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+\title{Produit tensoriel}
+\setcounter{tocdepth}{3}
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+%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Produit tensoriel}
+\fi
+
+
+\section{Produit tensoriel de modules}
+
+\subsection{Cas non nécessairement commutatif}
+
+\subsubsection{Définition}
+
+\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
+à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $P$ un groupe abélien. On dit
+qu'une application $f\colon M × N \to P$ est
+$A$-\emph{bilinéaire} lorsque :
+\begin{itemize}
+\item pour tout $x$ de $M$ l'application $y\mapsto f(x,y)$ est
+ additive (entre les groupes abéliens $N$ et $P$),
+\item pour tout $y$ de $N$ l'application $x\mapsto f(x,y)$ est
+ additive (entre les groupes abéliens $M$ et $P$),
+\item pour tous $x$ dans $M$, $y$ dans $N$ et $a$ dans $A$,
+ on a $f(xa,y) = f(x,ay)$.
+\end{itemize}
+\end{definition3}
+
+\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
+à droite, $N$ un $A$-module à gauche. On dit qu'un groupe abélien $P$
+muni d'une application $A$-bilinéaire $\varphi\colon M × N \to P$ est
+un \emph{produit tensoriel} de $M$ et $N$ au-dessus de $A$ lorsque
+pour toute application $A$-bilinéaire $f\colon M × N \to T$ vers un
+groupe abélien $T$ quelconque il existe une unique application
+additive $\tilde f \colon P \to T$ (c'est-à-dire morphisme de groupes
+abéliens) telle que $f = \tilde f \circ \varphi$ (cette propriété
+s'appelant la \emph{propriété universelle du produit tensoriel}).
+\end{definition3}
+
+Avant de prouver (dans la
+proposition \ref{existence-produit-tensoriel} ci-dessous) que le
+produit tensoriel existe et est unique en toute généralité,
+remarquons, pour s'en faire une première idée, que prendre le produit
+tensoriel d'espaces vectoriels revient simplement à prendre le produit
+de leurs bases (on verra
+en \ref{produit-tensoriel-et-puissance-directe} qu'il en va de même
+des modules libres en général) :
+
+\begin{exemple3}
+Soit $k$ un corps (ce qui, par convention signifie : commutatif), $E$
+et $F$ deux $k$-espaces vectoriels ayant pour bases respectivement
+$(e_i)_{i \in I}$ et $(f_j)_{j \in J}$. Soit $E \otimes_k F$ l'espace
+vectoriel ayant pour base l'ensemble des couples $(e_i,f_j)_{(i,j)\in
+ I×J}$ (c'est-à-dire que $E \otimes_k F$ est l'ensemble des
+combinaisons $k$-linéaires formelles de ces couples), et soit
+$\varphi\colon E×F \to E \otimes_k F$ qui envoie $(\sum_i \lambda_i
+e_i ,\, \sum_j \mu_j f_j)$ sur $\sum_{i,j} \lambda_i \mu_j (e_i,f_j)$.
+Alors la donnée de $E \otimes_k F$ et de l'application $k$-bilinéaire
+$\varphi$ constitue un produit tensoriel de $E$ et $F$ : en effet, se
+donner une application $k$-bilinéaire $b: E×F \to T$, où $T$ est un
+$k$-espace vectoriel quelconque, revient à se donner l'image de
+$(e_i,f_j)$ par $b$ (dans $T$) pour chaque couple $(e_i,f_j)$, et se
+donner une application $k$-linéaire $E \otimes_k F \to T$ revient
+également à se donner l'image de chaque couple $(e_i,f_j)$.
+\end{exemple3}
+
+(Remarquons par ailleurs que $E\otimes_k F$ n'est pas seulement un
+groupe abélien mais même un $k$-espace vectoriel : ce phénomène sera
+expliqué plus généralement en \ref{produit-tensoriel-commutatif}. Il
+ne faut naturellement pas confondre le produit tensoriel $E \otimes_k
+F$, dont la dimension est le produit des dimensions de $E$ et de $F$,
+avec la somme directe $E\oplus F$, dont la dimension est la somme de
+ces dimensions.)
+
+\subsubsection{Existence et fonctorialité}
+
+\begin{proposition3}\label{existence-produit-tensoriel}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
+à droite, $N$ un $A$-module à gauche. Il existe un produit tensoriel
+$(P,\varphi)$ de $M$ et $N$ au-dessus de $A$, et de plus si
+$(P',\varphi')$ est un autre produit tensoriel, alors il existe un
+isomorphisme de groupes abéliens $h\colon P \to P'$ tel que $\varphi'
+= h \circ \varphi$ (et cet isomorphisme est unique sous cette
+condition).
+\end{proposition3}
+
+\begin{proof}
+L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
+propriété universelle de $P$, il existe un unique $h\colon P\to P'$
+additif tel que $\varphi' = h \circ \varphi$, et d'après la propriété
+universelle de $P'$, il existe un unique $h'\colon P'\to P$ additif
+tel que $\varphi = h' \circ \varphi'$. On a alors $h'\circ h \circ
+\varphi = \varphi$, mais d'après l'unicité dans la propriété
+universelle de $P$ ceci implique $h'\circ h = \Id_P$, et de même on a
+$h \circ h' = \Id_{P'}$.
+
+Montrons à présent l'existence. Pour cela, on considère le groupe
+abélien libre $F$ de base $M × N$: si $(x,y) \in M × N$, on notera
+$[x,y]$ l'élément correspondant de la base de $F$. Considérons le
+sous-groupe $F_0$ de $F$ engendré par tous les éléments d'une des
+trois formes suivantes : $[x,y+y'] - [x,y] - [x,y']$ (si $x \in M$ et
+$y,y' \in N$) ou bien $[x+x',y] - [x,y] - [x',y]$ (si $x,x' \in M$ et
+$y \in N$) ou enfin $[xa,y] - [x,ay]$ (si $x \in M$, $y\in N$ et $a\in
+A$). Appelons $P$ le quotient $F/F_0$ muni de l'application $\varphi$
+envoyant un couple $(x,y) \in M × N$ sur l'image de $[x,y] \in F$ dans
+ce quotient : nous allons montrer que $P$ est bien un produit
+tensoriel comme recherché. Pour cela, remarquons d'abord que
+$\varphi$ est bien $A$-bilinéaire comme il résulte des relations
+$\varphi(x,y+y') - \varphi(x,y) - \varphi(x,y') = 0$, $\varphi(x+x',y)
+- \varphi(x,y) - \varphi(x',y) = 0$ et $\varphi(xa,y) - \varphi(x,ay)
+= 0$. Mais si $b\colon M × N \to T$ est $A$-bilinéaire, l'unique
+application $F \to T$ définie en envoyant $[x,y]$ sur $b(x,y)$,
+s'annule sur $F_0$ donc passe au quotient et définit un $\tilde b
+\colon P \to T$ qui était manifestement la seule possibilité.
+\end{proof}
+
+L'existence du produit tensoriel étant acquise, on peut convenir :
+\begin{convention3}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
+à droite, $N$ un $A$-module à gauche : on notera $M \otimes_A N$, ou
+abusivement $M \otimes N$ s'il n'en résulte aucune ambiguïté, un
+produit tensoriel quelconque de $M$ et~$N$ (par exemple celui décrit
+dans la preuve de la proposition \ref{existence-produit-tensoriel}),
+l'application $A$-bilinéaire $M×N \to M\otimes_A N$ dont il est muni
+étant notée $(x,y) \mapsto x\otimes y$.
+
+Lorsque $f \colon M\times N \to T$ (avec $T$ un groupe abélien
+quelconque) est une application bilinéaire, on se permettra d'écrire
+« l'applicaton $x \otimes y \mapsto f(x,y)$ » pour parler de
+l'application ($\tilde f$ avec les notations
+de \ref{definition-produit-tensoriel}) dont l'existence et l'unicité
+sont garanties par la définition du produit tensoriel. (Il s'agit de
+l'unique application additive $M\otimes_A N \to T$ envoyant $x\otimes
+y$ sur $f(x,y)$ pour tous $(x,y) \in M\times N$.)
+\end{convention3}
+
+\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
+à droite, $N$ un $A$-module à gauche : alors $M \otimes_A N$ est
+engendré, en tant que groupe abélien, par les éléments de la forme $x
+\otimes y$ avec $x \in M$ et $y \in N$.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+Cela résulte par exemple de la construction faite de $M \otimes_A N$
+dans la preuve de la proposition \ref{existence-produit-tensoriel}.
+On peut cependant le voir directement, car si $P$ est le sous-groupe
+de $M \otimes_A N$ egendré par les $x \otimes y$, alors l'application
+bilinéaire $M\times N \to P$ définie par $(x,y) \mapsto x\otimes y$ se
+factorise par un $\tilde h \colon M\otimes_A N \to P$ qui est inverse
+de l'injection $i\colon P \hookrightarrow M\otimes_A N$ de $P$
+dans $M\otimes_A N$.
+\end{proof}
+
+On prendra garde au fait que si ces éléments de la forme $x\otimes y$,
+(et qu'on on nomme parfois \emph{tenseurs purs}) \emph{engendrent} le
+produit tensoriel $M \otimes_A N$, il n'est en général pas vrai que
+tout élément de $M \otimes_A N$ soit de cette forme. Le
+contre-exemple le plus simple est donné dans $k^2 \otimes_k k^2$, si
+$k$ est un corps, par l'élément $e_1\otimes e_1 + e_2 \otimes e_2$ en
+notant $\{e_1,e_2\}$ la base canonique de $k^2$.
+
+On aura besoin de la notion de produit tensoriel d'applications
+linéaires, qui traduit la \emph{fonctorialité} du produit tensoriel :
+\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
+une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules à droite, et
+$g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules
+à gauche. Alors il existe une unique application additive $h\colon
+M\otimes_A N \to M'\otimes_A N'$ telle que $h(x\otimes y) = f(x)
+\otimes g(y)$ pour tous $x\in M$ et $y\in N$.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+L'application $M×N \to M'\otimes_A N'$ définie par $(x,y) \mapsto
+f(x)\otimes g(y)$ est manifestement $A$-bilinéaire : la propriété
+universelle du produit tensoriel assure précisément qu'il existe une
+unique application additive $h$ vérifiant la condition demandée.
+(Avec la convention faite ci-dessus, on noterait donc $h\colon
+x\otimes y \mapsto f(x) \otimes g(y)$.)
+\end{proof}
+
+(Il s'agit là d'un exemple typique d'utilisation de la propriété
+universelle du produit tensoriel, grâce à laquelle on n'a jamais à
+revenir à la construction explicite qui a été donnée de l'objet en
+question.)
+
+\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
+Dans les conditions et avec les notation de la
+propositions \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, on notera $h =
+f\otimes_A g$ (ou $f \otimes g$) et on l'appellera produit tensoriel
+des morphismes $f$ et $g$. Lorsque de plus $g = \Id_N$, on note aussi
+$f \otimes_A N$ (au lieu de $f \otimes_A \Id_N$), et de même si $f =
+\Id_M$ on note aussi $M \otimes_A g$ (au lieu de $\Id_M \otimes_A N$).
+\end{definition3}
+
+\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
+et $f'\colon M'\to M''$ deux applications $A$-linéaire composables
+entre $A$-modules à droite, et $g\colon N\to N'$ et $g'\colon N'\to
+N''$ deux applications $A$-linéaires composables entre $A$-modules à
+gauche. Alors $(f'\circ f) \otimes (g'\circ g) = (f'\otimes g') \circ
+(f\otimes g)$.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
+d'applications.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
+une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
+à droite, et $g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire
+\emph{surjective} entre deux $A$-modules à gauche. Alors $f \otimes
+g$ est surjective. De plus, son noyau est engendré (en tant que
+groupe abélien) par les éléments de la forme $x \otimes y$ où $x \in
+\Ker f$ \emph{ou bien} $y \in \Ker g$.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+On a vu en \ref{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs} que les
+$x' \otimes y'$ avec $x' \in M'$ et $y' \in N'$ engendrent $M' \otimes
+N'$ : pour montrer que $f \otimes g$ est surjective, il suffit donc de
+voir que ces éléments sont dans son image ; or la surjectivité de $f$
+et $g$ permet d'écrire $x' = f(x)$ et $y' = g(y)$, auquel cas on a $x'
+\otimes y' = (f\otimes g)(x\otimes y)$.
+
+Soit maintenant $T$ le sous-groupe de $M \otimes_A N$ engendré par les
+$x \otimes y$ avec $f(x)=0$ ou $g(y)=0$. Visiblement, $f\otimes g$
+s'annule sur $T$ donc définit une application additive (surjective)
+$h\colon (M\otimes_A N)/T \to M' \otimes_A N'$. Mais inversement, si
+$(x',y') \in M' \times N'$, en choisissant $x$ tel que $x' = f(x)$ et
+$y$ tel que $y' = g(y)$, on définit un élément $x \otimes y \in M
+\otimes_A N$ dont la classe modulo $T$ ne dépend pas du choix de $x$
+ou de $y$ : ceci définit une application bilinéaire $M' \times N' \to
+(M\otimes_A N)/T$, donc une application additive $h' \colon
+M'\otimes_A N' \to (M\otimes_A N)/T$, telle que $h'h =
+\Id_{(M\otimes_A N)/T}$ : ainsi, $h$ est bijective et le noyau de $f
+\otimes g$ est bien exactement $T$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Cas des bimodules}
+
+Pour cette section, nous rappelons la définition suivante :
+\begin{definition3}
+Soient $A$ et $B$ deux anneaux non nécessairement commutatifs : un
+\emph{$(A,B)$-bimodule} est la donnée d'une structure de $A$-module à
+gauche et de $B$-module à droite sur un même groupe abélien $M$, qui
+soient compatibles au sens où $(ax)b=a(xb)$ pour tous $a\in A$, $b\in
+B$ et $x\in M$ (de façon équivalente, la multiplication à droite par
+un élément de $B$ est $A$-linéaire, ou encore, la multiplication à
+gauche par un élément de $A$ est $B$-linéaire).
+
+Si $M,N$ sont deux $(A,B)$-bimodules, une application $f\colon M \to
+N$ est dite \emph{$(A,B)$-linéaire} lorsqu'elle est simultanément
+$A$-linéaire (pour la structure de $A$-modules à gauche de $M$ et $N$)
+et $B$-linéaire (pour la structure de $B$-modules à droite de
+$M$ et $N$). Un \emph{isomorphisme} de $(A,B)$-bimodules est une
+application $(A,B)$-linéaire bijective entre eux.
+\end{definition3}
+De même qu'un $\ZZ$-module à gauche (resp. à droite) n'est rien
+d'autre qu'un groupe abélien, on voit que, pour tout anneau non
+nécessairement commutatif $A$, un $(\ZZ,A)$-bimodule (resp. un
+$(A,\ZZ)$-bimodule) n'est rien d'autre qu'un $A$-module à droite
+(resp. un $A$-module à gauche), et une application $(\ZZ,A)$-linéaire
+(resp. $(A,\ZZ)$-linéaire) n'est autre qu'une application $A$-linéaire.
+
+\begin{remarque3}\label{hom-bimodules}
+Lorsque $N$ et $P$ sont respectivement un $(B,C)$-bimodule et un
+$(A,C)$-bimodule (avec $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement
+commutatifs), le groupe abélien $\Hom_C(N,P)$ des applications
+$C$-linéaires (à droite) de $N$ vers $P$ a naturellement une structure
+de $(A,B)$-bimodule : la structure de $A$-module à gauche étant donnée
+par $(a\cdot f)(x) = a(f(x))$ (pour $a\in A$, $f\in \Hom_C(N,P)$
+et $x\in N$), et la structure de $B$-module à droite étant donnée par
+$(f\star b)(x) = f(bx)$. De même, si $M$ est un $(A,B)$-bimodule et
+$P$ un $(A,C)$-bimodule, alors $\Hom_A(M,P)$ a naturellement une
+structure de $(B,C)$-bimodule.
+
+En revanche, si $M$ et $N$ sont deux $(A,B)$-bimodules, l'ensemble
+$\Hom_{A,B}(M,N)$ des applications $(A,B)$-linéaires de $M$ vers $N$
+n'a pas naturellement plus qu'une structure de groupe abélien.
+\end{remarque3}
+
+\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
+Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
+$(A,B)$-bimodule, $N$ un $(B,C)$-bimodule et $P$ un $(A,C)$-bimodule :
+on dit que $f\colon M\times N \to P$ est $(A,B,C)$-bilinéaire lorsque
+$f$ est $B$-bilinéaire (au sens
+de \ref{definition-application-bilineaire}), que $y\mapsto f(x,y)$ est
+$C$-linéaire (à droite) pour tout $x\in M$ et que $x\mapsto f(x,y)$
+est $A$-linéaire (à gauche) pour tout $y\in N$.
+
+Il revient à dire que l'application $M \mapsto \Hom_C(N,P)$ donnée par
+$x \mapsto (y \mapsto f(x,y))$ est $(A,B)$-linéaire où $\Hom_C(N,P)$
+est muni de la structure de $(A,B)$-bimodule explicitée
+en \ref{hom-bimodules}, ou encore que l'application $N \mapsto
+\Hom_A(M,P)$ donnée par $y \mapsto (x \mapsto f(x,y))$ est
+$(B,C)$-linéaire où $\Hom_A(M,P)$ est muni de la structure de
+$(B,C)$-bimodule explicitée au même endroit.
+\end{definition3}
+
+\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules}
+Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
+$(A,B)$-bimodule et $N$ un $(B,C)$-bimodule. Il existe alors une
+unique structure de $(A,C)$-bimodule sur le groupe abélien $M
+\otimes_B N$ telle qu'on ait $a (x\otimes y) = (ax)\otimes y$ pour
+tous $a\in A$, $x\in M$ et $y\in N$, et $(x\otimes y)c = x\otimes(yc)$
+pour tous $c\in C$, $x\in M$ et $y\in N$.
+
+De plus, lorsque $T$ est un $(A,C)$-bimodule quelconque et que
+$f\colon M \times N \to T$ est $(A,B,C)$-bilinéaire (au sens
+de \ref{definition-application-bilineaire-bimodules}), alors
+l'application $\tilde f\colon M\otimes_B N \to T$ vérifiant $\tilde
+f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont l'existence et l'unicité sont garanties
+par la définition du produit tensoriel) est $(A,C)$-linéaire.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+Pour un $a\in A$, considérons l'application $M\otimes_B N \to
+M\otimes_B N$ donnée par $x\otimes y \mapsto (ax)\otimes y$
+(cf. \ref{convention-produit-tensoriel}), qui est le produit tensoriel
+avec (l'identité sur) $N$ de la multiplication à gauche par $a$ (vue
+comme une application $B$-linéaire $M\to M$) : notons $z \mapsto
+a\cdot z$ cette application. Notons de même $z \mapsto z \star c$
+(lorsque $c\in C$) l'application $x\otimes y \mapsto x\otimes(yc)$.
+La proposition \ref{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
+montre qu'on a bien $a\cdot(a'\cdot z) = (aa')\cdot z$ pour tous
+$a,a'\in A$ et $z \in M\otimes_B N$, et de même $(z\star c)\star c' =
+z\star(cc')$ pour tous $c,c' \in C$ et $z \in M\otimes_B N$, et enfin
+$a\cdot (z\star c) = (a\cdot z)\star c$ pour tous $a\in A$ et $c \in
+C$ et $z \in M\otimes_B N$. On a donc bien défini une structure de
+$(A,C)$-bimodule sur $M\otimes_B N$, qui était la seule possible
+vérifiant la contrainte annoncée.
+
+Enfin, la dernière affirmation résulte de ce que $f(ax,y) = a f(x,y)$
+pour tous $a \in A$ et $(x,y) \in M\times N$, donc les deux
+applications $z \mapsto \tilde f(az)$ et $z\mapsto a\tilde f(z)$
+doivent coïncider puisqu'elles coïncident après composition avec
+$(x,y) \mapsto x\otimes y$, et de même $z\mapsto \tilde f(zc)$ et
+$z\mapsto \tilde f(z)c$ coïncident pour tout $c\in C$.
+\end{proof}
+En choisissant l'un des anneaux $A$ ou $C$ égal à $\ZZ$, cette
+proposition a pour cas particuliers que le produit tensoriel sur $B$
+d'un $B$-module à droite et d'un $(B,C)$-bimodule est un $C$-module à
+droite de façon naturelle, et que le produit tensoriel sur $B$ d'un
+$(A,B)$-bimodule et d'un $B$-module à gauche est un $A$-module à
+gauche de façon naturelle.
+
+\begin{remarque3}
+On pourrait être tenté d'imaginer que si $M$ est un $(A,B)$-bimodule
+et $N$ un $(B,C)$-bimodule, il existe sur $M\otimes_B N$ une structure
+de module sur $B$ (que ce soit à gauche ou à droite) en tentant de
+multiplier $x\otimes y$ par $b$ comme $xb \otimes y = x \otimes by$ :
+\emph{ceci n'a pas de sens}. En effet, l'application $(x,y) \mapsto
+xb\otimes y = x \otimes by$ n'est en général pas $B$-bilinéaire (au
+sens de \ref{definition-application-bilineaire}), donc il n'est pas
+possible d'en déduire une application de multiplication par $B$ sur $M
+\otimes_B N$.
+\end{remarque3}
+
+\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
+Soit $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, et $f\colon
+M\to M'$ et $g\colon N\to N'$ deux applications respectivement
+$(A,B)$-linéaire et $(B,C)$-linéaire entre des $(A,B)$-bimodules
+$M$ et $M'$ et des $(B,C)$-bimodules $N$ et $N'$. Si l'on munit
+$M\otimes_B N$ et $M'\otimes_B N'$ de la structure de $(A,C)$-bimodule
+définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}, alors
+$f\otimes_B g$ est $(A,C)$-linéaire.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+Si on note $a_P$ la multiplication par $a$ dans un $A$-module $P$, on
+a $a_{M\otimes_B N} = a_M \otimes_B \Id_N$ par définition de la
+structure de $A$-module sur $M\otimes_B N$, et de même $a_{M'\otimes_B
+ N'} = a_{M'} \otimes_B \Id_{N'}$. Or la $A$-linéarité de
+$f\otimes_B g$, qu'il s'agit de prouver, se traduit par
+\[
+(f\otimes_B g) \circ a_{M\otimes_B N} = a_{M'\otimes_B N'}
+\circ (f\otimes_B g)
+\]
+En remplaçant $a_{M\otimes_B N}$ et $a_{M'\otimes_B N'}$ par leurs
+expressions données ci-dessus, l'égalité résulte de la
+proposition \ref{fonctorialite-produit-tensoriel-composition} et du
+fait que $f \circ a_M = a_{M'} \circ f$. La $C$-linéarité de
+$f\otimes_B g$ se démontre de même.
+\end{proof}
+
+\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
+Le produit tensoriel sur $B$ d'un $(A,B)$-bimodule et d'un
+$(B,C)$-bimodule sera toujours implicitement muni de la structure de
+$(A,C)$-bimodule définie par la
+proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
+\end{convention3}
+
+\subsubsection{Suites de bimodules et associativité}\label{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel}
+
+On va maintenant établir l'associativité du produit tensoriel,
+c'est-à-dire identifier $(M\otimes_B N)\otimes_C P$ et
+$M\otimes_B(N\otimes_C P)$ lorsque $M$ est un $(A,B)$-bimodule, $N$ un
+$(B,C)$-bimodule, et $P$ un $(C,D)$-bimodule (avec $A,B,C,D$ quatre
+anneaux non nécessairement commutatifs), et plus généralement tous les
+parenthésages possibles avec des isomorphismes compatibles. Pour
+cela, on fait la définition suivante, qui généralise
+\ref{definition-application-bilineaire} ainsi que la définition
+utilisée dans l'énoncé \ref{produit-tensoriel-bimodules} :
+
+\begin{definition3}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
+Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
+pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
+On dit qu'une application $f\colon M_1\times \cdots \times M_n \to P$,
+où $P$ est un $(A_0,A_n)$-bimodule, est
+$(A_0,\ldots,A_n)$-\emph{séquentiellement multilinéaire} lorsque :
+\begin{itemize}
+\item pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$, et tous $(y_j) \in M_1
+ \times \cdots \times M_{i-1} \times M_{i+1} \times \cdots \times
+ M_n$, l'application partielle $M_i \to P$ donnée par $x \mapsto
+ f(y_1,\ldots,x,\ldots,y_n)$ (où $x$ occupe la $i$-ième place) est
+ additive,
+\item pour chaque $i \in \{1,\ldots,n-1\}$, tout $a\in A_i$ et tous
+ $(y_j) \in M_1\times \cdots \times M_n$, on a $f(y_1,\ldots,y_i a,
+ \penalty100 y_{i+1},\ldots, y_n) = f(y_1,\ldots,y_i, \penalty100 a
+ y_{i+1},\ldots, y_n)$,
+\item pour tout $a\in A_0$ et tous $(y_j) \in M_1\times \cdots \times
+ M_n$, on a $f(a y_1,\ldots, y_n) = a f(y_1,\ldots, y_n)$,
+\item pour tout $a\in A_n$ et tous $(y_j) \in M_1\times \cdots \times
+ M_n$, on a $f(y_1,\ldots, y_n a) = f(y_1,\ldots, y_n) a$.
