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[Fin,Cons] gros copié-collé Cons ⤳ Fin (sommes de Gauß, hypersurfaces diagonales)
À faire :
— relire/réécrire cette partie du texte
— mieux faire le lien avec [ACF] (réciprocité quadratique) et [Cons] constructibilité ζ_p
— rédiger démo Hasse-Davenport, formule pour nombre de points hypersurface diagonale
La fonction ζ a proprement parlé sera introduite en [AC] seulement sans doute.
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Un morphisme $χ∈\Hom(G,\mathbf{U})$, -où $\mathbf{U}=\{z∈ℂ, |z|=1\}≅ℝ/ℤ$, est appelé un \emph{caractère} du groupe $G$ ; -on note $\chap{G}$ leur ensemble, qui est naturellement un groupe \emph{abélien} : $(χχ')(g)=χ(g)χ'(g)$. -C'est le \emph{dual} de $G$. - -\begin{remarque3} -Le lecteur trouvera dans la littérature des variantes : on -aurait pu considérer $\Hom(G,ℂ^×)$ (on parle alors parfois de -\emph{quasi-caractères} ou caractères généralisés), $\Hom(G,E^×)$ (où $E$ est un corps contenant -les racines $\# G$-ème de l'unité, ou bien encore l'ensemble $\Hom(G,ℚ/ℤ)$. -Enfin, si $G$ est un groupe -topologique localement compact, %donc séparé -on pourrait considérer plutôt l'ensemble des caractères \emph{continus}. Muni de la topologie dite \emph{compacte ouverte} -c'est à nouveau un groupe topologique localement compact (dualité -de Pontryagin). Dans le cas des groupes finis, ces notions sont toutes équivalentes. -Par commodité nous préférons voir nos caractères comme à valeurs dans le cercle -unité complexe. -\end{remarque3} - -Par composition des fonctions, tout morphisme $H→G$ de groupes -induit un morphisme de groupes abéliens $\chap{G}→\chap{H}$. - -\begin{lemme3}\label{lemme-Q-sur-Z-est-injectif} -Soit $K→G$ une \emph{injection} de groupes abéliens finis. -Le morphisme dual $\chap{G}→\chap{K}$ est une \emph{surjection}. -\end{lemme3} - -On note $K^{\perp}$ son noyau ; en symboles, $K^{\perp}=\{χ∈\chap{G}, χ(K)=\{1\}\}$. -Le morphisme $K^\perp→\chap{G/K}$ est une bijection : -tout caractère de $G$ trivial sur $K$ induit un caractère de $G/K$ et -réciproquement. - -\begin{démo}[Démonstration du lemme] -Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend -à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction -à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et -considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que -$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $ℂ$. On -a donc $χ(x^{rα})=z^{rα}$ pour tout $α∈ℕ$. -Il en résulte immédiatement que l'application $χ':⟨K,x⟩→\mathbf{U}$, $kx^i\mapsto χ(k)z^i$ -est bien définie ; c'est un caractère du groupe $⟨K,x⟩$. -De proche en proche, on peut donc étendre le caractère initial à $G$ tout entier. -(De façon précise : procéder par récurrence sur l'indice $(G:K)$.) -\end{démo} - -L'énoncé dual est trivial : si $G→H$ est une \emph{surjection}, -le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet -énoncé, de nature ensembliste, est vrai sans hypothèse sur $G$ ou $H$.) - -Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$, -la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet, -$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement -en bijection avec $\chap{G/K}$. - -\begin{lemme3} -Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation -$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme. -\end{lemme3} - -\begin{démo} -On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant -que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice). -Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme -de suites exactes : -$$ -\xymatrix{ -1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\ -1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1 -} -$$ -Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont -des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$ -(chasse au diagramme). -\end{démo} - -\begin{proposition3} -Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit -de groupes cycliques. -\end{proposition3} - -\begin{démo} -Soit $ω=∏ p_i^{r_i}$ le p.g.c.d des ordres d'éléments de $G$. -Pour tout $i$, il existe un élément $g_i$ d'ordre un multiple de $p_i^{r_i}$ ; -quitte à l'élever à une puissance convenable, on peut le supposer d'ordre -exactement $p_i^{r_i}$. Le produit $g=∏g_i$ est alors d'ordre exactement $ω$. -Soient $ζ_ω$ une racine primitive $ω$-ème de l'unité dans $ℂ$ et $χ:⟨g⟩→\mathbf{U}$ -le caractère défini par $χ(g)=ζ_ω$. Il s'étend en un caractère $χ'$ de $G$. -Son noyau $\Ker(χ')$ est d'indice $ω$ (le cardinal de son image) et $\Ker(χ')⋂⟨g⟩=\{e\}$ -de sorte que $G≅⟨g⟩×\Ker(χ')$. On peut donc démontrer la proposition par -récurrence sur l'ordre du groupe. -\end{démo} - -\begin{corollaire3} -Si $G$ un groupe abélien fini il existe un isomorphisme -entre $G$ et $\chap{G}$. -\end{corollaire3} - -\begin{démo} -Le résultat étant évident pour un groupe cyclique, il suffit de vérifier -que le dual d'un produit $K×K'$ est isomorphe au produit $\chap{K}×\chap{K'}$ -des duaux. C'est immédiat. (Pour les groupes abéliens, le produit cartésien est -la somme directe (comme $ℤ$-module).) -\end{démo} - -\begin{lemme3}\label{lemme-orthogonalite-caracteres} -Soient $G$ un groupe abélien fini et $g∈G$. -Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon. -\end{lemme3} - -\begin{démo} -Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons -$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un -isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$. -En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$ -tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$. -Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$. -\end{démo} - -\begin{corollaire3} -Soit $G$ un groupe abélien fini et $χ∈\chap{G}$. -Alors, $∑_{g∈G} χ(g)$ est égal à $0$ si $χ=1$ -et $|G|$ sinon. -\end{corollaire3} - -\begin{démo} -Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$, -du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est -de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$. -\end{démo} - -\subsubsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini} - -Pour tout groupe abélien $G$ (en notation multiplicative) et -tout entier $n$, notons $G[n]:=\{g∈G, g^n=1\}$ et $nG=\{g^n, g∈G\}$. -La surjection $G→G/nG$ induit une \emph{injection} -$\chap{G/nG}↪\chap{G}[n]$ : un caractère composé $G→G/nG→\mathbf{U}$ -est tué par $n$. Le premier groupe a pour cardinal $(G:nG)$ ; celui de droite -$(\chap{G}:n\chap{G})$. D'après la proposition ci-dessus, $G≅\chap{G}$, -de sorte que $(\chap{G}:n\chap{G})=(G:nG)$ et, finalement, -$$ -\chap{G/nG}\iso \chap{G}[n]. -$$ - -Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$. -Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$. -Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on -a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$. - -\begin{corollaire3} -Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. -Les conditions suivantes sont équivalentes. -\begin{enumerate} -\item $g∈nG$ ; -\item $\chap{G}[n](g)=\{1\}$. -\end{enumerate} -\end{corollaire3} - -\begin{corollaire3} -Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. Alors, -$$ -N(X^n=g)=∑_{χ∈\chap{G}[n]} χ(g), -$$ -où $N(X^n=g)$ désigne le nombre de solution de l'équation $X^n=g$ dans $G$. -\end{corollaire3} - -\begin{démo} -Le terme de gauche est égal à $0$ si $g∉nG$ ; -il est égal à $\#G[n]$ dans le cas contraire car deux solutions -diffèrent d'un élément de $G[n]$. -Notons $\sur{g}$ l'image de $g$ dans $G/nG$. -Le terme de droite se réécrit -$$ -∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}). -$$ -D'après \ref{lemme-orthogonalite-caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$ -(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$, -l'égalité avec le terme de gauche en résulte. -\end{démo} - -\subsubsection{Une expression du nombre de solutions d'une équation $∑_i a_i X_i^{n_i}=b$ -dans un corps fini} - -\paragraph{Notations}Dans tout ce paragraphe, $F$ désigne un corps \emph{fini}. -Rappelons que le groupe multiplicatif $F^×$ est \emph{cyclique} (\ref{}). -%Si $n$ est un entier, la condition $n|d$ -%du paragraphe précédent est équivalente à l'égalité $\#μ_n(F)=n$ ou encore à l'inclusion -%$μ_n(\sur{F})⊂F$. -Fixons un entier $d≥0$, des coefficients $c₀,\dots,c_d,b∈F^×$ et des exposants -$n=(n₀,\dots,n_d)$ tous nons nuls. On s'intéresse au nombre $N=N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_d X_d^{n_d}=b)$ -de solution de cette équation dans $F$. On note $A$ la $F$-algèbre $F^{d+1}$. -Soit $L$ la forme linéaire sur $A$ définie par $L(a)=∑_i c_i a_i$, où -$a=(a₀,\dots,a_d)∈F^{d+1}$. -\paragraph{}L'égalité