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\title{Produit tensoriel}
-\setcounter{tocdepth}{3}
-%\setcounter{secnumdepth}{2}
-%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
-
+%%%
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -32,7 +19,7 @@
\subsubsection{Définition}
-\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire}
+\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $P$ un groupe abélien. On dit
qu'une application $f\colon M × N \to P$ est
@@ -45,9 +32,9 @@ $A$-\emph{bilinéaire} lorsque :
\item pour tous $x$ dans $M$, $y$ dans $N$ et $a$ dans $A$,
on a $f(xa,y) = f(x,ay)$.
\end{itemize}
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche. On dit qu'un groupe abélien $P$
muni d'une application $A$-bilinéaire $\varphi\colon M × N \to P$ est
@@ -57,7 +44,7 @@ groupe abélien $T$ quelconque il existe une unique application
additive $\tilde f \colon P \to T$ (c'est-à-dire morphisme de groupes
abéliens) telle que $f = \tilde f \circ \varphi$ (cette propriété
s'appelant la \emph{propriété universelle du produit tensoriel}).
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Avant de prouver (dans la
proposition \ref{existence-produit-tensoriel} ci-dessous) que le
@@ -68,7 +55,7 @@ de leurs bases (on verra
en \ref{produit-tensoriel-et-puissance-directe} qu'il en va de même
des modules libres en général) :
-\begin{exemple3}
+\begin{exemple2}
Soit $k$ un corps (ce qui, par convention signifie : commutatif), $E$
et $F$ deux $k$-espaces vectoriels ayant pour bases respectivement
$(e_i)_{i \in I}$ et $(f_j)_{j \in J}$. Soit $E \otimes_k F$ l'espace
@@ -84,7 +71,7 @@ $k$-espace vectoriel quelconque, revient à se donner l'image de
$(e_i,f_j)$ par $b$ (dans $T$) pour chaque couple $(e_i,f_j)$, et se
donner une application $k$-linéaire $E \otimes_k F \to T$ revient
également à se donner l'image de chaque couple $(e_i,f_j)$.
-\end{exemple3}
+\end{exemple2}
(Remarquons par ailleurs que $E\otimes_k F$ n'est pas seulement un
groupe abélien mais même un $k$-espace vectoriel : ce phénomène sera
@@ -96,7 +83,7 @@ ces dimensions.)
\subsubsection{Existence et fonctorialité}
-\begin{proposition3}\label{existence-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}\label{existence-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche. Il existe un produit tensoriel
$(P,\varphi)$ de $M$ et $N$ au-dessus de $A$, et de plus si
@@ -104,7 +91,7 @@ $(P',\varphi')$ est un autre produit tensoriel, alors il existe un
isomorphisme de groupes abéliens $h\colon P \to P'$ tel que $\varphi'
= h \circ \varphi$ (et cet isomorphisme est unique sous cette
condition).
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
@@ -137,7 +124,7 @@ s'annule sur $F_0$ donc passe au quotient et définit un $\tilde b
\end{proof}
L'existence du produit tensoriel étant acquise, on peut convenir :
-\begin{convention3}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
+\begin{convention2}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche : on notera $M \otimes_A N$, ou
abusivement $M \otimes N$ s'il n'en résulte aucune ambiguïté, un
@@ -154,14 +141,14 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel}) dont l'existence et l'unicité
sont garanties par la définition du produit tensoriel. (Il s'agit de
l'unique application additive $M\otimes_A N \to T$ envoyant $x\otimes
y$ sur $f(x,y)$ pour tous $(x,y) \in M\times N$.)
-\end{convention3}
+\end{convention2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche : alors $M \otimes_A N$ est
engendré, en tant que groupe abélien, par les éléments de la forme $x
\otimes y$ avec $x \in M$ et $y \in N$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Cela résulte par exemple de la construction faite de $M \otimes_A N$
dans la preuve de la proposition \ref{existence-produit-tensoriel}.
@@ -183,14 +170,14 @@ notant $\{e_1,e_2\}$ la base canonique de $k^2$.
On aura besoin de la notion de produit tensoriel d'applications
linéaires, qui traduit la \emph{fonctorialité} du produit tensoriel :
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules à droite, et
$g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules
à gauche. Alors il existe une unique application additive $h\colon
M\otimes_A N \to M'\otimes_A N'$ telle que $h(x\otimes y) = f(x)
\otimes g(y)$ pour tous $x\in M$ et $y\in N$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'application $M×N \to M'\otimes_A N'$ définie par $(x,y) \mapsto
f(x)\otimes g(y)$ est manifestement $A$-bilinéaire : la propriété
@@ -205,29 +192,29 @@ universelle du produit tensoriel, grâce à laquelle on n'a jamais à
revenir à la construction explicite qui a été donnée de l'objet en
question.)
