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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 12:56:20 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 12:56:20 (GMT)
commit114ac0696e2501319936c943be81de0b1cb10281 (patch)
tree6320da2391177a7a364db9ce103ea9ec89b0795b /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Résolution des équations cycliques : correction énoncé + démonstration.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex57
1 files changed, 44 insertions, 13 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 9a3cb2c..1dcbe53 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1103,7 +1103,7 @@ galoisiennes dont le groupe de Galois est cyclique ou même résoluble.
Nous allons maintenant revisiter cette question dans l'optique de la
résolution des équations. Le cas des équations cycliques est clair :
-\begin{prop}
+\begin{proposition2}
Soit $K$ un corps contenant une racine primitive $n$-ième de
l'unité $\zeta$, où $n$ est un entier non multiple de la
caractéristique de $K$. Soit $\sigma$ l'automorphisme de
@@ -1115,26 +1115,57 @@ Lagrange $L_j = \sum_{i=0}^{n-1} \zeta^{ij} Z_i$, alors $\sigma(L_j) =
c'est-à-dire que le polynôme $(L_j)^n$ est invariant par permutation
cyclique de ses variables. On a de plus $Z_i = \frac{1}{n}
\sum_{j=0}^{n-1} \zeta^{-ij} L_j$.
-\end{prop}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+C'est évident.
+\end{proof}
\XXX --- C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au
juste ?
-\begin{prop}
+\begin{proposition2}
Soit $K$ un corps de caractéristique $p > 0$. Soit $\sigma$
l'automorphisme de $K[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ qui laisse invariant les
coefficients et permute cycliquement les variables ($\sigma(Z_i) =
Z_{i+1\pmod{n}}$). Si on introduit l'expression $A = \sum_{i=0}^{n-1}
-i Z_i$, alors $\sigma(A) = A-1$, de sorte que $\sigma(A^p-A) = A^p-A$,
-c'est-à-dire que le polynôme $A^p-A$ est invariant par permutation
-cyclique de ses variables.
-
-En notant $\Tr(x) = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i(x)$, on a $\Tr(A^i) = 0$
-pour $0 \leq i \leq p-2$ et $\Tr(A^{p-1}) = -{e_1}^{p-1}$ où $e_1 =
-Z_0 + \cdots + Z_{p-1}$. Si $x = \sum_{i=0}^{p-1} c_i A^i$ alors $c_i
-= -\Tr(x A^{p-1-i})/{e_1}^{p-1}$ sauf $c_0 = -\Tr(x
-A^{p-1})/{e_1}^{p-1} - c_{p-1} {e_1}^{p-1}$.
-\end{prop}
+i Z_i$, alors $\sigma(A) = A-e_1$ où $e_1 = Z_0 + \cdots + Z_{p-1}$,
+de sorte que $\sigma(A^p-A {e_1}^{p-1}) = A^p-A {e_1}^{p-1}$,
+c'est-à-dire que le polynôme $A^p-A {e_1}^{p-1}$ est invariant par
+permutation cyclique des variables $Z_0,\ldots,Z_{n-1}$.
+
+En notant $\Tr(x) = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i(x)$, on a $\Tr(A^\ell) = 0$
+pour $0 \leq \ell \leq p-2$ ou $p \leq \ell \leq 2p-3$, et $\Tr(A^{p-1}) =
+-{e_1}^{p-1}$ et $\Tr(A^{2p-2}) = -{e_1}^{2p-2)}$. Si $x =
+\sum_{i=0}^{p-1} c_i A^i$ alors $c_i = -\Tr(x A^{p-1-i})/{e_1}^{p-1}$
+sauf $c_0 = -\Tr(x A^{p-1})/{e_1}^{p-1} - c_{p-1} {e_1}^{p-1}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le premier paragraphe est évident.
+
+Pour l'affirmation concernant $\Tr(A^\ell)$, on a besoin d'un peu plus
+que ce qui était dans \refext{KASW}{trace dans AS} : on développe
+$\Tr(A^\ell) = \sum_{t=0}^{p-1} (A+te_1)^\ell = \sum_{i=0}^{\ell}
+\sum_{t=0}^{p-1} C_\ell^i A^{\ell-i} t^\ell {e_1}^\ell$ (en notant
+$C_\ell^i = \frac{\ell!}{i!(\ell-i)!}$). Or modulo $p$, la somme
+$\sum_{t=0}^{p-1} t^i$ vaut $0$ si $i=0$ et, si $i>0$, elle vaut
+$\sum_{j=0}^{p-2} g^{ij}$ avec $g$ générateur de $\FF_p^\times$, de
+sorte que cette somme vaut $0$ si $i$ n'est pas multiple de $p-1$ et
+$-1$ s'il l'est. On obtient donc $\Tr(A^\ell) = - \sum C_\ell^i
+A^{\ell-i} {e_1}^\ell$ où la somme est prise sur les $i$ multiples de
+$p-1$ entre $1$ et $\ell$ inclus. Si $0\leq \ell \leq p-2$, on
+obtient déjà $\Tr(A^\ell) = 0$. Pour aller plus loin, remarquons que
+$C_\ell^{p-1} = \frac{\ell(\ell-1)\cdots(\ell-p+2)}{(p-1)\cdots 1}$
+vaut, modulo $p$, soit $1$ soit $0$ selon que $\ell \equiv p-1
+\pmod{p}$ ou non (car le dénominateur est toujours le produit de tous
+les éléments non nuls de $\FF_p$, et le numérateur l'est si $\ell
+\equiv p-1$ tandis que sinon il contient un facteur nul modulo $p$).
+Ceci prouve bien que $\Tr(A^\ell) = 0$ si $p \leq \ell \leq 2p-3$ et
+$\Tr(A^{p-1}) = -{e_1}^{p-1}$, et $\Tr(A^{2p-2}) = -{e_1}^{2p-2}$.
+
+Si $x = \sum_{i=0}^{p-1} c_i A^i$, on en déduit que $\Tr(x A^{p-1-i})$
+(pour $0 \leq i \leq p-1$) vaut $-c_i {e_1}^{p-1}$ sauf pour $i=0$
+auquel cas $\Tr(x A^{p-1}) = -c_0 {e_1}^{p-1} - c_{p-1} {e_1}^{2p-2}$.
+\end{proof}
\subsection{Degré $2$}