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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-05-10 15:37:57 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-05-10 15:37:57 (GMT)
commit0a32f03982d107b828725e20908998465180713b (patch)
tree2d180df52f29767d44dc4885684ce2641902d80c /chapitres/radicaux.tex
parent6a8aae92dd9c400061a4b4ccc68bb42355384a2c (diff)
downloadgalois-0a32f03982d107b828725e20908998465180713b.zip
galois-0a32f03982d107b828725e20908998465180713b.tar.gz
galois-0a32f03982d107b828725e20908998465180713b.tar.bz2
[radicaux] Je m'embrouille et je m'embourbe...
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex21
1 files changed, 21 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 39ac310..1fced9a 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1096,6 +1096,27 @@ définitions données) ; cf. aussi
\refext{Calculs}{critere-polynomes-invariants-cas-separable} à ce
sujet.
+\subsubsection{Résolution des équations cycliques} Nous avons déjà vu
+en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux} comment on peut
+de façon générale exprimer par radicaux les éléments des extensions
+galoisiennes dont le groupe de Galois est cyclique ou même résoluble.
+Nous allons maintenant revisiter cette question dans l'optique de la
+résolution des équations. Le cas des équations cycliques est clair :
+
+\begin{prop}
+Soit $K$ un corps contenant une racine primitive $n$-ième de
+l'unité $\zeta$, où $n$ est un entier non multiple de la
+caractéristique de $K$. Soit $\sigma$ l'automorphisme de
+$K[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ qui laisse invariant les coefficients et
+permute cycliquement les variables ($\sigma(Z_i) = Z_{i+1\pmod{n}}$).
+Si pour $j$ entier (défini modulo $n$) on introduit la somme de
+Lagrange $L_j = \sum_{i=0}^{n-1} \zeta^{ij} Z_i$, alors $\sigma(L_j) =
+\zeta^{-j} L_j$, de sorte que $\sigma((L_j)^n) = (L_j)^n$.
+\end{prop}
+
+\XXX --- C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au
+juste ?
+
\subsection{Degré $2$}
\subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $f