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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 16:06:24 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 16:06:24 (GMT)
commit1d7dd69385b59fe7856913ba40c8154477abdfac (patch)
tree28d2a5cc18c4aa881b873ccc40c484ebfb1a46e7 /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Suite résolution équations de degré 4 (en caractéristique ≠2).
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex52
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index fd41846..01ac422 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1112,10 +1112,11 @@ $K[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ qui laisse invariant les coefficients et
permute cycliquement les variables ($\sigma(Z_i) = Z_{i+1\pmod{n}}$).
Si pour $j$ entier (défini modulo $n$) on introduit la somme de
Lagrange $L_j = \sum_{i=0}^{n-1} \zeta^{ij} Z_i$, alors $\sigma(L_j) =
-\zeta^{-j} L_j$, de sorte que $\sigma((L_j)^n) = (L_j)^n$,
-c'est-à-dire que le polynôme $(L_j)^n$ est invariant par permutation
-cyclique de ses variables. On a de plus $Z_i = \frac{1}{n}
-\sum_{j=0}^{n-1} \zeta^{-ij} L_j$.
+\zeta^{-j} L_j$, de sorte que $\sigma((L_j)^{n/\delta}) =
+(L_j)^{n/\delta}$ où $\delta = \pgcd(j,n)$, c'est-à-dire que le
+polynôme $(L_j)^{n/\delta}$ est invariant par permutation cyclique de
+ses variables. On a de plus $Z_i = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}
+\zeta^{-ij} L_j$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
C'est évident.
@@ -1321,13 +1322,42 @@ d'après les résultats précédents, qu'on dispose d'une expression
de $\pi$ (les différentes solutions de l'équation cubique
correspondent aux différentes classes de conjugaison de $D_4$
dans $\mathfrak{S}_4$, choix qui ne nous importe pas puisque la
-numérotation des racines était arbitraire). On a également vu que la
-quantité $\varsigma = \xi_1^2 \xi_2 + \xi_2^2 \xi_3 + \xi_3^2 \xi_4 +
-\xi_4^2 \xi_1$, choisie pour stabiliser le sous-groupe $C_4 \leq D_4$,
-est alors racine du polynôme $X^2 + (a_1 a_2 - 2 a_3 - a_1 \pi) X +
-(a_1^3 a_3 - a_1^2 a_4 - 5 a_1 a_2 a_3 + a_2^3 + 4 a_2 a_4 + 4 a_3^2 +
-(- a_1^2 a_2 + 2 a_1 a_3 + a_2^2 - 4 a_4) \pi + (a_1^2 - 2 a_2)
-\pi^2)$ : on peut donc également supposer connue cette quantité.
+numérotation des racines était arbitraire).
+
+En caractéristique $\neq 2$ et quitte à adjoindre éventuellement au
+corps $k$ une racine $4$-ième de l'unité $i$, on va introduire les
+quatre sommes de Lagrange : $L_0 = \xi_1 + \xi_2 + \xi_3 + \xi_4$,
+$L_1 = \xi_1 + i \xi_2 - \xi_3 - i \xi_4$, $L_2 = \xi_1 - \xi_2 +
+\xi_3 - \xi_4$ et $L_1 = \xi_1 - i \xi_2 + \xi_3 + i \xi_4$. La somme
+$L_0$ vaut évidemment $-a_1$ et ne pose pas de problème. Les
+quantités $L_1^4$, $L_3^4$ et $L_2^2$,
+d'après \ref{resolution-equations-cycliques-cas-kummer}, sont
+invariantes par le groupe $C_4$ des permutations cycliques des
+variables, donc vérifient des équations de degré au plus $2$ sur
+$k(\pi)$, et, s'agissant de $L_2^2$, en fait $1$ puisqu'il est même
+invariant par $D_4$. Effectivement, il est facile de vérifier que
+$L_2^2 = 4\pi + a_1^2 - 4a_2$ : ceci fournit déjà une manière de
+résoudre l'équation, consistant à calculer tous les conjugués de
+$L_2$, à savoir les $\pm\sqrt{4\pi + a_1^2 - 4a_2}$ où $\pi$ parcourt
+les trois solutions de la résolvante cubique, et les différentes
+sommes $\frac{1}{4}(L_0 \pm L_2 \pm L_2' \pm L_2'')$ où $L_2, L_2',
+L_2''$ sont obtenues de cette manière, parcourent les racines $\xi_i$
+ainsi que les $-\frac{1}{2} a_1 - \xi_i$ qu'il est facile de
+reconnaître. Une autre approche consiste à utiliser une équation
+vérifiée par $L_1$, à savoir : $X^8 + (- 2 a_1^4 + 8 a_1^2 a_2 - 64
+a_1 a_3 + 8 a_2^2 + 256 a_4 + ( 8 a_1^2 + 16 a_2 ) \pi - 56 \pi^2) X^4
++ ( a_1^8 - 8 a_1^6 a_2 + 24 a_1^4 a_2^2 - 32 a_1^4 a_4 - 32 a_1^2
+a_2^3 + 208 a_1^2 a_2 a_4 - 32 a_1^2 a_3^2 + 16 a_2^4 - 320 a_2^2 a_4
++ 80 a_2 a_3^2 + (- 8 a_1^6 + 48 a_1^4 a_2 + 32 a_1^3 a_3 - 96 a_1^2
+a_2^2 - 112 a_1^2 a_4 - 80 a_1 a_2 a_3 + 64 a_2^3 + 256 a_2 a_4 + 16
+a_3^2 ) \pi + ( 24 a_1^4 - 128 a_1^2 a_2 - 16 a_1 a_3 + 176 a_2^2 + 64
+a_4 ) \pi^2 )$ (on renvoie à \refext{Calculs}{calcul-galois-degre-4},
+et spécifiquement à la discussion sur ce qui y est noté $R_{D_4,F}$
+pour une explication de comment on peut calculer une telle expression,
+mais sa vérification est une simple et fastidieuse question de
+développer ce polynôme) ; comme prévu, le polynôme en question fournit
+une équation quadratique en $L_1^4$, dont les deux racines sont
+$L_1^4$ et $L_3^4$.
\ifx\danslelivre\undefined