+\end{itemize}
+\end{definition3}
+
+On notera $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ l'ensemble des
+applications $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaires de
+$M_1\times \cdots \times M_n$ vers $P$. Remarquons qu'utiliser $\ZZ$
+pour $A_0$ ou $A_n$ permet d'éliminer l'avant-dernière ou la dernière
+des conditions ci-dessus.
+
+\begin{remarque3}\label{multihom-bimodules}
+L'ensemble $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ comme ci-dessus
+n'est naturellement muni que d'une structure de groupe abélien. En
+revanche, si $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, l'ensemble
+$\MHom_{\ZZ,A_{k+1},\ldots,A_n}(M_{k+1},\ldots,M_n;P)$ des
+applications $(\ZZ,A_{k+1},\ldots,A_n)$-séquentiellement
+multilinéaires (noter le $\ZZ$ à gauche signifiant qu'on n'impose pas
+de condition de linéarité sur la gauche) est naturellement un
+$(A_0,A_k)$-bimodule de façon analogue à \ref{hom-bimodules} (la
+multiplication à gauche par $A_0$ provient de celle sur $P$, tandis
+que celle à droite par $A_k$ provient de la multiplication à gauche
+par $A_k$ sur $M_{k+1}$), et de même l'ensemble
+$\MHom_{A_0,\ldots,A_{k-1},\ZZ}(M_1,\ldots,M_k;P)$ des applications
+$(A_0,\ldots,A_{k-1},\ZZ)$-séquentiellement multilinéaires (sans
+condition de linéarité sur la droite) est naturellement un
+$(A_k,A_n)$-bimodule.
+
+Avec ces conventions, la donnée d'une application $f \colon M_1\times
+\cdots \times M_n \to P$ qui soit $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement
+multilinéaire équivaut à la donnée d'une application
+$(A_0,\ldots,A_k)$-séquentiellement multilinéaire $M_1\times \cdots
+\times M_k \to \MHom_{\ZZ,A_{k+1},\ldots,A_n}(M_{k+1},\ldots,M_n;P)$
+correspondant à l'application partielle $(x_1,\ldots,x_k) \mapsto
+((x_{k+1},\ldots,x_n) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n))$. Cela revient aussi
+à la donnée d'une application $(A_k,\ldots,A_n)$-séquentiellement
+multilinéaire $M_{k+1} \times \cdots \times M_n \to
+\MHom_{A_0,\ldots,A_{k-1},\ZZ} (M_0,\ldots,M_k;P)$ par $(x_{k+1},\ldots,x_n) \mapsto
+((x_1,\ldots,x_k) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n))$.
+(Cf. \ref{definition-application-bilineaire-bimodules} pour le
+cas $n=3$.)
+\end{remarque3}
+
+La définition suivante généralise \ref{definition-produit-tensoriel}
+et \ref{produit-tensoriel-bimodules}
+(cf. \ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}) :
+\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
+Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
+pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
+On dit qu'un $(A_0,A_n)$-bimodule $P$ muni d'une application
+$(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaire $\varphi \colon M_1
+\times \cdots \times M_n \to P$ est un \emph{produit tensoriel} de la
+suite $M_1,\ldots,M_n$ lorsque pour toute application
+$(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaire $f \colon M_1 \times
+\cdots \times M_n \to T$ vers un $(A_0,A_n)$-bimodule quelconque $T$
+il existe une unique application $(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f \colon
+P\to T$ telle que $f = \tilde f \circ \varphi$.
+\end{definition3}
+
+Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel
+introduites en \ref{definition-produit-tensoriel} et
+\ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}, commençons par établir
+le lemme suivant :
+
+\begin{lemme3}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
+Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
+pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
+Soit $k \in \{1,\ldots,n-1\}$. Si $(P',\varphi')$
+(resp. $(P'',\varphi'')$) est un produit tensoriel (au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_k$
+(resp. de $M_{k+1},\ldots,M_n$) et $P = P' \otimes_{A_k} P''$ (au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel},
+\ref{convention-produit-tensoriel} et
+\ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}) et $\varphi \colon
+M_1\times \cdots \times M_n \to P$ est donné par $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
+\varphi'(x_1,\ldots,x_k) \otimes \varphi''(x_{k+1},\ldots,x_n)$, alors
+$(P,\varphi)$ est un produit tensoriel (au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$.
+\end{lemme3}
+\begin{proof}
+L'application $\varphi$ introduite est bien séquentiellement
+multilinéaire puisque $\varphi'$ et $\varphi''$ le sont et que
+$\otimes \colon P'\times P'' \to P'\otimes_{A_k} P''$ est bilinéaire.
+
+Soit $f\colon M_1 \times \cdots \times M_n \to T$ une application
+séquentiellement multilinéaire vers un $(A_0,A_n)$-bimodule $T$
+quelconque. On souhaite prouver qu'il existe une unique application
+$(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f \colon P \to T$ telle que $f = \tilde f
+\circ \varphi$.
+
+Si $x' = (x_1,\ldots,x_k)$ est fixé dans $M_1\times\cdots\times M_k$,
+notons $f_{x'} = f(x',\cdot) \colon M_{k+1} \times \cdots \times M_n
+\to T$ l'application partielle qui s'en déduit. Comme $f_{x'}$ est
+$(\ZZ,A_{k+1},\ldots,A_n)$-séquentiellement
+multilinéaire (cf. \ref{multihom-bimodules}), la
+propriété universelle de $P''$ assure qu'il existe une unique
+application $A_n$-linéaire à droite $f''_{x'} \colon P'' \to T$ avec
+$f_{x'} = f''_{x'} \circ \varphi''$. En faisant maintenant varier
+$x'$, l'application $M_1\times \cdots \times M_k \to \MHom(M_{k+1},
+\ldots, M_n; P)$ donnée par $x' \mapsto f_{x'}$ est
+$(A_0,\ldots,A_k)$-séquentiellement multilinéaire et il en va donc de
+même de $M_1\times \cdots \times M_k \to \Hom_{A_n}(P'', T)$ donnée
+par $x' \mapsto f''_{x'}$. La propriété universelle de $P$ assure à
+son tour l'existence d'un $f' \colon P' \to \Hom_{A_n}(P'', T)$
+linéaire unique tel que $f''_{x'} = f'(\varphi'(x'))$. Enfin, puisque
+$(z',z'') \mapsto f'(z')(z'')$ est $(A_0,A_k,A_n)$-bilinéaire, on peut
+l'écrire $f'(z')(z'') = \tilde f(z' \otimes z'')$ pour une unique
+application $(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f \colon P \to T$. On a
+alors bien $\tilde f \circ \varphi = f$. Réciproquement, si une autre
+application $\tilde g$ vérifie $\tilde g \circ \varphi = f$, alors les
+unicités de $f''$ puis $f'$ assurent que $(z',z'') \mapsto \tilde
+g(z'\otimes z'')$ doit coïncider avec $f'(z')(z'')$, donc l'unicité
+dans la propriété universelle de $P'\otimes P''$ assure bien que
+$\tilde g = \tilde f$.
+\end{proof}
+
+Pour énoncer la proposition suivante, si $*$ est une opération
+binaire, nous utiliserons la notion de \emph{parenthésage complet} de
+(l'expression formelle) $X_1 * \cdots * X_n$, définie par récurrence
+sur $n$ comme suit : si $n=1$, l'unique parenthésage complet de $X_1$
+est $X_1$ lui-même, tandis que si $n>1$, un parenthésage complet de $X_1 *
+\cdots * X_n$ est un $Y' * Y''$ où $Y'$ (resp. $Y''$) est un
+parenthésage complet de $X_1 * \cdots * X_k$ (resp. de $X_{k+1} *
+\cdots * X_n$) pour un certain $k$ compris entre $1$ et $n-1$.
+Autrement dit, informellement, il s'agit d'un objet s'obtenant en
+plaçant suffisamment de parenthèses dans l'expression formelle $X_1 *
+\cdots * X_n$ pour en résoudre toutes les ambiguïtés d'associativité.
+(Les $Y'$ et $Y''$ de la construction de ce parenthésage complet
+s'appellent alors ses sous-expressions gauche et droite respectivement.)
+On a notamment le \emph{parenthésage complet gauche}
+$(\cdots(X_1*X_2)*\cdots)*X_n$ de $X_1*\cdots*X_n$ défini par
+récurrence comme $Y'*X_n$ où $Y'$ est le parenthésage complet gauche
+de $X_1*\cdots*X_{n-1}$ et le \emph{parenthésage complet droite}
+$X_1*(\cdots*(X_{n-1}*X_n)\cdots)$ défini comme $X_1*Y''$ où $Y''$ est
+le parenthésage complet droite de $X_2*\cdots*X_n$.
+
+Par ailleurs, si $\mathbin{\sharp}$ et $\mathbin{\flat}$ sont deux
+opérations binaires, on parlera de parenthésages complets identiques
+de $X_1 \mathbin{\sharp} \cdots \mathbin{\sharp} X_n$ et de $X_1
+\mathbin{\flat} \cdots \mathbin{\flat} X_n$ lorsqu'ils s'obtiennent en
+plaçant les parenthèses aux mêmes endroits, c'est-à-dire,
+formellement, par récurrence sur $n$, lorsqu'ils s'écrivent
+respectivement $Y' \mathbin{\sharp} Y''$ et $Z' \mathbin{\flat} Z''$
+avec $Y'$ et $Z'$ (resp. $Y''$ et $Z''$) des parenthésages complets
+identiques de $X_1 \mathbin{\sharp} \cdots \mathbin{\sharp} X_k$ et de
+$X_1 \mathbin{\flat} \cdots \mathbin{\flat} X_k$ (resp. de $X_{k+1}
+\mathbin{\sharp} \cdots \mathbin{\sharp} X_n$ et de $X_{k+1}
+\mathbin{\flat} \cdots \mathbin{\flat} X_n$). Si l'on préfère, on
+peut dire qu'ils s'obtiennent comme composantes de l'opération $*$
+définie par $(Y',Z')*(Y'',Z'') = (Y'\mathbin{\sharp}Y'',
+Z'\mathbin{\flat}Z'')$.
+
+\begin{proposition3}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
+Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
+pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
+Il existe un produit tensoriel $(P,\varphi)$ (au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$,
+et de plus si $(P',\varphi')$ est un autre tel produit
+tensoriel, alors il existe un isomorphisme de $A$-modules $h\colon P
+\to P'$ tel que $\varphi' = h \circ \varphi$ (et cet isomorphisme est
+unique sous cette condition).
+
+Plus précisément, $P$ peut être donné par n'importe quel parenthésage
+complet de $M_1 \otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_{n-1}} M_n$ (au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel},
+\ref{convention-produit-tensoriel} et
+\ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}) muni de l'application
+$\varphi \colon M_1 \times \cdots \times M_n \to P$ envoyant
+$(x_1,\ldots,x_n)$ sur $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$ parenthésé
+identiquement.
