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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-19 16:08:51 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-19 16:08:51 (GMT)
commitffa6ebd03f03d88ec02b93cd723d4de1dbf03cae (patch)
treec23bc5022a094f3e4c3f599f137cdc7fe5a91aea /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] début réécriture/relecture bref ❡ (§?) sur lien corps de fonctions ↔ courbes algébriques
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex55
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 0de9a31..5511d42 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4234,50 +4234,59 @@ Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-Si $Y$ est vide, c'est trivial.
-Si $Y=\{y\}$, cela résulte du fait que $l((n+1)Y)>l(nY)$ pour $n ≫ 0$ :
-il existe une fonction $f_y ∈ K$ ayant un pôle en $y$ et seulement en $y$.
-Enfin, si $Y=\{y₁,…,y_r\}$, il suffit de considérer une somme
-de fonctions $f_{y₁}+\cdots+f_{y_r}$ ayant chacune un pôle l'un des $y_i$
-(et pas ailleurs).
+Supposons $Y$ non vide, sans quoi l'énoncé est trivial.
+Pour chaque $y ∈ Y$, il résulte du théorème de Riemann-Roch qu'il
+existe une fonction $f_y ∈ L((n+1)y)-L(n y)$, pour un entier positif $n$
+suffisamment grand. Une telle fonction a un pôle en $y$ et seulement
+en ce point. La fonction $f = ∑_{y ∈ Y} f_y$ convient.
\end{démo}
-Cf. Mittag-Leffler, problème de Cousin etc. \XXX
+%Cf. Mittag-Leffler, problème de Cousin etc. \XXX
\subsection{❡ Corps de fonctions et courbes algébriques}
-
- Commençons par la conséquence suivante du théorème
-de Riemann-Roch.
+Dans ce bref paragraphe, on fait le lien entre les corps
+de fonctions et les courbes algébriques.
+Commençons par la conséquence suivante du théorème de Riemann-Roch.
\begin{proposition2}
\label{RR implique Dedekind de type fini}
Soient $K$ un corps de fonctions, de corps des constantes $k$, et $U$ un ouvert dense.
-Alors $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de type fini sur $k$.
+Le sous-anneau $𝒪_K(U)$ de $K$ est un anneau de Dedekind de type fini sur $k$.
De plus, son corps des fractions est $K$ sauf si $U=Σ(K)$, auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
\end{proposition2}
-De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$.
-Cf. [Rosen, p. 247] \XXX
-
\begin{démo}
Supposons $U ≠ Σ(K)$. D'après \ref{existence de fonctions ayant pôles imposés},
il existe une fonction non constante $f ∈ K$ dont l'ensemble des pôles est exactement $Σ(K)-U$.
-Ainsi, posant $K₀=𝐅_p(f)$, l'image $U₀$ de $U$ dans $Σ(K₀)$
-n'est autre que $Σ(K₀)-\{∞₀\}$ et l'anneau $𝒪_K(U)$ est le normalisé dans $K$ de
-$𝒪_{K₀}(U₀)=𝐅_p[f]$, ce dernier anneau étant de type fini sur $k$.
+Ainsi, notant $K₀$ le sous-corps $k(f)$ de $K$ des fractions rationnelles en $f$,
+l'image $U₀$ de $U$ dans $Σ(K₀)$ n'est autre que $Σ(K₀)-\{∞₀\}$,
+où $∞₀$ est la « place à l'infini » du corps $K₀$ (isomorphe à $k(t)$ par $t ↦ f$).
+D'après \ref{fonctorialité anneau des Uentiers} (i),
+l'anneau $𝒪_K(U)$ est le normalisé dans $K$ de
+$𝒪_{K₀}(U₀)=k[f]$, ce dernier anneau étant de type fini sur $k$.
Il résulte du théorème \refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}
(resp. du théorème de Krull-Akiduki, \refext{AVD-D}{Krull-Akiduki})
que l'anneau $𝒪_K(U)$ est de type fini sur $k$
(resp. nœthérien, de dimension $1$).
-On sait de plus qu'il est normal (cf. \ref{}) ; c'est donc un anneau de Dedekind.
-Enfin, lorsque $U=Σ(K)$, on considère un
-sous-corps global premier arbitraire $K₀$ de $K$.
-Il résulte de \ref{fonctorialité anneau des Uentiers} que $𝒪_K(Σ)$ est la clôture
-intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀)$ dans $K$. On a vu
-en \ref{sections globales droite projective} que $𝒪_{K₀}(Σ₀)=𝐅_p$.
+Puisqu'il est normal, c'est un anneau de Dedekind.
+
+Supposons maintenant $U=Σ(K)$. Soit $f ∈ K-k$ et $K₀=𝐅_p(f)$
+un sous-corps global premier de $K$.
+L'application $Σ(K) → Σ(K₀)$ étant surjective (\refext{AVD-D}{fonctorialité
+valeurs absolues}), l'anneau $𝒪_K(Σ)$ est
+la clôture intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀)$ dans $K$ (\ref{fonctorialité anneau des
+Uentiers}, (i)).
+Or, on a vu en \ref{sections globales droite projective} que $𝒪_{K₀}(Σ₀)=𝐅_p$ :
+les fonctions rationnelles sans pôles sont les constantes.
La conclusion en résulte.
\end{démo}
+ \[⁂\]
+
+De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$.
+Cf. [Rosen, p. 247] \XXX
+
+
\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Munissons l'ensemble $Σ$ de la topologie suivante,