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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 16:39:42 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 16:39:42 +0200
commit1472dbff4df592e356aaece1f3431eaa2c746cc3 (patch)
tree3e8dbc9b80c2e8cfc6f34bc9f6341000ada17f84 /chapitres/radicaux.tex
parentc343e1463c8702bf7e5aaaf482cf58cf0e90c42d (diff)
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[radicaux] Encore des généralités.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex49
1 files changed, 31 insertions, 18 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index a3243f8..0c71a4c 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -443,7 +443,7 @@ sur ce problème.
\section{Expression explicite des racines de l'unité}
-\subsection{Généralités}
+\subsection{Généralités}\label{generalites-calcul-expressions-racines-de-1}
\subsubsection{} On se propose dans cette section d'expliquer comment
calculer explicitement des expressions en radicaux des racines
@@ -585,25 +585,38 @@ le bon choix de $\omega$, alors on vérifie facilement que $\gamma^2 +
comme élément de degré $2$ au-dessus de l'extension engendrée
par $\gamma$ et appliquer la technique générale.
+\subsubsection{} Il faut encore dire quelques mots au sujet du choix
+des déterminations. Lorsqu'on a calculé $a := \alpha^m \in
+\QQ(\zeta)$ pour une certaine quantité $\alpha$ et pour un $m$
+divisant $n-1$ (ici, $\zeta$ est une racine $(n-1)$-ième de l'unité),
+on peut affirmer que $\alpha = \zeta^t\,\root m\of{a}$ en notant
+$\root m\of{a}$ la détermination principale complexe de la racine
+$m$-ième de $a$ : il reste alors à savoir ce que vaut $t$
+(modulo $m$). Exception faite de cas très particulier (pour
+$\alpha_{(n-1)/2}$ on a signalé que c'est toujours $\sqrt{n}$ ou
+$\sqrt{-n}$, i.e., $t=0$), il n'y a pas de technique plus intelligente
+que simplement calculer numériquement $\alpha$ et $\root m\of{a}$ avec
+une précision garantie suffisante pour obtenir l'argument du quotient
+à $2\pi/m$ près.
+
\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$ et $\sin\frac{2\pi}{n}$}
-\subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
-les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
-$\cos\frac{2\pi}{n}$ pour quelques valeurs de $n$. Pour rendre cette
-idée plus précise, on considère la clôture par radicaux $\QQ\resol$ de
-$\QQ$ dans $\CC$, en utilisant la notation $\root n \of x$ pour la
-« détermination principale » de la racine $n$-ième de $x$,
-c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus grande et, en cas
-d'égalité (qui se produit uniquement si $n$ est pair et $x$ réel
-négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à
-exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est
-défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n + \omega_n^{-1})$, voire le nombre
-$e^{2 i \pi/n} = \omega_n = \cos\frac{2\pi}{n} +
-\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$, où $\omega_n$ est la racine primitive
-$n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie
-imaginaire positive.
-
-\XXX --- Ce texte est tout pourri. Le réécrire.
+Nous nous proposons maintenant de calculer explicitement les
+expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
+$\cos\frac{2\pi}{n}$ pour les petites valeurs de $n$, en utilisant la
+stratégie exposée
+en \ref{generalites-calcul-expressions-racines-de-1}, dont nous
+reprenons les notations. En particulier, la notation $\root n \of x$
+désigne la « détermination principale » de la racine $n$-ième de $x$
+dans lex complexes, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la
+plus grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $x$ est
+réel négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on
+cherche à exprimer, avec cette notation, le nombre
+$\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n +
+\omega_n^{-1})$, voire le nombre $e^{2 i \pi/n} = \omega_n =
+\cos\frac{2\pi}{n} + \sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$, où $\omega_n$ est
+la racine primitive $n$-ième de l'unité de partie réelle la plus
+grande et de partie imaginaire positive.
\subsubsection{$n=3$}\label{racine-3e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine cubique
primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X +