+\end{proposition3}
+
+\begin{proof}
+L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
+propriété universelle de $P$, il existe un unique $h\colon P\to P'$
+linéaire tel que $\varphi' = h \circ \varphi$, et d'après la propriété
+universelle de $P'$, il existe un unique $h'\colon P'\to P$ linéaire
+tel que $\varphi = h' \circ \varphi'$. On a alors $h'\circ h \circ
+\varphi = \varphi$, mais d'après l'unicité dans la propriété
+universelle de $P$ ceci implique $h'\circ h = \Id_P$, et de même on a
+$h \circ h' = \Id_{P'}$.
+
+L'existence et sa construction se prouvent par récurrence sur $n$ en
+utilisant le lemme \ref{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}.
+Lorsque $n \leq 2$, il n'y a rien à prouver (la
+définition \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel} est
+compatible avec \ref{definition-produit-tensoriel},
+\ref{convention-produit-tensoriel} et
+\ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}). Lorsque $n \geq 2$, si
+$1 \leq k \leq n-1$ et si $P'$ (resp. $P''$) est un parenthésage
+complet de $M_1 \otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_{k-1}} M_k$ (resp. de
+$M_{k+1} \otimes_{A_{k+1}} \cdots \otimes_{A_{n-1}} M_n$), muni de
+$\varphi'$ (resp. $\varphi''$) envoyant $(x_1,\ldots,x_k)$
+(resp. $(x_{k+1},\ldots,x_n)$) sur $x_1\otimes \cdots \otimes x_k$
+(resp. $x_{k+1} \otimes \cdots \otimes x_n$) parenthésé identiquement,
+alors l'hypothèse de récurrence assure que $(P',\varphi')$
+(resp. $(P'',\varphi'')$) est un produit tensoriel de $M_1,\ldots,M_k$
+(resp. $M_{k+1},\ldots,M_n$), et le
+lemme \ref{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus} permet alors
+de conclure que $P$ muni de $\varphi$ envoyant $(x_1,\ldots,x_n)$ sur
+$\varphi'(x_1,\ldots,x_k) \otimes \varphi''(x_{k+1},\ldots,x_n)$ (qui
+sont bien des parenthésages identiques de $M_1\otimes \cdots \otimes
+M_n$ et $x_1\otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
+$M_1,\ldots,M_n$.
+\end{proof}
+
+\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
+Cette proposition justifie d'écrire désormais $M_1\otimes_{A_1} \cdots
+\otimes_{A_n} M_n$ pour un produit tensoriel quelconque (au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$,
+par exemple celui obtenu au sens de
+\ref{definition-produit-tensoriel}, \ref{convention-produit-tensoriel}
+et \ref{convention-produit-tensoriel-bimodules} en utilisant le
+parenthésage complet gauche de $M_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n}
+M_n$, et $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto x_1\otimes \cdots \otimes x_n$ pour
+l'application séquentiellement multilinéaire dont il est muni.
+
+Lorsque $f \colon M_1 \times \cdots \times M_n \to T$ (avec $T$ un
+$(A_0,A_n)$-bimodule quelconque) est une application séquentiellement
+multilinéaire, on se permettra d'écrire « l'application $x_1 \otimes
+ \cdots \otimes x_n \mapsto f(x_1,\ldots,x_n)$ » pour parler de
+l'application ($\tilde f$ avec les notatons
+de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) dont l'existence et
+l'unicité sont garanties par la définition du produit tensoriel dans
+ce cadre.
+\end{convention3}
+
+\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
+Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
+pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ une application
+$(A_{i-1},A_i)$-linéaire $f_i\colon M_i \to M'_i$ entre
+$(A_{i-1},A_i)$-bimodules. Alors il existe une unique application
+$(A_0,A_n)$-linéaire, $h\colon M_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M_n \to
+M'_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M'_n$ telle que $h(x_1\otimes
+\cdots \otimes x_n) = f_1(x_1) \otimes \cdots \otimes f_n(x_n)$ pour
+tous $(x_1,\ldots,x_n) \in M_1\times \cdots \times M_n$.
+
+De plus, si $M_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M_n$ et
+$M'_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M'_n$ étaient vus comme des
+parenthésages complets identiques des expressions formelles en
+question, alors $h$ peut être décrit comme parenthésage identique de
+l'expression formelle $f_1 \otimes \cdots \otimes f_n$.
+\end{proposition3}
+
+\begin{proof}
+Comme en \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, la démonstration de la
+première partie est immédiate : comme $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
+f_1(x_1) \otimes \cdots \otimes f_n(x_n)$ est multilinéaire, la
+propriété universelle du produit tensoriel garantit l'existence et
+l'unicité de $h$ avec la condition $h(x_1\otimes \cdots \otimes x_n) =
+f_1(x_1) \otimes \cdots \otimes f_n(x_n)$.
+
+La seconde partie est une récurrence immédiate sur $n$ : le fait qu'un
+parenthésage complet de $f_1 \otimes \cdots \otimes f_n$ envoie le
+parenthésage identique de $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$ sur le
+parenthésage identique de $f_1(x_1) \otimes \cdots \otimes f_n(x_n)$
+est évident d'après les définitions
+(\ref{definition-produit-tensoriel-applications}) lorsque ce fait est
+connu pour les sous-expressions gauche et droite de ce parenthésage.
+\end{proof}
+
+Cette proposition justifie d'écrire désormais $f_1\otimes \cdots
+\otimes f_n$ pour un $h$ tel qu'elle définit.
+
+\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
+Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
+pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ deux applications
+$(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
+\to M''_i$ entre $(A_{i-1},A_i)$-bimodules. Alors on a $(f'_1\circ
+f_1) \otimes \cdots \penalty300 \otimes (f'_n \circ f_n) =
+(f'_1\otimes \cdots \otimes f'_n) \circ \penalty0 (f_1\otimes \cdots
+\otimes f_n)$.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
+d'applications.
+\end{proof}
+
+Terminons cette section en éclaircissant le point suivant : dans la
+notation $M_1 \otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_{n-1}} M_n$ du produit
+tensoriel d'une suite compatible de bimodules, on ne fait pas figurer
+les anneaux extrêmes, $A_0$ et $A_n$ ; la proposition suivante montre
+que ceci ne cause pas d'ambiguïté, car le produit tensoriel de
+$M_1,\ldots,M_n$ sur $A_0,\ldots,A_n$ s'obtient comme une structure
+supplémentaire de $(A_0,A_n)$-bimodule sur le produit tensoriel de
+$M_1,\ldots,M_n$ sur $\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ$ (lequel fournit donc
+le groupe abélien sous-jacent) :
+
+\begin{proposition3}
+Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs,
+soit pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un
+$(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. Notons $P = M_1 \otimes \cdots
+\otimes M_{n-1}$ le (groupe abélien) produit tensoriel de
+$M_1,\ldots,M_n$ sur $\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ$. Alors il existe
+une unique structure de $(A_0,A_n)$-bimodule sur $P$ telle qu'on ait
+$a(x_1\otimes\cdots\otimes x_n) = (ax_1) \otimes \cdots \otimes x_n$
+pour tous $a \in A_0$ et $(x_1,\ldots,x_n) \in M_1 \times \cdots
+\times M_n$ et $(x_1\otimes\cdots\otimes x_n)a = x_1 \otimes \cdots
+\otimes (x_n a)$ pour tous $a \in A_n$ et $(x_1,\ldots,x_n) \in M_1
+\times \cdots \times M_n$ : avec cette structure, le
+$(A_0,A_n)$-bimodule $P$ (toujours muni de $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
+x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
+$M_1,\ldots,M_n$ sur $A_0,\ldots,A_n$.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+Pour un $a\in A_0$, considérons l'application $P \to P$ donnée par
+$x_1\otimes \cdots \otimes x_n \mapsto (ax_1)\otimes \cdots \otimes
+x_n$ (cf. \ref{convention-produit-tensoriel-sequentiel}), qui est le
+produit tensoriel (sur $\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ$) avec $\Id_{M_2},
+\ldots, \Id_{M_n}$ de la multiplication à gauche par $a$ (vue comme
+une application $(\ZZ,A_1)$-linéaire $M_1\to M_1$) : notons $z \mapsto
+a\cdot z$ cette application. Notons de même $z \mapsto z \star a$
+(lorsque $a\in A_n$) l'application $x_1\otimes \cdots \otimes x_n
+\mapsto x_1\otimes \cdots \otimes (x_n a)$. La
+proposition \ref{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
+montre qu'on a bien $a\cdot(a'\cdot z) = (aa')\cdot z$ pour tous
+$a,a'\in A_0$ et $z \in P$, et de même $(z\star a)\star a' =
+z\star(aa')$ pour tous $a,a' \in A_n$ et $z \in P$, et enfin $a\cdot
+(z\star a') = (a\cdot z)\star a'$ pour tous $a\in A_0$ et $a' \in A_n$
+et $z \in P$. On a donc bien défini une structure de
+$(A_0,A_n)$-bimodule sur $P$, qui était la seule possible vérifiant la
+contrainte annoncée.
+
+Munissons maintenant $P$ de cette structure de $(A_0,A_n)$-bimodule,
+et montrons qu'il vérifie la propriété universelle d'un produit
+tensoriel de $M_1,\ldots,M_n$ sur $A_0,\ldots,A_n$. Si $f \colon M_1
+\times \cdots \times M_n \to T$ est
+$(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaire, avec $T$ un
+$(A_0,A_n)$-bimodule, alors en particulier $f$ est
+$(\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ)$-séquentiellement multilinéaire (si on
+ne retient de $P$ et $T$ que la structure de groupe abéliens), donc il
+existe un $\tilde f$ additif unique tel que $f(x_1,\ldots,x_n) =
+\tilde f (x_1 \otimes \cdots \otimes x_n)$. Mais pour $a \in A_0$,
+les applications $(\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ)$-séquentiellement
+multilinéaire $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto f(a x_1,\ldots,x_n)$ et
+$(x_1,\ldots,x_n) \mapsto a f(x_1,\ldots,x_n)$ coïncident, donc les
+applications additives $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n \mapsto f (a
+x_1, \ldots, x_n)$ et $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n \mapsto a f
+(x_1, \ldots, x_n)$ coïncident aussi, c'est-à-dire justement que
+$\tilde f(az) = a\tilde f(z)$ si $z \in P$ : autrement dit, $\tilde f$
+est $A_0$-linéaire à gauche. Par un raisonnement identique, elle est
+$A_n$-linéaire à droite. On a donc prouvé l'existence d'un $\tilde f
+\colon P \to T$ qui soit $(A_0,A_n)$-linéaire et vérifie
+$f(x_1,\ldots,x_n) = \tilde f (x_1 \otimes \cdots \otimes x_n)$. Son
+unicité est connue sous la simple hypothèse d'additivité donc à plus
+forte raison de $(A_0,A_n)$-linéarité.
+\end{proof}
+
+Cette proposition implique notamment que l'application qu'on a convenu
+de noter $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n \mapsto f(x_1,\ldots,x_n)$
+(pour $f$ une application $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement
+multilinéaire) est non seulement l'unique application
+$(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f$ vérifiant $\tilde
+f(x_1\otimes\cdots\otimes x_n) = f(x_1,\ldots,x_n)$, mais même unique
+sous la seule condition d'additivité pour cette contrainte (ou, si
+l'on préfère, que l'unique application additive vérifiant cette
+contrainte est automatiquement $(A_0,A_n)$-linéaire). Par exemple,
+dans l'énoncé \ref{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel},
+l'application $h$ est unique non seulement comme application
+$(A_0,A_n)$-linéaire mais même comme application additive avec la
+contrainte qu'on lui impose.
+
+\subsubsection{Cas commutatif}
+
+Lorsque $A$ est un anneau commutatif, les notions de $A$-module à
+gauche, de $A$-module à droite, et de $(A,A)$-bimodule coïncident.
+Les propositions précédentes permettent de conclure que :
+\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif}
+Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $M$ et $N$ deux $A$-modules.
+Il existe alors une unique structure de $A$-module sur le groupe
+abélien $M \otimes_A N$ telle qu'on ait $a(x\otimes y) = (ax)\otimes
+y$ pour tous $a\in A$, $x\in M$ et $y\in N$. C'est aussi l'unique
+structure de $A$-module sur $M \otimes_A N$ telle que $a(x\otimes y) =
+x\otimes(ay)$.