suivante est tautologique : -$$N=∑_{a∈A\atop L(a)=b} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$ -D'après les résultats des paragraphes précédents, chaque -entier $N(X_i^{n_i}=a_i)$ est égal à la somme -$∑_{χ∈\chap{F^×}[n_i]} χ(a_i)$. - -\begin{quote} -\emph{A priori}, cette formule n'a -de sens que pour $a_i≠0$, elle reste pourtant vrai si l'on décrète que $χ(0)$ -est nul si $χ≠1$ et égal à un sinon. -\end{quote} - -Ainsi, en développant l'expression $\big(∑_{χ₀^{n₀}=1} χ(a₀)\big)\cdots -\big(∑_{χ_d^{n_d}=1} χ(a_d)\big)$ et en sommant sur les $a∈A$ tels que $L(a)=b$, -on trouve : -$$ -(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big), -$$ -où la première somme porte sur les caractères comme ci-dessus, supposés -non tous triviaux. En effet, la contribution de $χ₀=\cdots=χ_d=1$ -est égale au cardinal de l'hyperplan affine $L^{-1}(b)$. - -Par commodité, on notera par la suite $χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)=:χ(a)$. - -\begin{lemme3} -Si certains des $χ_i$ sont triviaux, mais pas tous, la somme -$$∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}. -\end{lemme3} - -\begin{démo} -Soit $χ=(χ₀,\dots,χ_d)$ comme dans l'énoncé et considérons -l'algèbre quotient $A↠A'$ de $A$ correspondant aux facteurs non triviaux. -Tautologiquement, $χ(a)=χ'(a')$ où $a'$ est l'image de $a$ dans $A'$ et $χ'$ -est la famille de caractères (tous) non triviaux correspondante. -La somme à évaluer est donc égale à $∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ'(a')$. -Elle est égale à $∑_{a'∈A'} \big(χ'(a')\cdot \#\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}\big)$. -Puisque pour tout $a'$, $\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}$ est un espace -affine non vide (car $A'≠A$) de dimension donc de cardinal indépendants de $a'$, -il suffit de montrer que $∑_{a'∈A'} χ'(a')=0$. -Puisque les constituants de $χ'$ sont tous non triviaux, elle -est égale à $∑_{a'∈{A'}^×} χ'(a')$. D'après le lemme \ref{}, -cette somme est nulle. -\end{démo} - -\paragraph{Nouveaux caractères}Soit $A↠A'$ comme dans la démonstration. En passant aux unités, -on obtient un morphisme induit $A^×↠{A'}^×$ d'où une injection -$\chap{{A'}^×}↪\chap{A^×}$. La proposition précédente affirme -que la contribution d'un caractère de l'image est nulle. -En d'autres termes, seuls contribuent les caractères qui ne sont pas induits -par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}. -(On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type -envisagé dans la démonstration.) - -On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions -aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre). -Généralisant quelque peu la notation habituelle, -on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$. -(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.) -Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp. -$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant -de $\chap{A^×}$. -Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non -trivial. - -\paragraph{Réécriture de l'égalité ($\star$)} -Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr -$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses, -mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$. - -Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc -écrire : - -$$ -N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} -χ(a)\big). -$$ - -Rappelons que le terme $(\# F)^d$ correspond au caractère $χ=1$. - -Notons $χ_{|F^×}$ la restriction d'un caractère $χ$ de $A^×$ au sous-groupe $F^×$ -plongé diagonalement, de sorte que $χ_{|F^×}(x)=∏_i χ_i(x)$. -En écrivant $a_i=a₀a'_i$ ($0<i≤d$), on trouve immédiatement, -pour tout caractère $χ$ de $A^×$ : -$$ -∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{a'∈{A'}^×\atop -\Tr(a')=\frac{b}{x}-1} χ'(a')\big)\Big), -$$ -où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$. - -Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et -$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$, -nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$ -aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, \cad -aux caractères de $A^×/F^×$. - -La condition $\Tr(a)=0$ ($a∈A^×$) étant invariante par multiplication -par un scalaire $λ∈F^×$, il est licite de considérer la condition -$\Tr(x)=0$ dans $A^×/F^×$. - -Nous avons établi la proposition suivante. - -\begin{proposition3} -Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F^×$, et $n₀,\dots,n_d≥1$. -Alors, -$$ -N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop -χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x). -$$ -\end{proposition3} - -Le facteur $(q-1)$ provient du fait que chaque $x∈A^×/F^×$, -a exactement $(q-1)$ antécédents dans $A^×$. - - -\subsubsection{Sommes de Jacobi, sommes de Gauß ; estimation du nombre de -solutions} - -Dans tout ce paragraphe, $F$ désigne un corps fini, de cardinal $q$. - -\begin{définition3}\label{definition-somme-Jacobi} -Soit $A$ une $F$-algèbre \emph{étale} de rang $d+1$. -Pour tout caractère non trivial $χ∈\chap{A^×/F^×}$, on pose -$$ -J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x). -$$ -\end{définition3} - -Une telle somme est appelée \emph{somme de Jacobi}. - -Le cas qui nous intéresse particulièrement ici est le cas où $A=F^{d+1}$. -À $χ$ correspondent $d+1$ caractères $(χ₀,\dots,χ_d)$ de $F^×$, non tous triviaux, -de produit trivial. Dans ce cas, -$$ -J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x₁,\dots,x_d∈F^×\atop ∑_i x_i=-1} χ₁^{-1}(x₁)\cdots -χ_d^{-1}(x_d). -$$ - -Dans ce language, la proposition précédente (où l'on suppose $b=0$) se -reformule : -$$ -N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ), -$$ -où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$. - -\paragraph{Le cas $b$ quelconque}\label{formule-b-quelconque} -Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient : -$$ -N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}-bX_{d+1}^{q-1}=0)= -(q-1)N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=b)+N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=0). -$$ - -D'où (pour $b$ non nul) -$$ -N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big), -$$ -où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$, -$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[(n,q-1)]$ -et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$. - -(Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.) - -\begin{lemme3} -Soit $ζ_p$ une racine primitive $p$-ème de l'unité. -Pour tout caractère \emph{additif} $ψ$ de $F$, il existe -un unique $a∈F$ tel que $ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(ax)}$. -\end{lemme3} - -\begin{démo} -On se ramène immédiatement à montrer que toute forme linéaire $f:F→\FF_p$ est -de la forme $x\mapsto \mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que -la trace est non-dégénérée (l'extension $F/\FF_p$ est étale ; cf. \ref{}). -% si $\mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$. -%Ce dernier point résulte à son tour du fait que la trace est surjective -%et, de façon équivalente, non nulle : le polynôme $X+X^p+\cdots+X^{p^{r-1}}$, -%qui a au plus $p^{r-1}$ racines dans $F$ (supposé de degré $r$ sur $\FF_p$), -%ne peut donc s'annuler identiquement sur $F$. (C'est vrai plus généralement pour -%toute extension finie séparable de corps.) -\end{démo} - - -\begin{définition3}\label{definition-somme-Gauss} -Soit $A$ une $F$-algèbre étale de rang $d$, $ψ$ un caractère -(\emph{additif}) non trivial de $F$ et $χ$ un caractère de $A^×$. -On pose -$$ -g(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a). -$$ -\end{définition3} - -Une telle somme est appelée \emph{somme de Gauß}. Elles semblent -avoir été introduites par Cauchy. -Par la suite, nous noterons $ψ_A$ le caractère (additif) $ψ\circ \Tr_{A/F}$. - -Remarquons que $g(χ,ψ)∈ℚ(ζ_p,ζ_{q-1})$. - -\paragraph{}\label{factorisation-somme-Gauss}Si $A$ est un produit de corps $K_i$, de degré $d_i$ sur $F$, on montre immédiatement l'égalité -$$ -g(χ,ψ)=ε(A)∏_i g(χ_i,ψ_{K_i}), -$$ -où $ε(A)=(-1)^{∑_i (d_i+1)}$. - -Le lien entre sommes de Jacobi et sommes de Gauß est donné par la formule -suivante, qui nous permettra bientôt de calculer le module -des sommes de Jacobi. Rappelons que si $A$ est une $F$-algèbre, tout caractère -de $A^×/F^×$ peut-être vu comme un caractère de $A^×$. - -\begin{proposition3}\label{proposition-Gauss-Jacobi} -Soient $A$ une $F$-algèbre étale -Pour tout un caractère non trivial $χ$ de $A^×/F^×$, -et tout caractère (additif) non trivial $ψ$ de $F$, -on a l'égalité suivante : -$$ -qJ(χ)=g(χ,ψ). -$$ -\end{proposition3} - -\begin{démo} -On