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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-03-22 17:16:50 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-03-22 17:16:50 +0100 |
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[radicaux] Début de réécriture de la stratégie générale de calcul.
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 105 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index dc76672..16e21f0 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -395,11 +395,8 @@ pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes, ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables). \end{remarque2} -\section{Expression explicite des racines de l'unité} - -\subsection{Généralités} - -\subsubsection{} Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la +\subsubsection{Remarque algorithmique}\label{remarque-algorithmique-expressions-radicaux} Même si ce n'est pas +immédiatement apparement, la proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est constructive, au sens où elle permet (en principe) de calculer une expression par radicaux explicite pour un élément d'une extension de @@ -438,39 +435,83 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) : Comme on le voit, l'expression des racines de l'unité en radicaux est un point crucial pour l'écriture par radicaux de n'importe quelle -autre quantité. +autre quantité. Nous allons maintenant nous pencher plus précisément +sur ce problème. + +\section{Expression explicite des racines de l'unité} + +\subsection{Généralités} -\subsubsection{} En réalité, le problème de l'écriture en radicaux des racines +\subsubsection{} On se propose dans cette section d'expliquer comment +calculer explicitement des expressions en radicaux des racines +$n$-ièmes de l'unité. Afin d'uniformiser les notations, on appellera +toujours $\omega$ une racine primitive $n$-ième de l'unité (qu'on +cherche à exprimer en radicaux), tandis que $\zeta$ désignera une +racine $m$-ième de l'unité pour un autre $m$ (divisant $\varphi(n)$) +qui sera utilisée dans le calcul. On introduira aussi fréquemment +$\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$. + +Afin de fixer le choix des racines $m$-ièmes, on plongera $\QQ\resol$ +dans le corps $\CC$ des complexes. On utilise alors la notation +$\root m \of x$ pour la « détermination principale » de la racine +$m$-ième de $x$, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus +grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $x$ est réel +négatif), celle qui a la partie imaginaire positive. De même, la +racine $n$-ième de l'unité $\omega$ qu'on cherche à exprimer sera +$e^{2i\pi/n}$, c'est-à-dire la racine primitive $n$-ième de l'unité de +partie réelle la plus grande et de partie imaginaire positive (et une +racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ qui interviendrait dans +les calculs intermédiaires sera de même $e^{2i\pi/m}$) ; le nombre +$\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ s'écrit +$\cos\frac{2\pi}{n}$, et on introduit parfois aussi +$\sin\frac{2\pi}{n}$ avec $e^{2i\pi/n} = \cos\frac{2\pi}{n} + +\sqrt{-1}\, \sin\frac{2\pi}{n}$. + +Nous n'aborderons pas les questions éventuellement subtiles de trouver +une expression plus ou moins canonique ou plus agréable qu'une autre. + +\subsubsection{} Le problème de l'écriture en radicaux des racines $n$-ièmes de l'unité ne se pose réellement que pour $n$ premier impair. En effet, si $n = n_1 n_2$, et si on sait déjà exprimer les racines $n_1$-ièmes et $n_2$-ièmes de l'unité par radicaux, alors les racines $n$-ièmes de l'unité s'écrivent comme racines $n_1$-ièmes des racines $n_2$-ièmes de l'unité (fois une éventuelle racine $n_1$-ième -de l'unité) ; en fait, si $n_1$ et $n_2$ sont premiers entre eux, le -théorème chinois permet d'obtenir quelque chose de plus agréable -puisqu'il garantit que toute racine primitive $n$-ième de l'unité est -produit d'une racine primitive $n_1$-ième et d'une racine primitive -$n_2$-ième. - -Supposons maintenant $n$ premier impair. On a alors $\varphi(n) = -n-1$ ; soit $g$ un élément primitif modulo $n$, c'est-à-dire un -générateur du groupe cyclique $(\ZZ/n\ZZ)^\times$. Pour calculer -l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de l'unité $\omega$, on -peut décrire l'algorithme précédent de la manière suivante, en -supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de l'unité $\zeta$ : -poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ (on a -alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer -$a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$ -uniquement. Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que -$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de -Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), mais -en fait on peut aussi simplement affirmer qu'on fait les calculs dans -$\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il est évident que $\omega -\mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme en notant $\omega$ la -classe de $X$), ce qui est le cas en pratique. En fait, on n'est pas -obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour chaque $j$ : si $d$ -désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$ -s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de $\zeta^d$, uniquement. +de l'unité pour fixer la détermination). En fait, si $n_1$ et $n_2$ +sont premiers entre eux, le théorème chinois permet d'obtenir une +expression plus agréable, puisqu'il garantit que toute racine +primitive $n$-ième de l'unité est produit d'une racine primitive +$n_1$-ième et d'une racine primitive $n_2$-ième. + +\subsubsection{} Supposons donc $n$ premier impair. On a alors +$\varphi(n) = n-1$, et le groupe $(\ZZ/n\ZZ)^\times$ est cyclique : on +en notera $g$ un générateur, c'est-à-dire un élément primitif +modulo $n$. + +On note $\omega$ la racine $n$-ième de l'unité qu'on cherche à +exprimer, et $\zeta$ une racine primitive $(n-1)$-ième de l'unité, +dont on suppose déjà connue une expression en radicaux. + +Selon la stratégie générale exposée +en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux}, on va définir +$\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$. + +Pour calculer l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de +l'unité $\omega$, on peut décrire l'algorithme précédent de la manière +suivante, en supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de +l'unité $\zeta$ : poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} +\omega^{g^i}$ (on a alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} +\alpha_j$) et calculer $a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en +fonction de $\zeta$ uniquement. Pour justifier ce fait, on peut +invoquer le fait que $\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur +$\QQ(\zeta)$ de groupe de Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ +(\XXX --- référence ?), mais en fait on peut aussi simplement affirmer +qu'on fait les calculs dans $\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il +est évident que $\omega \mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme +en notant $\omega$ la classe de $X$), ce qui est le cas en pratique. +En fait, on n'est pas obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour +chaque $j$ : si $d$ désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà +$(\alpha_j)^{(n-1)/d}$ s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de +$\zeta^d$, uniquement. Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ |