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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-05-10 13:09:58 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-05-10 13:09:58 (GMT)
commit3856ef79728160504d515b409e1c4b044f38950b (patch)
tree42c414fe50d317e0bb6e83df51c9c8d4955ba7b6 /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Changement trivial de notation.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex38
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index 845d342..757fd82 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1065,26 +1065,26 @@ $
\subsection{Degré $2$}
-\subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $P
+\subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $f
= X^2 + bX + c$, la transformation de Tschirnhaus $U = X+\frac{b}{2}$
-(cf. \refext{Calculs}{section-transformations-de-tschirnhaus}) sur $P$
-transforme ce dernier en $Q = X^2 - \frac{\Delta}{4}$ où $\Delta =
-b^2-4c$ est le discriminant de $P$. Le polynôme $P$ est donc scindé
+(cf. \refext{Calculs}{section-transformations-de-tschirnhaus}) sur $f$
+transforme ce dernier en $g = X^2 - \frac{\Delta}{4}$ où $\Delta =
+b^2-4c$ est le discriminant de $f$. Le polynôme $f$ est donc scindé
sur (une extension quelconque de) $k$ si et seulement si $\Delta$ y
est un carré, auquel cas ses racines sont $\displaystyle -\frac{b}{2}
\pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c}$.
-\subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique $2$ et $P = X^2 + bX +
+\subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique $2$ et $f = X^2 + bX +
c$, on distingue deux cas selon que $b$ est ou n'est pas nul. Si $b =
0$, le polynôme $X^2 + c$ s'écrit $(X+\sqrt{c})^2$ si $c$ est un
-carré ; si ce n'est pas le cas, le corps de rupture de $P$ est
+carré ; si ce n'est pas le cas, le corps de rupture de $f$ est
purement inséparable : avec nos définitions on ne parle pas ici
d'extension par radicaux. Si $b \neq 0$, on peut effectuer la
-transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{b} X$, qui transforme $P$
-en $Q = X^2 + X + \frac{c}{b^2}$, c'est-à-dire $Q = X^2 - X +
+transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{b} X$, qui transforme $f$
+en $g = X^2 + X + \frac{c}{b^2}$, c'est-à-dire $g = X^2 - X +
\japmath{別}_2$ où $\japmath{別}_2 = \frac{c}{b^2}$ désigne le
$2$-distinguant de $f$ (cf. \refext{CG}{exemples discriminants et
- 2-distinguants}). Le polynôme $P$ st donc scindé sur (une extension
+ 2-distinguants}). Le polynôme $f$ st donc scindé sur (une extension
quelconque de) $k$ si et seulement si $\japmath{別}_2$ y est dans
l'image de $\wp\colon x \mapsto x^2 - x$, et lorsque c'est le cas ses
racines sont $\displaystyle b \big(\root\wp\of{\frac{c}{b^2}} +
@@ -1095,19 +1095,19 @@ $\big\lwave\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rwave$ signifie « soit
\subsection{Degré $3$}
-\subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique différente de $3$ et $P
+\subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique différente de $3$ et $f
= X^3 + bX^2 + cX + d$, on peut commencer par appliquer la
-transformation de Tschirnhaus $U = X+\frac{b}{3}$ qui transforme $P$
-en $Q = X^3 + pX + q$ où $p = -\frac{1}{3}b^2 + c$ et $q =
-\frac{2}{27} b^3 - \frac{1}{3} bc + d$. Ce polynôme $Q$ est donc
-scindé si et seulement si le polynôme $P$ initial l'est, et on peut
+transformation de Tschirnhaus $U = X+\frac{b}{3}$ qui transforme $f$
+en $g = X^3 + pX + q$ où $p = -\frac{1}{3}b^2 + c$ et $q =
+\frac{2}{27} b^3 - \frac{1}{3} bc + d$. Ce polynôme $g$ est donc
+scindé si et seulement si le polynôme $f$ initial l'est, et on peut
donc supposer avoir affaire à un polynôme de cette forme.
-Soient $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ les racines de $Q = X^3 + pX + q$ dans une
+Soient $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ les racines de $g = X^3 + pX + q$ dans une
extension de $k$ contenant également une racine primitive cubique de
l'unité $\zeta$. Dans le groupe $\mathfrak{S}_3$ des permutations de
$\xi_0,\xi_1,\xi_2$ (qu'on peut imaginer comme contenant le groupe de
-Galois de $Q$ sur $k(\zeta)$), on va utiliser la chaîne de
+Galois de $g$ sur $k(\zeta)$), on va utiliser la chaîne de
sous-groupes $1 \leq C_3 \leq \mathfrak{S}_3$ où $C_3$ est le
sous-groupe cyclique d'ordre $3$ de $\mathfrak{S}_3$ (distingué dans
celui-ci) engendré par la permutation $\sigma$ de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$
@@ -1151,7 +1151,7 @@ parcourent les $\zeta^j \xi_i$.
\subsubsection{} Pour $k$ de caractéristique $3$, étudions maintenant
la résolution par radicaux de l'équation $X^3 + b X^2 + c X + d = 0$
-avec $b\neq 0$. On notera $P$ le polynôme membre de gauche de cette
+avec $b\neq 0$. On notera $f$ le polynôme membre de gauche de cette
équation, et $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ ses racines dans une certaine
extension de $k$. Appelons $\alpha$ la quantité $\frac{1}{b}(\xi_1
- \xi_2)$ (c'est-à-dire, si on préfère, $\alpha
@@ -1178,9 +1178,9 @@ b \alpha^2 + b\alpha + \frac{c}{b}$.
Reste à dire un mot en caractéristique $3$ des équations $X^3 + c X +
d = 0$ avec $c \neq 0$, et $X^3 + d = 0$. Lorsque $-c$ est un carré,
la première se ramène, par la transformation de Tschirnhaus $U =
-\frac{1}{\sqrt{-c}} X$, à $Q = X^3 - X + \frac{d}{(\sqrt{-c})^3}$,
+\frac{1}{\sqrt{-c}} X$, à $g = X^3 - X + \frac{d}{(\sqrt{-c})^3}$,
dont les racines sont $\root\wp\of{\frac{d}{(\sqrt{-c})^3}} +
-\big\lwave0,1,2\big\rwave$, et celles de $P$ sont donc égales à
+\big\lwave0,1,2\big\rwave$, et celles de $f$ sont donc égales à
$\sqrt{-c}$ fois cette quantité. L'équation inséparable $X^3 + d = 0$
a bien sûr pour solution (unique) $\root 3\of{-d}$, qui n'est pas une
écriture en radicaux avec nos définitions.