a : -$$ -g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big), -$$ -où $a$ parcourt l'ensemble des relèvements de $x$ à $A^×$. -Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le -cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$). -Ainsi, -$$ -g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) - -\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big). -$$ -\end{démo} - -\begin{proposition3} -Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial -de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial. -Alors, -$$ -|g(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}. -$$ -\end{proposition3} - -\begin{démo} -En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la -formule -$$ -|g(χ,ψ)|²=g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big), -$$ -on trouve immédiatement -$$ -|g(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big). -$$ -Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$. -Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×} -ψ(y)=\big(∑_{y∈A'}ψ(y)\big)-1=-1$. Finalement, si $A'$ est un corps, -$$ -|g|²=\# {A'}^× - ∑_{z≠1\atop z∈{A'}^×} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'. -$$ -Le cas général se ramène à ce cas particulier grâce à la formule -\ref{factorisation-somme-Gauss}. -\end{démo} - -\begin{corollaire3} -$$ -|N(a₀X₀^{n₀}+\cdots+a_d X_d^{n_d}=0)-q^d|≤C_n q^{\frac{d+1}{2}}, -$$ -où $C_n$ est une constante explicite ne dépendant que de $n$. -De plus, $C_n≤∏_i n_i$. -\end{corollaire3} - -\begin{démo} -Les deux propositions précédentes montrent que pour $A$ de dimension $d+1$ sur $F$, -et tout nouveau caractère non trivial, $|qJ(χ)|=q^{\frac{d+1}{2}}$. -La constante $C_n$ n'est autre que le cardinal des nouveaux -caractères de ${F^{d+1}}^×/F^×$ tués par $n$ et non triviaux. -C'est aussi le nombre de $(d+1)$-uplets de rationnels $0<α_i<1$ -tels que $n_i α_i∈ℤ$ et $∑_i α_i∈ℤ$. -\end{démo} - -Le lecteur exhibera sans peine une majoration semblable dans -le cas $b≠0$. - -\subsubsection{Exercices} - -\begin{exercice3} -1) Lien Gauß ↔ transformée de Fourier discrète. Parseval. -2) Montrer que transformé de Gauß puissance $n$ = somme de Kloosterman -\end{exercice3} - -\begin{exercice3} -Hasse-Davenport [...] -\end{exercice3} - -\subsection{Applications : cardinal des sphères, polygones réguliers et -réciprocité quadratique} - -\subsubsection{Notations} - -Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique -sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathrm{quad}}$ le caractère -correspondant. On a donc $χ_{\mathrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon. - -C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble -des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul -élément, suivant la parité de $d$. - -Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème -de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé : -$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathrm{quad}}$ la -somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique. - -\begin{proposition3}[Cardinal des sphères sur les corps -finis]\label{proposition-cardinal-spheres} -Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation -$X₀²+\cdots+X_d²=1$. -\begin{enumerate} -\item $g_{\mathrm{quad}}²=qχ_{\mathrm{quad}}(-1)$ ; -\item $χ_{\mathrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ; -\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est -pair ; -\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est -impair. -\end{enumerate} -\end{proposition3} - -Rappelons que $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut -$1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon. - -\begin{démo} -(i) résulte de la formule générale : -$$g(χ,ψ)g(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$ -(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons -de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$, -égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme -de gauche) et $F^×$ (terme de droite). -(iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme -une somme, de l'égalité $qJ=g$. -Pour (iii), on utilise également l'égalité -$χ_{\mathrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$, -qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur. -\end{démo} - -\begin{remarque3} -Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules. -Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathrm{quad}}(a)$, en tire -$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathrm{quad}}(a_i)$. Le second -terme est, au signe près, une somme de Jacobi. -Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale -générale, dû à Weil. -\end{remarque3} - -\subsubsection{Constructiblités des polygones réguliers} - -Dans ce court paragraphe, on donne une démonstration élémentaire -de la constructiblité à la règle et au compas des polygones réguliers -à $p$ côtés si $p-1$ est une puissance de deux. - -Comme on l'a vu, cela revient à prouver l'existence d'une -suite d'extensions $ℚ=K₀⊂\cdots ⊂K_i ⊂ K_{i+1} ⊂\cdots ⊂K_n=ℚ(ζ_p)$, -avec $[K_{i+1}:K_i]=2$. - -Posons $S=∑_χ g(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$. -Par définition, $S=-∑_{x∈F^×} \big( ∑_χ χ(x)\big) ψ(x)$. -Puisque $∑_χ χ(x)=0$ pour $x≠1$, $p-1$ sinon, et $ψ(1)=ζ_p$, on a donc -l'égalité -$$ -S=(1-p)ζ_p, -$$ -de sorte que $ℚ(ζ_p)=ℚ(S)$. - -Une somme de nombres constructibles étant constructible, il suffit donc de démontrer -que chaque $g(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant. - -Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est. -Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$, -$m≥0$, si bien que l'égalité $g(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi}) -ramène le problème à la constructilibilité des sommes de Jacobi. -Ces dernières appartiennent à $ℚ(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles. -(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.) - -\begin{remarque3}[Remarque historique] -Selon la légende, c'est cette découverte --- sentationnelle à l'époque --- -qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste. -Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches -arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même -semble dater du 30 mars 1796. C'est la première entrée dans son -fameux \emph{tagebuch} : -\begin{quote} -Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem -geometrica in septemdecim partes etc. -\end{quote} -\end{remarque3} - -\paragraph{Calcul explicite} - -[$p=17$ ?] - -\subsubsection{Réciprocité quadratique} - -Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair. -Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$ -le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial -mais diagonalement trivial car $χ_{\mathrm{quad}}^{ℓ+1}=1$. - -Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition-Gauss-Jacobi}) et -du calcul de $g²$ (\ref{proposition-cardinal-spheres}, (i-ii)) que l'on a -l'égalité : - -$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots -χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ). -$$ - -L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition -des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que -$χ_{\mathrm{quad}}=χ_{\mathrm{quad}}^{-1}$.) -En faisant passer le terme $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve : -$$ -p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop x_i∈F^×}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots -χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ). -$$ - -La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$. - -\begin{lemme3} -$$∑_{∑x_i=1\atop x_i∈\FF_p}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots -χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ)\equiv χ_{\mathrm{quad}}(ℓ) \ \mod ℓ.$$ -\end{lemme3} - -\begin{démo} -L'ensemble de sommation est naturellement un $ℤ/ℓ$-ensemble (action -par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction -sommée est invariante par cette action. Il en résulte que, -modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point -fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa -contribution est $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$. -\end{démo} - -Puisque $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part, -modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire : - -$$ -(\frac{ℓ}{p})(\frac{p}{ℓ})=(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}. -$$ - -C'est la fameuse \emph{loi de réciprocité quadratique}. - -\section{(facultatif) fonction $ζ$ d'une hypersurface diagonale} - -[...] \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} |