ)\mod_Γ(φ).
+\]
+Dans le cas particulier considéré ici,
+on a $\mod_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
+et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
+d'où $\mod_G(φ)=1$.
+
+Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
+et imposant à $μ_Γ$ d'être la mesure de comptage,
+il existe une unique mesure de Haar sur $X=G/Γ$
+telle que la formule d'intégration ci-dessus
+soit satisfaite.
+
+\subsubsection{Domaine fondamental}
+\label{domaine fondamental}
+Une autre approche pour intégrer sur le quotient
+consister à définir un \emph{domaine fondamental}
+dans $G$ et intégrer dessus.
+Esquissons une construction. Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
que $U^{-1} U ∩ Γ = \{e\}$ (notation multiplicative).
Pour chaque $γ ∈ Γ$, notons $U_γ$ le translaté $U γ$.
Il résulte de la compacité de $X$ qu'il existe
un nombre fini d'éléments $g₁,…,g_n$ de $G$ tels
-que $⋃_{i,γ} g_i U_γ=G$. % En effet, la réunion $⋃_{g,γ} g U_γ$ est
-% ouverte, $Γ$-saturée et se surjecte sur $X$.
+que $⋃_{i,γ} g_i U_γ=G$. (En effet, la réunion $⋃_{g,γ} g U_γ$ est
+ouverte, $Γ$-saturée et se surjecte sur $X$.)
Ainsi, il existe un nombre dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels
-que $π:G ↠ X=G ∕ Γ$ induise une \emph{injection} $π_{|U_i}$.
+que la projection $π:G ↠ X$ restreinte aux $U_i$ induise une \emph{injection}.
Alors,
\[
F= ⋃_i \Big( U_i - (⋃_{j<i} U_i Γ)\Big)
\]
est un \emph{domaine fondamental} : $π$ induit une \emph{bijection}
$F ⥲ X$. Cet ensemble est mesurable par construction, de mesure finie
-\XXX et induit une mesure sur l'espace topologique $X$.
-En effet, on peut considérer
-la forme linéaire envoyant $f ∈ 𝒞_c(X,𝐂)$ ($=𝒞(X,𝐂)$) sur
-\[
-\dot{μ}(f)=∫_F (f ∘ π) d μ,
-\]
-la fonction $(f ∘ π) ⋅ 𝟭_F$ appartenant à $L¹(G,μ)$. \XXX
-On vérifie immédiatement \XXX que lorsqu'une fonction $φ$
-sur $G$ appartient à $𝒞_c(G,𝐂)$ ou bien est mesurable
-à valeurs positives, on a la formule
-\[
-∫_G φ(g) d μ(g) = ∫_X (∑_γ φ(g+γ)) d \dot{μ}(\dot{g}),
-\]
-où la fonction $∑_γ φ(g+γ)$ est vue comme fonction sur $X$.
-La mesure $μ$ étant $G$-invariante, il en est de même de $\dot{μ}$.
-Indépendance du choix de $F$ ⤳ « $μ(X)$ » [...] \XXX
-% Weil [BNT] p. 36.
-% Sur l'existence d'un domaine fondamental quarrable/mesurable,
-% cf. exercice 12, INT chap. VII, §2, p. 114 :.
-%Voir aussi Platonov, Rapinchuk, chap. III et Colmez,
-%« Éléments d'analyse … », B.1.6.
+et induit une mesure sur l'espace topologique $X$.
+En effet, on peut considérer la forme linéaire envoyant $f ∈ 𝒞(X,𝐂)$ ($X$ est
+compact) sur $\dot{μ}(f)=∫_F (f ∘ π) d μ$, la fonction $(f ∘ π) ⋅ 𝟭_F$ appartenant à $L¹(G,μ)$.
+On vérifie immédiatement la formule d'intégration
+du paragraphe précédent.
\subsection{Corps localement compacts : généralités et classification}
\label{corps localement compacts}
@@ -2849,7 +2871,7 @@ en exercice au lecteur.
\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure
-de Haar et $X$ de la mesure quotient $\dot{μ}$ associée (\ref{mesure quotient par groupe discret}).
+de Haar et $X$ de la mesure quotient $\dot{μ}$ associée (\ref{mesure quotient}, \ref{domaine fondamental}).
Soient $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue
déduite de
\[