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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-22 17:16:50 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-22 17:16:50 +0100
commit267ac7f1af94a37df3f61dd5333b0b779de3fd9c (patch)
tree64c5c982242865db04a63975be65f619ed62ff76 /chapitres/radicaux.tex
parentbacfb698a1516126d0c72d7520c61cab64146298 (diff)
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[radicaux] Début de réécriture de la stratégie générale de calcul.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex105
1 files changed, 73 insertions, 32 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index dc76672..16e21f0 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -395,11 +395,8 @@ pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes,
ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
\end{remarque2}
-\section{Expression explicite des racines de l'unité}
-
-\subsection{Généralités}
-
-\subsubsection{} Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
+\subsubsection{Remarque algorithmique}\label{remarque-algorithmique-expressions-radicaux} Même si ce n'est pas
+immédiatement apparement, la
proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est
constructive, au sens où elle permet (en principe) de calculer une
expression par radicaux explicite pour un élément d'une extension de
@@ -438,39 +435,83 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
Comme on le voit, l'expression des racines de l'unité en radicaux est
un point crucial pour l'écriture par radicaux de n'importe quelle
-autre quantité.
+autre quantité. Nous allons maintenant nous pencher plus précisément
+sur ce problème.
+
+\section{Expression explicite des racines de l'unité}
+
+\subsection{Généralités}
-\subsubsection{} En réalité, le problème de l'écriture en radicaux des racines
+\subsubsection{} On se propose dans cette section d'expliquer comment
+calculer explicitement des expressions en radicaux des racines
+$n$-ièmes de l'unité. Afin d'uniformiser les notations, on appellera
+toujours $\omega$ une racine primitive $n$-ième de l'unité (qu'on
+cherche à exprimer en radicaux), tandis que $\zeta$ désignera une
+racine $m$-ième de l'unité pour un autre $m$ (divisant $\varphi(n)$)
+qui sera utilisée dans le calcul. On introduira aussi fréquemment
+$\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$.
+
+Afin de fixer le choix des racines $m$-ièmes, on plongera $\QQ\resol$
+dans le corps $\CC$ des complexes. On utilise alors la notation
+$\root m \of x$ pour la « détermination principale » de la racine
+$m$-ième de $x$, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus
+grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $x$ est réel
+négatif), celle qui a la partie imaginaire positive. De même, la
+racine $n$-ième de l'unité $\omega$ qu'on cherche à exprimer sera
+$e^{2i\pi/n}$, c'est-à-dire la racine primitive $n$-ième de l'unité de
+partie réelle la plus grande et de partie imaginaire positive (et une
+racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ qui interviendrait dans
+les calculs intermédiaires sera de même $e^{2i\pi/m}$) ; le nombre
+$\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ s'écrit
+$\cos\frac{2\pi}{n}$, et on introduit parfois aussi
+$\sin\frac{2\pi}{n}$ avec $e^{2i\pi/n} = \cos\frac{2\pi}{n} +
+\sqrt{-1}\, \sin\frac{2\pi}{n}$.
+
+Nous n'aborderons pas les questions éventuellement subtiles de trouver
+une expression plus ou moins canonique ou plus agréable qu'une autre.
+
+\subsubsection{} Le problème de l'écriture en radicaux des racines
$n$-ièmes de l'unité ne se pose réellement que pour $n$ premier
impair. En effet, si $n = n_1 n_2$, et si on sait déjà exprimer les
racines $n_1$-ièmes et $n_2$-ièmes de l'unité par radicaux, alors les
racines $n$-ièmes de l'unité s'écrivent comme racines $n_1$-ièmes des
racines $n_2$-ièmes de l'unité (fois une éventuelle racine $n_1$-ième
-de l'unité) ; en fait, si $n_1$ et $n_2$ sont premiers entre eux, le
-théorème chinois permet d'obtenir quelque chose de plus agréable
-puisqu'il garantit que toute racine primitive $n$-ième de l'unité est
-produit d'une racine primitive $n_1$-ième et d'une racine primitive
-$n_2$-ième.
-
-Supposons maintenant $n$ premier impair. On a alors $\varphi(n) =
-n-1$ ; soit $g$ un élément primitif modulo $n$, c'est-à-dire un
-générateur du groupe cyclique $(\ZZ/n\ZZ)^\times$. Pour calculer
-l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de l'unité $\omega$, on
-peut décrire l'algorithme précédent de la manière suivante, en
-supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de l'unité $\zeta$ :
-poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ (on a
-alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer
-$a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$
-uniquement. Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
-$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
-Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), mais
-en fait on peut aussi simplement affirmer qu'on fait les calculs dans
-$\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il est évident que $\omega
-\mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme en notant $\omega$ la
-classe de $X$), ce qui est le cas en pratique. En fait, on n'est pas
-obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour chaque $j$ : si $d$
-désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$
-s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de $\zeta^d$, uniquement.
+de l'unité pour fixer la détermination). En fait, si $n_1$ et $n_2$
+sont premiers entre eux, le théorème chinois permet d'obtenir une
+expression plus agréable, puisqu'il garantit que toute racine
+primitive $n$-ième de l'unité est produit d'une racine primitive
+$n_1$-ième et d'une racine primitive $n_2$-ième.
+
+\subsubsection{} Supposons donc $n$ premier impair. On a alors
+$\varphi(n) = n-1$, et le groupe $(\ZZ/n\ZZ)^\times$ est cyclique : on
+en notera $g$ un générateur, c'est-à-dire un élément primitif
+modulo $n$.
+
+On note $\omega$ la racine $n$-ième de l'unité qu'on cherche à
+exprimer, et $\zeta$ une racine primitive $(n-1)$-ième de l'unité,
+dont on suppose déjà connue une expression en radicaux.
+
+Selon la stratégie générale exposée
+en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux}, on va définir
+$\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$.
+
+Pour calculer l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de
+l'unité $\omega$, on peut décrire l'algorithme précédent de la manière
+suivante, en supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de
+l'unité $\zeta$ : poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij}
+\omega^{g^i}$ (on a alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2}
+\alpha_j$) et calculer $a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en
+fonction de $\zeta$ uniquement. Pour justifier ce fait, on peut
+invoquer le fait que $\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur
+$\QQ(\zeta)$ de groupe de Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$
+(\XXX --- référence ?), mais en fait on peut aussi simplement affirmer
+qu'on fait les calculs dans $\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il
+est évident que $\omega \mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme
+en notant $\omega$ la classe de $X$), ce qui est le cas en pratique.
+En fait, on n'est pas obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour
+chaque $j$ : si $d$ désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà
+$(\alpha_j)^{(n-1)/d}$ s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de
+$\zeta^d$, uniquement.
Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à
l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$