+
+De plus, lorsque $f\colon M \times N \to T$ est $A$-bilinéaire (pour
+$T$ un $A$-module quelconque), l'application $\tilde f\colon
+M\otimes_A N \to T$ vérifiant $\tilde f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont
+l'existence et l'unicité sont garanties par la
+définition \ref{definition-produit-tensoriel} du produit tensoriel)
+est $A$-linéaire.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
+proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
+Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $f\colon M\to M'$ et $g\colon
+N\to N'$ deux applications $A$-linéaires entre $A$-modules. Si l'on
+munit $M\otimes_A N$ et $M'\otimes_A N'$ de la structure de $A$-module
+définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}, alors
+$f\otimes_A g$ est $A$-linéaire.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
+proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules-applications}.
+\end{proof}
+
+\begin{convention3}
+Dans le contexte des anneaux commutatifs, le produit tensoriel de deux
+modules sera toujours implicitement muni de la structure définie par
+la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}.
+\end{convention3}
+
+Les résultats de la
+section \ref{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel} permettent de
+parler de $M_1 \otimes_A \cdots \otimes_A M_n$ si $M_1,\ldots,M_n$
+sont des modules sur un anneau (commutatif) $A$ : il s'agit d'un
+$A$-module, qui ne dépend pas (à isomorphisme canonique près) du
+parenthésage choisi sur l'expression $M_1 \otimes_A \cdots \otimes_A
+M_n$ ; il possède la propriété universelle que toute application
+$A$-multilinéaire $f\colon M_1 \times \cdots \times M_n \to T$ (vers
+un $A$-module $T$ quelconque) peut s'écrire comme $f(x_1,\ldots,x_n) =
+\tilde f (x_1 \otimes \cdots \otimes x_n)$ avec un $\tilde f$ qui est
+unique sous cette condition et l'hypothèse d'être $A$-linéaire, ou
+même simpement additif. On pourrait vérifier d'ores et déjà que $M_1
+\otimes_A M_2 \to M_2 \otimes_A M_1$ donné par $x_1 \otimes x_2
+\mapsto x_2 \otimes x_1$ est un isomorphisme : cependant, dans la
+section \ref{sous-section-produit-tensoriel-commutatif}, on
+introduira, pour les modules sur un anneau commutatif, un produit
+tensoriel plus général (y compris si la famille est infinie) pour
+lequel la commutativité sera automatique, et qu'on reliera alors à
+celui défini jusqu'à présent.
+
+\subsection{Premières propriétés}
+
+\subsubsection{Produit tensoriel et suites exactes}
+
+On rappelle :
+
+\begin{definition3}
+Si $A$ est un anneau non nécessairement commutatif, une \emph{suite
+ exacte} de $A$-modules à gauche $M_0 \buildrel f_1\over\to M_1
+\buildrel f_2\over\to \cdots \buildrel f_n\over\to M_n$ est la donnée
+d'une suite finie d'applications $A$-linéaires $f_i \colon M_{i-1} \to
+M_i$ (pour $1 \leq i \leq n$) entre $A$-modules à gauche vérifiant
+$\Ker f_{i+1} = \Im f_i$ (\emph{condition d'exactitude en $M_i$}) pour
+chaque $1 \leq i \leq n-1$. On définit de même les suites exactes de
+$A$-modules à droite, de $(A,B)$-bimodules (pour $A,B$ deux anneaux
+non nécessairement commutatifs).
+
+Lorsque $n=4$ et $M_0=0$ et $M_4=0$, on parle de \emph{suite exacte
+ courte} $0 \to M_1 \buildrel f_2\over\to M_2 \buildrel f_3\over\to
+M_3 \to 0$.
+
+On définit de façon analogue les notions de suite exacte de
+$A$-modules à droite, de bimodules sur un couple d'anneaux non
+nécessairement commutatifs.
+\end{definition3}
+Lorsque $M_0 = 0$ (auquel cas il n'est pas nécessaire de spécifier
+$f_1$ qui est nécessairement nul), l'exactitude en $M_1$ équivaut à
+l'injectivité de $f_2$. Lorsque $M_n = 0$ (auquel cas il n'est pas
+nécessaire de spécifier $f_n$ qui est nécessairement nul),
+l'exactitude en $M_{n-1}$ équivaut à la surjectivité de $f_{n-1}$. La
+donnée d'une suite exacte courte $0 \to M' \buildrel f\over\to M
+\buildrel g\over\to M'' \to 0$ équivaut donc à la donnée de $f\colon
+M' \to M$ injectif et de $g\colon M\to M''$ surjectif, tels que $\Ker
+g = \Im f$.
+
+Dans la proposition suivante, on attire l'attention sur l'absence
+de $0$ à gauche de la seconde suite :
+\begin{proposition3}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
+Soit $M' \buildrel f\over\to M \buildrel g\over\to M'' \to 0$ une
+suite exacte de modules à droite sur un anneau non nécessairement
+commutatif. Alors pour tout $A$-module à gauche $N$, la suite
+$M'\otimes_A N \buildrel f\otimes N\over\longrightarrow M\otimes_A N
+\buildrel g\otimes N\over\longrightarrow M''\otimes_A N \to 0$ est
+exacte.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+Il s'agit donc de prouver que $g\otimes N$ est surjectif sous
+l'hypothèse que $g$ l'est, et que son noyau est égal à l'image de
+$f\otimes N$. Mais la
+proposition \ref{produit-tensoriel-applications-surjectives} appliquée
+aux applications $g$ et $\Id_N$ prouve précisément que $g \otimes N$
+est surjectif et que son noyau est engendré (en tant que groupe
+abélien) par les $x \otimes y$ avec $g(x) = 0$ ou $y=0$ : ceux avec
+$y=0$ sont nuls, et les premiers s'évrivent bien de la forme $f(x')
+\otimes y$ où on a choisi $x'$ tel que $x = f(x')$.
+\end{proof}
+
+On prendra garde au fait que même si $f\colon M' \to M$ est supposée
+injective, il n'est pas vrai en général que $f \otimes N$ le soit : si
+$0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ est une suite exacte courte, on peut
+seulement déduire l'exactitude de $M' \otimes_A N \to M \otimes_A N
+\to M'' \otimes_A N \to 0$ ; on dit que le produit tensoriel est
+\emph{exact à droite} mais \emph{n'est pas exact} (ceci n'a rien à
+voir avec la latéralité des modules : la même situation se produit,
+\textit{mutatis mutandis}, pour le produit tensoriel à gauche par un
+$A$-module à droite). On pourra néanmoins conclure à l'injectivité de
+$M' \otimes_A N \to M \otimes_A N$ dans la situation où $N$ est un
+module \emph{plat}. \XXX
+
+\subsubsection{Distributivité sur les sommes directes}
+
+\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif et $N$ un
+$A$-module à gauche. Alors :
+\begin{itemize}
+\item Si $A$ est considéré de la façon naturelle comme un module à
+ droite sur lui-même, l'application $a \otimes y \mapsto ay$ définit
+ un isomorphisme $A \otimes_A N \cong N$.
+\item Si $(M_i)$ est une famille quelconque de $A$-modules à droite,
+ l'application $(x_i) \otimes y \mapsto (x_i \otimes y)$ définit un
+ isomorphisme $\left(\bigoplus_i M_i\right) \otimes_A N \cong
+ \bigoplus_i (M_i\otimes_A N)$.
+\end{itemize}
+Ces isomorphismes se comprennent comme des isomorphismes de groupes
+abéliens et, si $A$ est commutatif, de $A$-modules. De plus, on a les
+mêmes résultats, \textit{mutatis mutandis} pour le facteur gauche du
+produit tensoriel.
+\end{proposition3}
+\begin{proof}
+Montrons que l'application $\eta\colon N \to A\otimes_A N$ donnée par
+$y \mapsto 1\otimes y$ est réciproque de l'application
+$\varepsilon\colon a \otimes y \mapsto ay$ considérée : le fait que la
+composée $\varepsilon\eta\colon N \to A\otimes_A N \to N$ soit
+l'identité est trivial, le fait que la composée $\eta\varepsilon
+\colon A\otimes_A N \to N \to A\otimes_A N$ soit l'identité signifie
+simplement que $(1a) \otimes y = 1\otimes (ay)$, ce qui fait partie de
+la bilinéarité de $\otimes$.
+
+Pour la seconde partie, on considère l'application $\eta \colon
+\bigoplus_i (M_i\otimes_A N) \to \left(\bigoplus_i M_i\right)
+\otimes_A N$ définie par $\eta(\iota_{M_i \otimes_A N}(x_i \otimes y))
+= \iota_{M_i}(x_i) \otimes y$ où $\iota_{M_i} \colon M_i \to
+\bigoplus_i M_i$ (resp. $\iota_{M_i \otimes_A N}$) est l'injection
+canonique du facteur $M_i$ (resp. $M_i \otimes_A N$) dans la somme
+directe : les propriétés universelles de la somme directe et du
+produit tensoriel garantissent que cette application a bien un sens.
+En notant $\varepsilon \colon (x_i) \otimes y \mapsto (x_i \otimes y)$
+l'application $\left(\bigoplus_i M_i\right) \otimes_A N \to
+\bigoplus_i (M_i\otimes_A N)$ considérée dans l'énoncé, on vérifie
+$\varepsilon\eta = \Id_{\bigoplus_i (M_i\otimes_A N)}$ et
+$\eta\varepsilon = \Id_{(\bigoplus_i M_i)\otimes_A N}$.
+\end{proof}
+
+La conséquence suivante est immédiate :
+
+\begin{corollaire3}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
+Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
+à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $I$ un ensemble. Alors
+l'application $(x_i) \otimes y \mapsto (x_i \otimes y)$ définit un
+isomorphisme $M^{(I)} \otimes_A N \cong (M\otimes_A N)^{(I)}$ (où
+$M^{(I)}$ désigne la somme directe d'une famille constante indicée
+par $I$ du module $M$, c'est-à-dire le module des familles presque
+nulles $(x_i) \in M^I$). En particulier, $A^{(I)} \otimes_A N$
+s'identifie à $N^{(I)}$. Cet isomorphisme se comprend comme
+isomorphisme de groupes abéliens et, si $A$ est commutatif, de
+$A$-modules. De plus, on a les mêmes résultats, \textit{mutatis
+ mutandis} pour le facteur gauche du produit tensoriel.
+
+On a notamment $A^{(I)} \otimes_A A^{(J)} \cong A^{(I\times J)}$,
+l'identification étant donnée par $e_i \otimes f_j \mapsto g_{i,j}$
+sur les bases canoniques $(e_i)_{i\in I}$, $(f_j)_{j\in j}$ et
+$(g_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ respectives de $A^{(I)}$, $A^{(J)}$
+et $A^{(I\times J)}$.
+\end{corollaire3}
+
+\begin{remarque3}
+Si $(M_i)$ est une famille de $A$-modules à droite sur un anneau non
+nécessairement commutatif $A$ et $N$ un $A$-module à gauche, on a
+également une application naturelle $\left(\prod_i M_i\right)
+\otimes_A N \to \prod_i (M_i\otimes_A N)$ donnée par $(x_i) \otimes y
+\mapsto (x_i \otimes y)$ et qui peut rappeler celle considérée
+en \ref{produit-tensoriel-et-sommes-directes}. Cependant, même dans
+le cas où tous les $M_i$ sont égaux à $A$ et où $A$ est commutatif,
+l'application $A^I \otimes_A N \to N^I$ n'est pas nécessairement ni
+surjective ni même injective. \XXX
+\end{remarque3}
+
+\begin{remarque3}
+Rappelons qu'une \emph{présentation} d'un $A$-module à droite $M$ est
+la donnée d'une suite exacte $A^{(J)} \buildrel f\over\to A^{(I)}
+\buildrel g\over\to M \to 0$ (c'est-à-dire d'une famille génératrice
+$x_i = g(e_i)$ de $M$ et d'une famille $r_j = f(e_j)$ engendrant les
+relations entre les $x_i$). Dans ces conditions, en rapprochant la
+proposition \ref{produit-tensoriel-et-puissance-directe} de la
+proposition \ref{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}, on voit
+que pour tout $A$-module à gauche $N$, le module $M \otimes_A N$ se
+décrit (à isomorphisme près) comme le conoyau de l'application $f
+\otimes N \colon N^{(J)} \to N^{(I)}$. Ceci fournit une méthode
+systématique pour « calculer » les produits tensoriels.
