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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-04-11 19:10:53 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-04-11 19:10:53 (GMT)
commit0a319720ca79cedea1668685da31837f33e1675b (patch)
tree8f81416476223294a745d2b5e06707aa74a37794 /chapitres/radicaux.tex
parent527f6bc3bb4e5a313fda476a7553b978d8df1e7e (diff)
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[radicaux] Kronecker-Weber du pauvre
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex29
1 files changed, 28 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 00e8ab0..acc33a1 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -986,7 +986,7 @@ $\QQ$-base de $E_2$ est donnée par $1, \sqrt{17}, \sqrt{\frac{17}{2} -
\sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \,
\sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} -
\sqrt{\frac{17}{2}+\frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}$. Comme par ailleurs
-le nombre $\gamma = \frac{1}{2} \omega - \frac{1}{2} \omega^{16}$ vaut
+le nombre $\gamma = \frac{1}{2} \omega + \frac{1}{2} \omega^{16}$ vaut
$-\frac{1}{16} + \frac{1}{16}\beta_1 + \frac{1}{8}\beta_2 +
\frac{1}{4}\beta_3$, on trouve :
\[
@@ -1054,6 +1054,33 @@ $
\end{tikzpicture}
\end{center}
+\subsubsection{}Nous avons vu que pour $n=5,7,11,13,17,19$,
+il existe un signe $±$ tel que $𝐐(\sqrt{±p})$ soit contenu
+dans $𝐐(e^{2 π i /p})$, dont c'est nécessairement l'unique
+sous-corps quadratique. Le calcul fait pour $p=17$ donne une
+démonstration de ce fait pour $p$ premier impair quelconque.
+Alternativement, on peut constater que le discriminant
+du polynôme $f=X^p-1$, qui est égal à
+$(-1)^{\frac{p(p-1)}{2}}∏_{ζ: f(ζ)=0} f′(ζ)$,
+vaut $(-1)^{(p-1)/2} p^p$. La conclusion résulte du fait que
+c'est un carré dans $𝐐(e^{2 π i /p})$. Résumons ceci sous
+forme d'un théorème \commentaire{à déplacer} :
+
+\begin{théorème2}
+Pour tout nombre premier impair $p$, l'unique sous-extension
+quadratique de $𝐐(e^{2 π i /p})$ est $𝐐(\sqrt{(-1)^{(p-1)/2} p})$.
+Réciproquement, toute extension quadratique de $𝐐$ se plonge
+dans une extension cyclotomique.
+\end{théorème2}
+
+\commentaire{Justifier la réciproque, qui est triviale ?}
+
+\begin{remarque2}C'est un cas très particulier du théorème de Kronecker-Weber
+d'après lequel toute extension abélienne de $𝐐$ se plonge
+dans une extension cyclotomique.
+\end{remarque2}
+
+
\section{Résolution par radicaux de certaines équations}
\subsection{Généralités}