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
Dans les conditions et avec les notation de la
propositions \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, on notera $h =
f\otimes_A g$ (ou $f \otimes g$) et on l'appellera produit tensoriel
des morphismes $f$ et $g$. Lorsque de plus $g = \Id_N$, on note aussi
$f \otimes_A N$ (au lieu de $f \otimes_A \Id_N$), et de même si $f =
\Id_M$ on note aussi $M \otimes_A g$ (au lieu de $\Id_M \otimes_A N$).
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
et $f'\colon M'\to M''$ deux applications $A$-linéaire composables
entre $A$-modules à droite, et $g\colon N\to N'$ et $g'\colon N'\to
N''$ deux applications $A$-linéaires composables entre $A$-modules à
gauche. Alors $(f'\circ f) \otimes (g'\circ g) = (f'\otimes g') \circ
(f\otimes g)$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
d'applications.
\end{proof}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
à droite, et $g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire
@@ -235,7 +222,7 @@ une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
g$ est surjective. De plus, son noyau est engendré (en tant que
groupe abélien) par les éléments de la forme $x \otimes y$ où $x \in
\Ker f$ \emph{ou bien} $y \in \Ker g$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
On a vu en \ref{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs} que les
$x' \otimes y'$ avec $x' \in M'$ et $y' \in N'$ engendrent $M' \otimes
@@ -261,7 +248,7 @@ M'\otimes_A N' \to (M\otimes_A N)/T$, telle que $h'h =
\subsubsection{Cas des bimodules}
Pour cette section, nous rappelons la définition suivante :
-\begin{definition3}
+\begin{definition2}
Soient $A$ et $B$ deux anneaux non nécessairement commutatifs : un
\emph{$(A,B)$-bimodule} est la donnée d'une structure de $A$-module à
gauche et de $B$-module à droite sur un même groupe abélien $M$, qui
@@ -276,7 +263,7 @@ $A$-linéaire (pour la structure de $A$-modules à gauche de $M$ et $N$)
et $B$-linéaire (pour la structure de $B$-modules à droite de
$M$ et $N$). Un \emph{isomorphisme} de $(A,B)$-bimodules est une
application $(A,B)$-linéaire bijective entre eux.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
De même qu'un $\ZZ$-module à gauche (resp. à droite) n'est rien
d'autre qu'un groupe abélien, on voit que, pour tout anneau non
nécessairement commutatif $A$, un $(\ZZ,A)$-bimodule (resp. un
@@ -284,7 +271,7 @@ $(A,\ZZ)$-bimodule) n'est rien d'autre qu'un $A$-module à droite
(resp. un $A$-module à gauche), et une application $(\ZZ,A)$-linéaire
(resp. $(A,\ZZ)$-linéaire) n'est autre qu'une application $A$-linéaire.
-\begin{remarque3}\label{hom-bimodules}
+\begin{remarque2}\label{hom-bimodules}
Lorsque $N$ et $P$ sont respectivement un $(B,C)$-bimodule et un
$(A,C)$-bimodule (avec $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement
commutatifs), le groupe abélien $\Hom_C(N,P)$ des applications
@@ -299,9 +286,9 @@ structure de $(B,C)$-bimodule.
En revanche, si $M$ et $N$ sont deux $(A,B)$-bimodules, l'ensemble
$\Hom_{A,B}(M,N)$ des applications $(A,B)$-linéaires de $M$ vers $N$
n'a pas naturellement plus qu'une structure de groupe abélien.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
+\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
$(A,B)$-bimodule, $N$ un $(B,C)$-bimodule et $P$ un $(A,C)$-bimodule :
on dit que $f\colon M\times N \to P$ est $(A,B,C)$-bilinéaire lorsque
@@ -317,9 +304,9 @@ en \ref{hom-bimodules}, ou encore que l'application $N \mapsto
\Hom_A(M,P)$ donnée par $y \mapsto (x \mapsto f(x,y))$ est
$(B,C)$-linéaire où $\Hom_A(M,P)$ est muni de la structure de
$(B,C)$-bimodule explicitée au même endroit.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules}
Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
$(A,B)$-bimodule et $N$ un $(B,C)$-bimodule. Il existe alors une
unique structure de $(A,C)$-bimodule sur le groupe abélien $M
@@ -333,7 +320,7 @@ de \ref{definition-application-bilineaire-bimodules}), alors
l'application $\tilde f\colon M\otimes_B N \to T$ vérifiant $\tilde
f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont l'existence et l'unicité sont garanties
par la définition du produit tensoriel) est $(A,C)$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour un $a\in A$, considérons l'application $M\otimes_B N \to
M\otimes_B N$ donnée par $x\otimes y \mapsto (ax)\otimes y$
@@ -365,7 +352,7 @@ droite de façon naturelle, et que le produit tensoriel sur $B$ d'un
$(A,B)$-bimodule et d'un $B$-module à gauche est un $A$-module à
gauche de façon naturelle.