+\end{remarque3}
+
+\subsection{Cas de familles de modules sur un anneau commutatif}\label{sous-section-produit-tensoriel-commutatif}
+
+\begin{definition2}\label{definition-application-multilineaire}
+Soient $A$ un anneau (commutatif), $(M_i)_{i\in I}$ une famille de
+$A$-modules, et $P$ un $A$-module. On dit qu'une application $f\colon
+\prod_{i\in I} M_i \to P$ est $A$-\emph{multilinéaire} lorsque pour
+tout $i \in I$ et toute famille $(y_j) \in \prod_{j\neq i} M_j$,
+l'application partielle $M_i \to P$ donnée par $x \mapsto f(x,(y_j))$
+est $A$-linéaire.
+\end{definition2}
+
+On notera $\MHom_A((M_i)_{i\in I};P)$ l'ensemble des applications
+$A$-multilinéaires de $\prod_{i\in I} M_i$ vers $P$ : on le munit de
+la structure de $A$-module de l'évaluation point à point (c'est-à-dire
+héritée de $P^{\prod_{i\in I} M_i}$ dont on peut le voir comme un
+sous-module). Il va de soi que si $I$ est réduit à un unique
+élément $\ast$, alors $\MHom_A((M_i)_{i\in I};P)$ s'identifie à
+$\Hom_A(M_\ast, P)$ ; par ailleurs, si $I$ est vide, alors
+$\MHom_A((M_i)_{i\in\varnothing};P)$ s'identifie à $P$ en tant
+que $A$-module (l'application $()\mapsto y$ s'identifiant à $y$).
+
+Remarquons que si $I = I' \cup I''$ avec $I' \cap I'' = \varnothing$
+alors $\MHom_A((M_i)_{i\in I};P)$ s'identifie à $\MHom_A((M_i)_{i\in I'}
+; \MHom_A((M_i)_{i\in I''} ; P))$ grâce aux applications partielles
+(c'est-à-dire en identifiant $f \in \MHom_A((M_i)_{i\in I};P)$ avec
+l'application envoyant $(x_i)_{i \in I'}$ sur $(x_i)_{i \in I''}
+\mapsto f((x_i)_{i\in I' \cup I''})$).
+
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-commutatif}
+Soient $A$ un anneau (commutatif) et $(M_i)_{i\in I}$ une famille de
+$A$-modules. On dit qu'un groupe abélien $P$ muni d'une application
+$A$-multilinéaire $\varphi\colon \prod_{i\in I} M_i \to P$ est un
+\emph{produit tensoriel} de $(M_i)$ au-dessus de $A$ lorsque pour
+toute application $A$-multilinéaire $f\colon \prod_{i\in I} M_i \to T$
+vers un $A$-module $T$ quelconque il existe une unique application
+$A$-linéaire $\tilde f \colon P \to T$ telle que $f = \tilde f \circ
+\varphi$ (cette propriété s'appelant la \emph{propriété universelle du
+ produit tensoriel}).
+\end{definition2}
+
+Autrement dit, lorsque $(P,\varphi)$ est un produit tensoriel de
+$(M_i)_{i\in I}$, l'application (visiblement $A$-linéaire)
+$\Hom_A(P,T) \to \MHom_A((M_i)_{i\in I}; T)$ donnée par $\tilde f
+\mapsto \tilde f\circ\varphi$ est \emph{bijective} --- c'est donc un
+isomorphisme de $A$-modules.
+
+Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel
+introduites en \ref{definition-produit-tensoriel},
+\ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel} et
+\ref{definition-produit-tensoriel-commutatif}, commençons par établir
+le lemme suivant :
+
+\begin{lemme2}\label{produit-tensoriel-de-deux-a-plus}
+Soient $A$ un anneau (commutatif) et $(M_i)_{i\in I}$ une famille de
+$A$-modules. Si $I = I' \cup I''$ avec $I'\cap I'' = \varnothing$ est
+une partition de $I$, et si on note $(P',\varphi')$
+(resp. $(P'',\varphi'')$) un produit tensoriel (au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel-commutatif}) de $(M_i)_{i \in
+ I'}$ (resp. $(M_i)_{i \in I''}$) au-dessus de $A$ et $P =
+P'\otimes_A P''$ (au sens de \ref{definition-produit-tensoriel},
+\ref{convention-produit-tensoriel} et
+\ref{produit-tensoriel-commutatif}) et $\varphi \colon \prod_{i\in I}
+M_i \to P$ donné par $(x_i)_{i \in I} \mapsto \varphi'((x_i)_{i \in
+ I'}) \otimes \varphi''((x_i)_{i \in I''})$, alors $(P,\varphi)$ est
+un produit tensoriel (au sens de
+\ref{definition-produit-tensoriel-commutatif}) de $(M_i)_{i\in I}$
+au-dessus de $A$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+L'application $\varphi$ introduite est bien multilinéaire puisque
+$\varphi'$ et $\varphi''$ le sont et que $\otimes \colon P'\times P''
+\to P'\otimes P''$ est bilinéaire.
+
+Soit $f\colon \prod_{i\in I} M_i \to T$ une application multilinéaire
+vers un $A$-module $T$ quelconque. On souhaite prouver qu'il existe
+une unique application linéaire $\tilde f \colon P \to T$ telle que $f
+= \tilde f \circ \varphi$.
+
+Si $x' = (x_i)_{i \in I'}$ est fixé dans $\prod_{i\in I'} M_i$, notons
+$f_{x'} = f(x',\cdot) \colon \prod_{i\in I''} M_i \to T$ l'application
+partielle qui s'en déduit. Comme $f_{x'}$ est multilinéaire, la
+propriété universelle de $P''$ assure qu'il existe une unique
+application linéaire $f''_{x'} \colon P'' \to T$ avec $f_{x'} =
+f''_{x'} \circ \varphi''$. En faisant maintenant varier $x'$,
+l'application $\prod_{i\in I'} M_i \to \MHom_A((M_i)_{i\in I''}; T)$
+donnée par $x' \mapsto f_{x'}$ est multilinéaire et il en va donc de
+même de $\prod_{i\in I'} M_i \to \Hom_A(P'', T)$ donnée par $x'
+\mapsto f''_{x'}$. La propriété universelle de $P$ assure à son tour
+l'existence d'un $f' \colon P' \to \Hom_A(P'', T)$ unique (additif et,
+en fait, $A$-linéaire d'après \ref{produit-tensoriel-commutatif}) tel
+que $f''_{x'} = f'(\varphi'(x'))$. Enfin, puisque $(z',z'') \mapsto
+f'(z')(z'')$ est bilinéaire, on peut l'écrire $f'(z')(z'') = \tilde
+f(z' \otimes z'')$ pour une unique application linéaire $\tilde f
+\colon P \to T$. On a alors bien $\tilde f \circ \varphi = f$.
+Réciproquement, si une autre application $\tilde g$ vérifie $\tilde g
+\circ \varphi = f$, alors les unicités de $f''$ puis $f'$ assurent que
+$(z',z'') \mapsto \tilde g(z'\otimes z'')$ doit coïncider avec
+$f'(z')(z'')$, donc l'unicité dans la propriété universelle de
+$P'\otimes P''$ assure bien que $\tilde g = \tilde f$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{existence-produit-tensoriel-commutatif}
+Soient $A$ un anneau (commutatif) et $(M_i)_{i\in I}$ une famille de
+$A$-modules. Il existe un produit tensoriel $(P,\varphi)$ (au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel-commutatif}) de $(M_i)$ au-dessus
+de $A$, et de plus si $(P',\varphi')$ est un autre tel produit
+tensoriel, alors il existe un isomorphisme de $A$-modules $h\colon P
+\to P'$ tel que $\varphi' = h \circ \varphi$ (et cet isomorphisme est
+unique sous cette condition).
+
+Lorsque $I$ est vide, $P=A$ muni de l'application $()\mapsto 1$
+constitue un produit tensoriel de la famille ; lorsque $I$ est réduit
+à un unique élément $\ast$, alors $P = M_\ast$ muni de l'identité $x
+\mapsto x$ constitue un produit tensoriel de la famille ; lorsque $I =
+\{1,2\}$ est réduit à deux éléments, alors $P = M_1 \otimes_A M_2$ (au
+sens de \ref{definition-produit-tensoriel},
+\ref{convention-produit-tensoriel} et
+\ref{produit-tensoriel-commutatif}) muni de $(x_1,x_2) \mapsto
+x_1\otimes x_2$ constitue un produit tensoriel de la famille ; enfin,
+lorsque $I = \{1,\ldots,n\}$ est fini, alors $P = M_1 \otimes_A \cdots
+\otimes_A M_n$ (au sens
+de \ref{convention-produit-tensoriel-sequentiel}) constitue un produit
+tensoriel de la famille.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proof}
+L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
+propriété universelle de $P$, il existe un unique $h\colon P\to P'$
+linéaire tel que $\varphi' = h \circ \varphi$, et d'après la propriété
+universelle de $P'$, il existe un unique $h'\colon P'\to P$ linéaire
+tel que $\varphi = h' \circ \varphi'$. On a alors $h'\circ h \circ
+\varphi = \varphi$, mais d'après l'unicité dans la propriété
+universelle de $P$ ceci implique $h'\circ h = \Id_P$, et de même on a
+$h \circ h' = \Id_{P'}$.
+
+Montrons à présent l'existence dans le cas général. Pour cela, on
+considère le groupe abélien libre $F$ de base $\prod_{i\in I} M_i$: si
+$(x_i) \in \prod_{i\in I} M_i$, on notera $[(x_i)]$ l'élément
+correspondant de la base de $F$. Considérons le sous-groupe $F_0$ de
+$F$ engendré par tous les éléments d'une des formes suivantes :
+$[x+x',(y_j)] - [x,(y_j)] - [x',(y_j)]$ (si $x,x' \in M_i$ et $(y_j)
+\in \prod_{j \neq i} M_j$) ou bien $[ax,(y_j)] - a[x,(y_j)]$ (si $x
+\in M_i$, $(y_j)\in \prod_{j \neq i} M_j$ et $a\in A$). Appelons $P$
+le quotient $F/F_0$ muni de l'application $\varphi$ envoyant un
+élément $(x_i) \in \prod_{i\in I} M_i$ sur l'image de $[(x_i)] \in F$
+dans ce quotient : nous allons montrer que $P$ est bien un produit
+tensoriel comme recherché. Pour cela, remarquons d'abord que
+$\varphi$ est bien $A$-multilinéaire comme il résulte des relations
+$\varphi(x+x',(y_j)) - \varphi(x,(y_j)) - \varphi(x',(y_j)) = 0$ et
+$\varphi(ax,(y_j)) - a \varphi(x,(y_j)) = 0$. Mais si $b\colon
+\prod_{i\in I} M_i \to T$ est $A$-multilinéaire, l'unique application
+$F \to T$ définie en envoyant $[(x_i)]$ sur $b(x_i)$, s'annule
+sur $F_0$ donc passe au quotient et définit un $\tilde b \colon P \to
+T$ qui était manifestement la seule possibilité.
+
+Dans le cas où $I = \varnothing$ ou $I = \{\ast\}$, il est clair que
+les candidats proposés sont bien des produits tensoriels puisque les
+applications multilinéaires $\prod_{i\in I} M_i \to T$ sont
+respectivement les éléments de $T$ ou les applications linéaires
+$M_\ast \to T$. Dans le cas où $I = \{1,2\}$, on peut par exemple
+utiliser le lemme \ref{produit-tensoriel-de-deux-a-plus} (ou plus
+directement \ref{produit-tensoriel-commutatif}). Enfin, dans le cas
+où $I = \{1,\ldots,n\}$, il s'agit de constater que la
+définition \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel} recouvre la
+définition \ref{definition-produit-tensoriel-commutatif} : pour cela,
+il s'agit simplement de constater que, $M_1,\ldots,M_n$ étant des
+$A$-modules, la notion d'application $(A,\ldots,A)$-séquentiellement
+multilinéaire
+(\ref{definition-application-sequentiellement-multilineaire}) équivaut
+à celle d'application
+multilinéaire (\ref{definition-application-multilineaire}), ce qui est
+clair en chassant successivement les constantes en bout d'expression.
