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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 14:35:58 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 14:35:58 +0200
commit25c1708034c86a19076ad8e563550d2cf9211fb8 (patch)
tree335b7537cbfbd70ba9c3bb746ceadafdda88a1d5 /chapitres/radicaux.tex
parent534494679cf3c77b5da883e113bc3324b9767248 (diff)
downloadgalois-25c1708034c86a19076ad8e563550d2cf9211fb8.tar.gz
galois-25c1708034c86a19076ad8e563550d2cf9211fb8.tar.bz2
galois-25c1708034c86a19076ad8e563550d2cf9211fb8.zip
[radicaux] Tentative pour rendre encore plus claire la problématique de la détermination.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex30
1 files changed, 17 insertions, 13 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 8cf8396..d136931 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -387,12 +387,15 @@ en \ref{definition-corps-clos-par-radicaux} fait que cet énoncé
n'était pas trivial : on n'autorise pas une « expression par
radicaux » telle que $\root m\of 1$ puisqu'on ne peut, avec nos
règles, prendre les racines $n$-ièmes qu'à condition d'avoir déjà les
-racines $n$-ièmes de l'unité. Mais une fois cette observation faite,
-la définition d'expression par radicaux que nous avons donnée est
-heureusement la même que toutes les autres trouvées dans la
-littérature (au moins en caractéristique $0$, des petites variantes
-pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes,
-ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
+racines $n$-ièmes de l'unité (de sorte qu'un élément de $k\resol$ peut
+être écrit comme une expression en radicaux quelle que soit la
+détermination choisie pour les racines $n$-ièmes). Mais une fois
+cette observation faite, la définition d'expression par radicaux que
+nous avons donnée est heureusement la même que toutes les autres
+trouvées dans la littérature (au moins en caractéristique $0$, des
+petites variantes pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les
+racines $\wp$-ièmes, ou parfois chez certains auteurs des racines
+$p$-ièmes inséparables).
\end{remarque2}
\subsubsection{Remarque algorithmique}\label{remarque-algorithmique-expressions-radicaux} Même si ce n'est pas
@@ -444,13 +447,14 @@ sur ce problème.
\subsubsection{} On se propose dans cette section d'expliquer comment
calculer explicitement des expressions en radicaux des racines
-$n$-ièmes de l'unité.\commentaire{Expliquer pourquoi
-$ω=\sqrt[n]{1}$ n'est pas recevable !} Afin d'uniformiser les notations, on appellera
-toujours $\omega$ une racine primitive $n$-ième de l'unité (qu'on
-cherche à exprimer en radicaux), tandis que $\zeta$ désignera une
-racine $m$-ième de l'unité pour un autre $m$ (divisant $\varphi(n)$)
-qui sera utilisée dans le calcul. On introduira aussi fréquemment
-$\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$.
+$n$-ièmes de l'unité (en utilisant la détermination standard, dite
+« principale » des racines $m$-ièmes, cf. ci-dessous). Afin
+d'uniformiser les notations, on appellera toujours $\omega$ une racine
+primitive $n$-ième de l'unité (qu'on cherche à exprimer en radicaux),
+tandis que $\zeta$ désignera une racine $m$-ième de l'unité pour un
+autre $m$ (divisant $\varphi(n)$) qui sera utilisée dans le calcul.
+On introduira aussi fréquemment $\gamma = \frac{1}{2}(\omega +
+\omega^{-1})$.
Afin de fixer le choix des racines $m$-ièmes, on plongera $\QQ\resol$
dans le corps $\CC$ des complexes. On utilise alors la notation