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
On pourrait être tenté d'imaginer que si $M$ est un $(A,B)$-bimodule
et $N$ un $(B,C)$-bimodule, il existe sur $M\otimes_B N$ une structure
de module sur $B$ (que ce soit à gauche ou à droite) en tentant de
@@ -375,9 +362,9 @@ xb\otimes y = x \otimes by$ n'est en général pas $B$-bilinéaire (au
sens de \ref{definition-application-bilineaire}), donc il n'est pas
possible d'en déduire une application de multiplication par $B$ sur $M
\otimes_B N$.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
Soit $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, et $f\colon
M\to M'$ et $g\colon N\to N'$ deux applications respectivement
$(A,B)$-linéaire et $(B,C)$-linéaire entre des $(A,B)$-bimodules
@@ -385,7 +372,7 @@ $M$ et $M'$ et des $(B,C)$-bimodules $N$ et $N'$. Si l'on munit
$M\otimes_B N$ et $M'\otimes_B N'$ de la structure de $(A,C)$-bimodule
définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}, alors
$f\otimes_B g$ est $(A,C)$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Si on note $a_P$ la multiplication par $a$ dans un $A$-module $P$, on
a $a_{M\otimes_B N} = a_M \otimes_B \Id_N$ par définition de la
@@ -403,12 +390,12 @@ fait que $f \circ a_M = a_{M'} \circ f$. La $C$-linéarité de
$f\otimes_B g$ se démontre de même.
\end{proof}
-\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
+\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
Le produit tensoriel sur $B$ d'un $(A,B)$-bimodule et d'un
$(B,C)$-bimodule sera toujours implicitement muni de la structure de
$(A,C)$-bimodule définie par la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
\subsubsection{Suites de bimodules et associativité}\label{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel}
@@ -422,7 +409,7 @@ cela, on fait la définition suivante, qui généralise
\ref{definition-application-bilineaire} ainsi que la définition
utilisée dans l'énoncé \ref{produit-tensoriel-bimodules} :
-\begin{definition3}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
+\begin{definition2}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
On dit qu'une application $f\colon M_1\times \cdots \times M_n \to P$,
@@ -443,7 +430,7 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-\emph{séquentiellement multilinéaire} lorsque :
\item pour tout $a\in A_n$ et tous $(y_j) \in M_1\times \cdots \times
M_n$, on a $f(y_1,\ldots, y_n a) = f(y_1,\ldots, y_n) a$.
\end{itemize}
-\end{definition3}
+\end{definition2}
On notera $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ l'ensemble des
applications $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaires de
@@ -451,7 +438,7 @@ $M_1\times \cdots \times M_n$ vers $P$. Remarquons qu'utiliser $\ZZ$
pour $A_0$ ou $A_n$ permet d'éliminer l'avant-dernière ou la dernière
des conditions ci-dessus.
-\begin{remarque3}\label{multihom-bimodules}
+\begin{remarque2}\label{multihom-bimodules}
L'ensemble $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ comme ci-dessus
n'est naturellement muni que d'une structure de groupe abélien. En
revanche, si $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, l'ensemble
@@ -481,12 +468,12 @@ multilinéaire $M_{k+1} \times \cdots \times M_n \to
((x_1,\ldots,x_k) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n))$.
(Cf. \ref{definition-application-bilineaire-bimodules} pour le
cas $n=3$.)
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
La définition suivante généralise \ref{definition-produit-tensoriel}
et \ref{produit-tensoriel-bimodules}
(cf. \ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}) :
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
On dit qu'un $(A_0,A_n)$-bimodule $P$ muni d'une application
@@ -497,14 +484,14 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaire $f \colon M_1 \times
\cdots \times M_n \to T$ vers un $(A_0,A_n)$-bimodule quelconque $T$
il existe une unique application $(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f \colon
P\to T$ telle que $f = \tilde f \circ \varphi$.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel
introduites en \ref{definition-produit-tensoriel} et
\ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}, commençons par établir
le lemme suivant :
-\begin{lemme3}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
+\begin{lemme2}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
Soit $k \in \{1,\ldots,n-1\}$. Si $(P',\varphi')$
@@ -518,7 +505,7 @@ M_1\times \cdots \times M_n \to P$ est donné par $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
\varphi'(x_1,\ldots,x_k) \otimes \varphi''(x_{k+1},\ldots,x_n)$, alors
$(P,\varphi)$ est un produit tensoriel (au sens
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$.