+\end{proof}
+
+Cette proposition assure que les notions de produit tensoriel
+introduites en \ref{definition-produit-tensoriel} (compte tenu
+de \ref{produit-tensoriel-commutatif}) et
+en \ref{definition-produit-tensoriel-commutatif} coïncident lorsque
+les deux ont un sens, c'est-à-dire pour le produit tensoriel de deux
+modules sur un anneau commutatif ; et de même entre
+\ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
+et \ref{definition-produit-tensoriel-commutatif}, c'est-à-dire pour le
+produiit tensoriel d'un nombre fini de modules sur un anneau
+commutatif. Avec le lemme \ref{produit-tensoriel-de-deux-a-plus},
+elle permet en outre de décrire les produits tensoriels de familles
+finies de modules au moyen des produits tensoriels de deux modules ;
+par exemple, $M_1 \otimes_A (M_2 \otimes_A M_3)$ et $(M_1 \otimes_A
+M_2) \otimes_A M_3$ (l'isomorphisme entre eux étant explicitement
+donné par $x_1 \otimes (x_2\otimes x_3) \mapsto (x_1\otimes x_2)
+\otimes x_3$) sont tous deux des produits tensoriels de la famille
+$(M_i)_{i \in \{1,2,3\}}$, et c'est encore $M_1 \otimes_A M_2
+\otimes_A M_3$ au sens
+de \ref{convention-produit-tensoriel-sequentiel}. Ainsi, la
+multiplicité des notions que nous avons introduites ne crée pas de
+confusion puisqu'elles coïncident sur les cas où plusieurs sont
+définies.
+
+Puisque la définition \ref{definition-produit-tensoriel-commutatif} ne
+fait pas (contrairement
+à \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) intervenir d'ordre
+sur l'ensemble d'indices $I$, le fait que ces deux notions coïncident
+quand elles sont définies affirme en particulier la commutativité du
+produit tensoriel des modules sur un anneau commutatif : si $M_1$
+et $M_2$ sont deux $A$-modules avec $A$ un anneau (commutatif) alors
+$M_1 \otimes_A M_2$ est isomorphe à $M_2 \otimes_A M_1$ par
+l'application donnée par $x_1 \otimes x_2 \mapsto x_2 \otimes x_1$.
+
+\begin{convention2}[notation]\label{convention-produit-tensoriel-famille}
+Soient $A$ un anneau (commutatif), $(M_i)_{i\in I}$ un famille
+\emph{finie} de $A$-modules : on notera $\bigotimes_{A;i\in I} M_i$,
+ou abusivement $\bigotimes_{i\in I} M_i$ s'il n'en résulte aucune
+ambiguïté, un produit tensoriel quelconque de la famille (par exemple
+$M_{i_1} \otimes (M_{i_2} \otimes (\cdots \otimes M_{i_r}))$ si $I =
+\{i_1,\ldots,i_r\}$), l'application $A$-multilinéaire $\prod_{i\in I}
+M_i \to \bigotimes_{i\in I} M_i$ dont il est muni étant notée $(x_i)
+\mapsto \bigotimes_{i\in I} x_i$. Comme précédemment, si $f \colon
+\prod_{i\in I} M_i \to T$ est multilinéaire (avec $T$ un $A$-module
+quelconque), on se permettra d'écrire $\bigotimes_{i\in I} x_i \mapsto
+f(x_i)$ pour l'application $\tilde f$ dont l'existence et l'unicité
+sont garanties par la propriété universelle du produit tensoriel.
+
+On utilisera parfois également les mêmes conventions et notations pour
+le produit tensoriel d'une famille infinie de modules, mais cette
+utilisation sera toujours précédée d'un avertissement précisant que le
+produit tensoriel infini est à comprendre au sens utilisé ici
+(c'est-à-dire de \ref{definition-produit-tensoriel-commutatif}).
+\end{convention2}
+
+Le produit tensoriel de familles infinies de modules ne doit pas se
+noter $\bigotimes_{i\in I} M_i$ sans expliciter à quelle définition il
+est fait référence, car on verra plus loin qu'il existe également un
+produit tensoriel infini d'algèbres, qui ne coïncide pas avec lui.
+Dans la fin de cette
+section \ref{sous-section-produit-tensoriel-commutatif}, cependant,
+nous utiserons cette notation $\bigotimes_{i\in I} M_i$ pour le
+produit tensoriel au sens
+de \ref{definition-produit-tensoriel-commutatif}, y compris dans le
+cas d'une famille infinie.
+
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-commutatif}
+Soient $A$ un anneau (commutatif), $(M_i)_{i\in I}$ et $(M'_i)_{i\in
+ I}$ deux familles de $A$-modules et $(f_i)_{i\in I}$ une famille
+d'applications $A$-linéaires $f_i \colon M_i \to M'_i$. Alors il
+existe une unique application $A$-linéaire $h\colon \bigotimes_{i\in I}
+M_i \to \bigotimes_{i\in I} M'_i$ telle que $h(\bigotimes_{i\in I}
+x_i) = \bigotimes_{i\in I} f_i(x_i)$ pour tous $(x_i)_{i\in I} \in
+\prod_{i\in I} M_i$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Comme en \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, la démonstration est
+immédiate : comme $(x_i) \mapsto \bigotimes_{i\in I} f_i(x_i)$ est
+multilinéaire, la propriété universelle du produit tensoriel garantit
+l'existence et l'unicité de $h$ avec la condition $h(\bigotimes_{i\in
+ I} x_i) = \bigotimes_{i\in I} f_i(x_i)$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-commutatif-applications}
+Dans les conditions et avec les notation de la
+propositions \ref{fonctorialite-produit-tensoriel-commutatif}, on
+notera $h = \bigotimes_{i \in I} f_i$ et on l'appellera produit
+tensoriel de la famille de morphismes $f_i$ ; comme signalé en
+\ref{convention-produit-tensoriel-famille}, on n'utilisera cette
+notation sans précision que pour une famille \emph{finie}.
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-commutatif-composition}
+Soient $A$ un anneau (commutatif), $(M_i)_{i\in I}$, $(M'_i)_{i\in I}$
+et $(M''_i)_{i\in I}$ trois familles de $A$-modules, et $(f_i)_{i\in
+ I}$ et $(f'_i)_{i\in I}$ deux famille d'applications $A$-linéaires
+$f_i \colon M_i \to M'_i$ et $f'_i \colon M'_i \to M''_i$. Alors on a
+$\bigotimes_{i\in I} (f'_i \circ f_i) = \left(\bigotimes_{i\in I}
+f'_i\right) \circ \left(\bigotimes_{i\in I} f_i\right)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
+d'applications.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}[associativité du produit tensoriel]
+Soient $A$ un anneau (commutatif) et $(M_i)_{i\in I}$ une famille de
+$A$-modules, $(I_\ell)_{\ell\in L}$ une partition de $I$ avec
+$L$ \emph{fini}. On a alors un isomorphisme
+\[
+\bigotimes_{i\in I} M_i
+\cong
+\bigotimes_{\ell\in L} \bigotimes_{i\in I_\ell} M_i
+\]
+donné par l'application $\bigotimes_{i\in I} x_i \mapsto
+\bigotimes_{\ell\in L} \bigotimes_{i\in I_\ell} x_i$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur le cardinal de $L$ : le cas où $\#L \leq
+1$ est trivial. Soit $\ell_0 \in L$ et posons $L' =
+L\setminus\{\ell_0\}$ ; posons aussi $I_0 = I_{\ell_0}$ et $I' =
+\bigcup_{\ell\in L'} I_\ell$ pour alléger les notations. L'hypothèse
+de récurrence assure que l'application $\bigotimes_{i\in I'} x_i
+\mapsto \bigotimes_{\ell\in L'} \bigotimes_{i\in I_\ell} x_i$
+détermine un isomorphisme $\bigotimes_{i\in I'} M_i \cong
+\bigotimes_{\ell\in L'} \bigotimes_{i\in I_\ell} M_i$. Mais le
+lemme \ref{produit-tensoriel-de-deux-a-plus} assure pour sa part que
+$\bigotimes_{i\in I} x_i \mapsto (\bigotimes_{i\in I'} x_i) \otimes
+(\bigotimes_{i\in I_0} x_i)$ est un isomorphisme $\bigotimes_{i\in I}
+M_i \cong (\bigotimes_{i\in I'} M_i) \otimes_A (\bigotimes_{i\in I_0}
+M_i)$. Il reste donc finalement à prouver, en notant $N_\ell =
+\bigotimes_{i \in I_\ell} M_i$, que $(\bigotimes_{\ell\in L'} y_\ell)
+\otimes y_{\ell_0} \mapsto \bigotimes_{\ell\in L} y_\ell$ détermine un
+isomorphisme $(\bigotimes_{\ell\in L'} N_\ell) \otimes_A N_{\ell_0}
+\cong \bigotimes_{\ell\in L} N_\ell$ : ce qui résulte de nouveau du
+lemme \ref{produit-tensoriel-de-deux-a-plus}.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+Ce lemme peut sembler purement formel, mais lorsque $L$ n'est plus
+supposé fini, l'application $\bigotimes_{i\in I} M_i \cong
+\bigotimes_{\ell\in L} \bigotimes_{i\in I_\ell} M_i$ donnée par
+$\bigotimes_{i\in I} x_i \mapsto \bigotimes_{\ell\in L}
+\bigotimes_{i\in I_\ell} x_i$ (qui a toujours un sens) n'est plus
+nécessairement un isomorphisme. \XXX (Exemple à déplacer en exercice :
+si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$, alors
+$\bigotimes_{(i,j) \in \NN \times \{0,1\}} k \cong k^{(B)}$, où $B$
+est un ensemble de représentants de $(k^\times)^{\NN \times
+ \{0,1\}}/\sim$ avec $\sim$ la relation définie par $u\sim v$ lorsque
+$u$ et $v$ coïncident sauf sur un ensemble fini ; en revanche,
+$\bigotimes_{i \in \NN} \bigotimes_{j \in \{0,1\}} k \cong
+\bigotimes_{i \in \NN} k \cong k^{(B')}$ où $B'$ est un ensemble de
+représentants de $(k^\times)^{\NN} /\sim$. Si $x_{ij} = 1$ pour
+tous $i,j$ et $y_{ij} = -1$ pour tous $i,j$, alors $\bigotimes_{i \in
+ \NN} \bigotimes_{j \in \{0,1\}} x_{ij}$ et $\bigotimes_{i \in \NN}
+\bigotimes_{j \in \{0,1\}} y_{ij}$ coïncident mais $\bigotimes_{(i,j)
+ \in \NN \times \{0,1\}} x_{ij}$ et $\bigotimes_{(i,j) \in \NN \times
+ \{0,1\}} y_{ij}$ ne coïncident pas.)
+\end{remarque2}
+
+\section{Changement de base et produit tensoriel d'algèbres}
+
+\subsection{Extension des scalaires d'un module}
+
+Soit $\varphi \colon A \to B$ un morphisme d'anneaux non
+nécessairement commutatifs. Si $M$ est un $B$-module à gauche, on
+peut définir une structure de $A$-module à gauche sur $M$ en posant
+$a\bullet x = \varphi(a)\,x$ pour $a\in A$ et $x\in M$ : le $A$-module
+à gauche ainsi défini est dit obtenu à partir de $M$ par
+\emph{restriction des scalaires} (à gauche) de $B$ à $A$ (selon le
+morphisme $\varphi$). On le note ${_{[A]}M}$, ou ${_{[\varphi]}M}$
+pour préciser le morphisme utilisé. On peut définir, \textit{mutatis
+ mutandis}, une restriction des scalaires (à droite) d'un $B$-module
+à droite $M$, notée de même $M_{[A]}$ ou $M_{[\varphi]}$. Lorsque $M$
+est un $(B,C)$-bimodule, sa restriction des scalaires à gauche de $B$
+à $A$ est un $(A,C)$-bimodule, et lorsque $M$ est un $(C,B)$-bimodule,
+sa restriction des scalaires à droite de $B$ à $A$ est
+un $(C,A)$-bimodule.
