diff options
author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-21 19:30:34 +0200 |
---|---|---|
committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-21 19:30:34 +0200 |
commit | 45bb0c2bdd84e5078c994c51cf84f1888e3c63d3 (patch) | |
tree | 7b1d2f8b5e0a758797173269843f7661ab97ea27 /chapitres/radicaux.tex | |
parent | 97276e27114c5eaf3ad414cf9097baa10a67d2c1 (diff) | |
download | galois-45bb0c2bdd84e5078c994c51cf84f1888e3c63d3.tar.gz galois-45bb0c2bdd84e5078c994c51cf84f1888e3c63d3.tar.bz2 galois-45bb0c2bdd84e5078c994c51cf84f1888e3c63d3.zip |
[radicaux] Résolution des équations cubiques en caractéristique 3 (esquisse).
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 28 |
1 files changed, 28 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index e619e83..9a8aa03 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1131,6 +1131,34 @@ de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ près. Compte tenu du fait que $\xi_0 + \xi_1 + (selon le choix de la détermination de chaque racine cubique) parcourent les $\zeta^j \xi_i$. +\XXX + +\subsubsection{} Pour $k$ de caractéristique $3$, étudions maintenant +la résolution par radicaux de l'équation $X^3 + b X^2 + c X + d = 0$ +avec $b\neq 0$. On notera $P$ le polynôme membre de gauche de cette +équation, et $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ ses racines dans une certaine +extension de $k$. Appelons $\alpha$ la quantité $\frac{1}{b}(\xi_1 +- \xi_2)$ (c'est-à-dire, si on préfère, $\alpha += \frac{1}{b}\sum_{i=0}^2 i \xi_i$) : le choix de cette expression est +dicté par le fait que si on dispose d'un automorphisme $\sigma$ +envoyant cycliquement chacun de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ sur le suivant, +alors $\sigma(\alpha) = \alpha+1$. La quantité $w := \wp(\alpha) += \alpha^3 - \alpha$ (en notant comme d'habitude $\wp(x) = x^3 - x$) a +pour carré $w^2 = -\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4} - \frac{c^3}{b^6}$, +comme on peut le vérifier en remplaçant $b,c,d$ par +$-(\xi_0+\xi_1+\xi_2)$, $\xi_0 \xi_1 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2 \xi_0$ et +$-\xi_0 \xi_1 \xi_2$ respectivement dans les deux membres de cette +égalité. On peut donc écrire $\alpha += \pm \root\wp\of{\sqrt{-\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4} +- \frac{c^3}{b^6}}} + \big\lwave0,1,2\big\rwave$ (le choix du signe +devant les racines, et du terme $0,1,2$ étant lié à la détermination +des racines). Reste à expliquer comment retrouver $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ +à partir de $\alpha$ : pour cela, remarquons que $b^2 \alpha^2 = +\xi_1^2 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2^2 = b^2 - c + b\xi_0$, ce qui permet +d'écrire $\xi_0 = b \alpha^2 - b + \frac{c}{b}$, et on a alors +facilement $\xi_1 = b \alpha^2 - b\alpha + \frac{c}{b}$ et $\xi_2 = +b \alpha^2 + b\alpha + \frac{c}{b}$. + \ifx\danslelivre\undefined |