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\begin{proof}
L'application $\varphi$ introduite est bien séquentiellement
multilinéaire puisque $\varphi'$ et $\varphi''$ le sont et que
@@ -592,7 +579,7 @@ peut dire qu'ils s'obtiennent comme composantes de l'opération $*$
définie par $(Y',Z')*(Y'',Z'') = (Y'\mathbin{\sharp}Y'',
Z'\mathbin{\flat}Z'')$.
-\begin{proposition3}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
+\begin{proposition2}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
Il existe un produit tensoriel $(P,\varphi)$ (au sens
@@ -610,7 +597,7 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel},
$\varphi \colon M_1 \times \cdots \times M_n \to P$ envoyant
$(x_1,\ldots,x_n)$ sur $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$ parenthésé
identiquement.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
@@ -646,7 +633,7 @@ M_n$ et $x_1\otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$.
\end{proof}
-\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
Cette proposition justifie d'écrire désormais $M_1\otimes_{A_1} \cdots
\otimes_{A_n} M_n$ pour un produit tensoriel quelconque (au sens
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$,
@@ -665,9 +652,9 @@ l'application ($\tilde f$ avec les notatons
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) dont l'existence et
l'unicité sont garanties par la définition du produit tensoriel dans
ce cadre.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ une application
$(A_{i-1},A_i)$-linéaire $f_i\colon M_i \to M'_i$ entre
@@ -682,7 +669,7 @@ $M'_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M'_n$ étaient vus comme des
parenthésages complets identiques des expressions formelles en
question, alors $h$ peut être décrit comme parenthésage identique de
l'expression formelle $f_1 \otimes \cdots \otimes f_n$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Comme en \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, la démonstration de la
@@ -704,7 +691,7 @@ connu pour les sous-expressions gauche et droite de ce parenthésage.
Cette proposition justifie d'écrire désormais $f_1\otimes \cdots
\otimes f_n$ pour un $h$ tel qu'elle définit.
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ deux applications
$(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
@@ -712,7 +699,7 @@ $(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
f_1) \otimes \cdots \penalty300 \otimes (f'_n \circ f_n) =
(f'_1\otimes \cdots \otimes f'_n) \circ \penalty0 (f_1\otimes \cdots
\otimes f_n)$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
d'applications.
@@ -728,7 +715,7 @@ supplémentaire de $(A_0,A_n)$-bimodule sur le produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$ sur $\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ$ (lequel fournit donc
le groupe abélien sous-jacent) :
-\begin{proposition3}
+\begin{proposition2}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs,
soit pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un
$(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. Notons $P = M_1 \otimes \cdots
@@ -743,7 +730,7 @@ pour tous $a \in A_0$ et $(x_1,\ldots,x_n) \in M_1 \times \cdots
$(A_0,A_n)$-bimodule $P$ (toujours muni de $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$ sur $A_0,\ldots,A_n$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour un $a\in A_0$, considérons l'application $P \to P$ donnée par
$x_1\otimes \cdots \otimes x_n \mapsto (ax_1)\otimes \cdots \otimes
@@ -807,7 +794,7 @@ contrainte qu'on lui impose.
Lorsque $A$ est un anneau commutatif, les notions de $A$-module à
gauche, de $A$-module à droite, et de $(A,A)$-bimodule coïncident.
Les propositions précédentes permettent de conclure que :
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif}
Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $M$ et $N$ deux $A$-modules.
Il existe alors une unique structure de $A$-module sur le groupe
abélien $M \otimes_A N$ telle qu'on ait $a(x\otimes y) = (ax)\otimes
@@ -821,29 +808,29 @@ M\otimes_A N \to T$ vérifiant $\tilde f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont
l'existence et l'unicité sont garanties par la
définition \ref{definition-produit-tensoriel} du produit tensoriel)
est $A$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
\end{proof}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $f\colon M\to M'$ et $g\colon
N\to N'$ deux applications $A$-linéaires entre $A$-modules. Si l'on
munit $M\otimes_A N$ et $M'\otimes_A N'$ de la structure de $A$-module
définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}, alors
$f\otimes_A g$ est $A$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules-applications}.
\end{proof}
-\begin{convention3}
+\begin{convention2}
Dans le contexte des anneaux commutatifs, le produit tensoriel de deux
modules sera toujours implicitement muni de la structure définie par
la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
Les résultats de la
section \ref{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel} permettent de
@@ -871,7 +858,7 @@ celui défini jusqu'à présent.
On rappelle :
-\begin{definition3}
+\begin{definition2}
Si $A$ est un anneau non nécessairement commutatif, une \emph{suite
exacte} de $A$-modules à gauche $M_0 \buildrel f_1\over\to M_1
\buildrel f_2\over\to \cdots \buildrel f_n\over\to M_n$ est la donnée
@@ -889,7 +876,7 @@ M_3 \to 0$.
On définit de façon analogue les notions de suite exacte de
$A$-modules à droite, de bimodules sur un couple d'anneaux non
nécessairement commutatifs.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Lorsque $M_0 = 0$ (auquel cas il n'est pas nécessaire de spécifier
$f_1$ qui est nécessairement nul), l'exactitude en $M_1$ équivaut à
l'injectivité de $f_2$. Lorsque $M_n = 0$ (auquel cas il n'est pas
@@ -902,14 +889,14 @@ g = \Im f$.
Dans la proposition suivante, on attire l'attention sur l'absence
de $0$ à gauche de la seconde suite :
-\begin{proposition3}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
Soit $M' \buildrel f\over\to M \buildrel g\over\to M'' \to 0$ une
suite exacte de modules à droite sur un anneau non nécessairement
commutatif. Alors pour tout $A$-module à gauche $N$, la suite
$M'\otimes_A N \buildrel f\otimes N\over \rightarrow M\otimes_A N
\buildrel g\otimes N\over \rightarrow M''\otimes_A N \to 0$ est
exacte.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Il s'agit donc de prouver que $g\otimes N$ est surjectif sous
l'hypothèse que $g$ l'est, et que son noyau est égal à l'image de
@@ -936,7 +923,7 @@ module \emph{plat}. \XXX
\subsubsection{Distributivité sur les sommes directes}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif et $N$ un
$A$-module à gauche. Alors :
\begin{itemize}
@@ -952,7 +939,7 @@ Ces isomorphismes se comprennent comme des isomorphismes de groupes
abéliens et, si $A$ est commutatif, de $A$-modules. De plus, on a les
mêmes résultats, \textit{mutatis mutandis} pour le facteur gauche du
produit tensoriel.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Montrons que l'application $\eta\colon N \to A\otimes_A N$ donnée par
$y \mapsto 1\otimes y$ est réciproque de l'application
@@ -980,7 +967,7 @@ $\eta\varepsilon = \Id_{(\bigoplus_i M_i)\otimes_A N}$.
La conséquence suivante est immédiate :
-\begin{corollaire3}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
+\begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $I$ un ensemble. Alors
l'application $(x_i) \otimes y \mapsto (x_i \otimes y)$ définit un
@@ -998,9 +985,9 @@ l'identification étant donnée par $e_i \otimes f_j \mapsto g_{i,j}$
sur les bases canoniques $(e_i)_{i\in I}$, $(f_j)_{j\in j}$ et
$(g_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ respectives de $A^{(I)}$, $A^{(J)}$
et $A^{(I\times J)}$.
-\end{corollaire3}
+\end{corollaire2}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
Si $(M_i)$ est une famille de $A$-modules à droite sur un anneau non
nécessairement commutatif $A$ et $N$ un $A$-module à gauche, on a
également une application naturelle $\left(\prod_i M_i\right)
@@ -1010,9 +997,9 @@ en \ref{produit-tensoriel-et-sommes-directes}. Cependant, même dans
le cas où tous les $M_i$ sont égaux à $A$ et où $A$ est commutatif,
l'application $A^I \otimes_A N \to N^I$ n'est pas nécessairement ni
surjective ni même injective. \XXX
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
Rappelons qu'une \emph{présentation} d'un $A$-module à droite $M$ est
la donnée d'une suite exacte $A^{(J)} \buildrel f\over\to A^{(I)}
\buildrel g\over\to M \to 0$ (c'est-à-dire d'une famille génératrice
@@ -1024,7 +1011,7 @@ que pour tout $A$-module à gauche $N$, le module $M \otimes_A N$ se
décrit (à isomorphisme près) comme le conoyau de l'application $f
\otimes N \colon N^{(J)} \to N^{(I)}$. Ceci fournit une méthode
systématique pour « calculer » les produits tensoriels.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
\subsection{Cas de familles de modules sur un anneau commutatif}\label{sous-section-produit-tensoriel-commutatif}