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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-21 17:30:34 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-21 17:30:34 (GMT)
commit45bb0c2bdd84e5078c994c51cf84f1888e3c63d3 (patch)
tree7b1d2f8b5e0a758797173269843f7661ab97ea27 /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Résolution des équations cubiques en caractéristique 3 (esquisse).
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex28
1 files changed, 28 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index e619e83..9a8aa03 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1131,6 +1131,34 @@ de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ près. Compte tenu du fait que $\xi_0 + \xi_1 +
(selon le choix de la détermination de chaque racine cubique)
parcourent les $\zeta^j \xi_i$.
+\XXX
+
+\subsubsection{} Pour $k$ de caractéristique $3$, étudions maintenant
+la résolution par radicaux de l'équation $X^3 + b X^2 + c X + d = 0$
+avec $b\neq 0$. On notera $P$ le polynôme membre de gauche de cette
+équation, et $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ ses racines dans une certaine
+extension de $k$. Appelons $\alpha$ la quantité $\frac{1}{b}(\xi_1
+- \xi_2)$ (c'est-à-dire, si on préfère, $\alpha
+= \frac{1}{b}\sum_{i=0}^2 i \xi_i$) : le choix de cette expression est
+dicté par le fait que si on dispose d'un automorphisme $\sigma$
+envoyant cycliquement chacun de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ sur le suivant,
+alors $\sigma(\alpha) = \alpha+1$. La quantité $w := \wp(\alpha)
+= \alpha^3 - \alpha$ (en notant comme d'habitude $\wp(x) = x^3 - x$) a
+pour carré $w^2 = -\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4} - \frac{c^3}{b^6}$,
+comme on peut le vérifier en remplaçant $b,c,d$ par
+$-(\xi_0+\xi_1+\xi_2)$, $\xi_0 \xi_1 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2 \xi_0$ et
+$-\xi_0 \xi_1 \xi_2$ respectivement dans les deux membres de cette
+égalité. On peut donc écrire $\alpha
+= \pm \root\wp\of{\sqrt{-\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4}
+- \frac{c^3}{b^6}}} + \big\lwave0,1,2\big\rwave$ (le choix du signe
+devant les racines, et du terme $0,1,2$ étant lié à la détermination
+des racines). Reste à expliquer comment retrouver $\xi_0,\xi_1,\xi_2$
+à partir de $\alpha$ : pour cela, remarquons que $b^2 \alpha^2 =
+\xi_1^2 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2^2 = b^2 - c + b\xi_0$, ce qui permet
+d'écrire $\xi_0 = b \alpha^2 - b + \frac{c}{b}$, et on a alors
+facilement $\xi_1 = b \alpha^2 - b\alpha + \frac{c}{b}$ et $\xi_2 =
+b \alpha^2 + b\alpha + \frac{c}{b}$.
+
\ifx\danslelivre\undefined