+
+Toujours lorsque $\varphi \colon A \to B$ est un morphisme d'anneaux
+non nécessairement commutatifs, si $M,M'$ sont deux $B$-modules à
+gauche et $h\colon M\to M'$ une application $B$-linéaire,
+l'application $h\colon {_{[A]}M} \to {_{[A]}M'}$ est $A$-linéaire.
+Pour insister sur ce fait, on pourra parfois la noter ${_{[A]}h}$
+plutôt que simplement $h$. On fait la convention analogue à pour la
+restriction des scalaires à droite.
+
+\begin{remarque2}
+Soit $\varphi \colon A \to B$ un morphisme d'anneaux non
+nécessairement commutatifs et $M$ un $B$-module à gauche : alors le
+module ${_{[A]}M}$ obtenu à partir de $M$ par restriction des
+scalaires à gauche de $B$ à $A$ selon $\varphi$ est
+$\Hom_B(B_{[A]},M)$, où $B_{[A]}$ est le $(B,A)$-bimodule obtenu à
+partir du $(B,B)$-bimodule $B$ par restriction des scalaires à droite
+de $B$ à $A$ selon $\varphi$, où $\Hom_B(B_{[A]},M)$ désigne les
+applicatons $B$-linéaires à gauche entre les $B$-modules à gauche
+$B_{[A]}$ et $M$, et où ce $\Hom_B(B_{[A]},M)$ est muni d'une
+structure de $A$-module à gauche conformément à la
+remarque \ref{hom-bimodules} (donc en posant $(a\cdot f)(b) = f(b
+\bullet a) = f(b\varphi(a))$). C'est clair en identifiant un élément
+$f \in \Hom_B(B_{[A]},M)$ à l'image de $1_B$ par cette application.
+
+Lorsque $M$ a, en outre, une structure compatible de module à droite
+sur un troisième anneau non nécessairement commutatif $C$
+(c'est-à-dire que c'est un $(B,C)$-bimodule), alors sa restriction des
+scalaires à gauche de $B$ à $A$ selon $\varphi$ est
+$\Hom_B(B_{[A]},M)$ (c'est-à-dire $\Hom_{B,\ZZ}(B_{[A]},M)$) en
+tant que $(A,C)$-bimodule, cf. de nouveau \ref{hom-bimodules}.
+
+On a les résultats analogues évidents pour la restriction des
+scalaires à droite.
+\end{remarque2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-extension-scalaires-module}
+Soient $\varphi \colon A \to B$ un morphisme d'anneaux non
+nécessairement commutatifs et $M$ un $A$-module à gauche : alors, avec
+les notations exposées ci-dessus, $(B_{[A]}) \otimes_A M$, muni de sa
+structure de $B$-module à gauche provenant de la structure de
+$(B,A)$-bimodule sur $B_{[A]}$, est dit obtenu par \emph{extension des
+ scalaires} (à gauche) de $A$ à $B$ (selon le morphisme $\varphi$).
+On peut le noter simplement $B \otimes_A M$.
+\end{definition2}
+
+Partant d'un $B$-module à gauche $N$, en restreignant ses scalaires de
+$B$ à $A$ puis en les étendant de nouveau de $A$ à $B$, c'est-à-dire
+en construisant $B \otimes_A (_{[A]} N)$, on ne retrouve généralement
+pas le module $N$ de départ : néanmoins, on a une application
+$B$-linéaire $\varepsilon \colon B \otimes_A (_{[A]} N) \to N$
+naturellement définie dans cette situation par $b \otimes y \mapsto
+by$ ; de même partant d'un $A$-module à gauche $M$, en étendant ses
+scalaires de $A$ à $B$, puis en les restreignant de nouveau de $B$
+à $A$, c'est-à-dire en construisant $_{[A]}(B\otimes_A M)$, on ne
+retrouve généralement pas le module $M$ de départ : néanmoins, on a
+une application $A$-linéaire $\eta \colon M \to {_{[A]}(B\otimes_A
+ M)}$ naturellement définie dans cette situation par $x \mapsto 1_B
+\otimes x$.
+
+\begin{proposition2}\label{adjonction-extension-restriction-modules}
+Soient $\varphi \colon A \to B$ un morphisme d'anneaux non
+nécessairement commutatifs, $M$ un $A$-module à gauche et $N$ un
+$B$-module à gauche : alors, avec les notations ci-dessus,
+l'application additive $\Hom_A(M, {_{[A]}N}) \to \Hom_B (B\otimes_A M,
+N)$ envoyant $f$ sur $\varepsilon \circ (B\otimes_A f)$, et
+l'application additive $\Hom_B (B\otimes_A M, N) \to \Hom_A(M,
+{_{[A]}N})$ envoyant $g$ sur $(_{[A]}g) \circ \eta$, sont des
+bijections réciproques.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que les deux applications considérées soient bien additives
+est évident.
+
+Si $f \colon M \to {_{[A]}N}$ est $A$-linéaire, alors $\varepsilon
+\circ (B\otimes_A f) \colon B\otimes_A M \to N$ peut être définie
+comme $b \otimes x \mapsto b\,f(x)$ (avec la convention usuelle,
+cf. \ref{convention-produit-tensoriel}), tandis que si $g \colon
+B\otimes_A M \to N$ est $B$-linéaire alors $(_{[A]}g) \circ \eta$
+envoie $x \in M$ sur $g(1_B \otimes x)$. Avec cette description, on
+voit que la composée des applications considérées envoie, dans le sens
+$\Hom_A(M, {_{[A]}N}) \to \Hom_B (B\otimes_A M, N) \to \Hom_A(M,
+{_{[A]}N})$, une application $f$ sur $x \mapsto 1_B\, f(x)$,
+c'est-à-dire $f$, et dans le sens $\Hom_B (B\otimes_A M, N) \to
+\Hom_A(M, {_{[A]}N}) \to \Hom_B (B\otimes_A M, N)$, une application
+$g$ sur $b \otimes x \mapsto b\, g(1_B \otimes x) = g(b\otimes x)$,
+c'est-à-dire $g$. Ces deux composées sont donc bien des identités.
+\end{proof}
+
+Lorsque, pour certains anneaux non nécessairement commutatifs $C_1$
+et $C_2$, les modules $M$ et $N$ ont des structures de $(A,C_1)$ et
+$(B,C_2)$-bimodules respectivement (on peut bien sûr prendre l'un ou
+l'autre égal à $\ZZ$ pour ne considérer que l'une de ces deux
+structures), alors $\Hom_A(M, {_{[A]}N})$ et $\Hom_B (B\otimes_A M,
+N)$ ont des structures de $(C_1,C_2)$-bimodules, et les bijections
+réciproques définies dans la proposition ci-dessus sont
+$(C_1,C_2)$-linéaires. Si de plus $C_1 = C_2 = C$, alors ces
+bijections envoient l'un sur l'autre le sous-groupe $\Hom_{A,C}(M,
+{_{[A]}N})$ de $\Hom_A(M, {_{[A]}N})$ (constitué des applications
+$(A,C)$-linéaires) et le sous-groupe $\Hom_{B,C} (B\otimes_A M, N)$ de
+$\Hom_B (B\otimes_A M, N)$ (constitué des applications
+$(B,C)$-linéaires), et définissent donc des bijections additives entre
+ces deux groupes abéliens.
+
+On a bien sûr les résultats analogues échangeant la gauche et la
+droite.
+
+Ces différents résultats se résument en affirmant que, dans les
+différentes situations considérées, l'extension des scalaires de $A$
+à $B$ est \emph{adjointe à gauche} à la restriction des scalaires
+de $B$ à $A$. (Le mot « gauche » n'a pas à voir avec la latéralité
+des modules considérés.)
+
+\begin{proposition2}
+Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, et
+$\varphi\colon A\to B$ et $\psi\colon B\to C$ des morphismes
+permettant de considérer $B$ comme un $A$-module à droite
+par $\varphi$ et $C$ comme un $B$-module à droite (resp. un $A$-module
+à droite) par $\psi$ (resp. par $\psi\varphi$). Si $M$ est un
+$A$-module à gauche, alors l'application $C$-linéaire $C \otimes_A M
+\to C\otimes_B (B\otimes_A M)$ donnée par $c \otimes x \mapsto c
+\otimes (1_B \otimes x)$ est une bijection.
+
+De plus, en identifiant $C \otimes_A M$ et $C\otimes_B (B\otimes_A M)$
+par cette bijection, et en identifiant, pour $N$ un $C$-module à
+gauche, les $A$-modules à gauche $_{[A]} N$ et $_{[A]} ({_{[B]} N})$, la
+composée des bijections
+\[
+\Hom_A(M, \, {_{[A]}({_{[B]} N})})
+\to \Hom_B (B\otimes_A M, \, {_{[B]}N})
+\to \Hom_C (C \otimes_B (B\otimes_A M), \, N)
+\]
+données par la
+proposition \ref{adjonction-extension-restriction-modules} pour les
+morphismes d'anneaux $\varphi$ et $\psi$ s'identifie à la bijection
+\[
+\Hom_A(M, \, {_{[A]} N})
+\to \Hom_C (C \otimes_A M, \, N)
+\]
+donnée par cette même proposition pour le morphisme $\psi\varphi$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Argh ! \XXX
+\end{proof}
+
+\subsection{Produit tensoriel d'algèbres}\label{Tens-produit tensoriel algèbres}
+
+Si $k$ est un anneau commutatif, par \emph{$k$-algèbre non
+ nécessairement commutative} nous entendons un $k$-module $A$ muni
+d'un élément $1_A \in A$ et d'une application $k$-bilinéaire $A×A \to
+A$ (de multiplication) telle que $A$ muni de ces opérations soit un
+anneau non nécessairement commutatif. Il revient au même de demander
+que $A$ soit un anneau non nécessairement commutatif, muni d'un
+morphisme $k \to A$ (correspondant à $c \mapsto c 1_A$) dont l'image
+soit contenue dans le \emph{centre} $Z_A = \{x \in A : (\forall y \in
+A) (xy=yx)\}$ de $A$. Lorsque $A$ est lui-même un anneau commutatif,
+se donner une structure de $k$-algèbre sur $A$ revient simplement à se
+donner un morphisme d'anneaux $k \to A$.
+
+Par ailleurs, si $A$ est un $k$-module, se donner une multiplication
+$k$-bilinéaire $\top\colon A×A \to A$ revient à se donner une
+application linéaire $A \otimes_k A \to A$ (soit $a\otimes a' \mapsto
+a \top a'$), qu'on peut également, par abus de langage, appeler la
+multiplication.
+
+
+\section{À faire}
+
+\begin{enumerate}
+\item Soient $A_i→B_i$ une famille (éventuellement infinie) de morphismes
+$k$-algèbres. Alors $(⊗_{i\,\bo k}\, B_i)⊗_{(⊗_{i,\,\bo k} \, A_i)}
+(⊗_{i,\,bo k}\, B'_i)≃⊗_{i,\,\bo k} \, (B_i⊗_{A_i} B'_i)$. (C'est un cas particulier de la formule catégorique
+$(∏_i Y_i)×_{∏_i X_i} ∏_i Y_i ≃ ∏_i (Y_i×_{X_i} Y_i)$, qui devrait du coup
+se trouver dans le chapitre 0. [Plus besoin pour « correspondance de Galois »
+mais c'est sans doute utile malgré tout.]
+
+\item $⨂_{i∈I}\,K_i→⨂_{i∈I,\,\bo A}\,(K_i⊗_{k_i} A)$ où $A=⨂_i k_i$ (sur une
+base non spécifiée ici).
+
+
+\item Soit $A_i→B_i$ une famille (filtrante si on veut) de morphismes
+d'anneaux. S'ils sont plats, $\colim A_i→\colim B_i$ aussi.
+\item Soit $A_i→B_i$ une famille finie de $k$-algèbres. S'ils sont plats,
+$⨂A_i→⨂B_i$ l'est aussi.
+
+\item une généralisation de : si $A$ intègre, et $B$ $A$-algèbre intègre, alors
+$B⊗_A \Frac(A)$ est intègre.
+\end{enumerate}
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi