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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-22 15:44:49 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-22 15:44:49 +0100
commit470ebec094f373d037f2b2251a064e672aef413a (patch)
treea5508fbf458d6151edc6cb95085d24055ac0c0b3 /chapitres/radicaux.tex
parent77f2a47381b8b1c2b4c98f6a83c9898fe5f7b8e3 (diff)
downloadgalois-470ebec094f373d037f2b2251a064e672aef413a.zip
galois-470ebec094f373d037f2b2251a064e672aef413a.tar.gz
galois-470ebec094f373d037f2b2251a064e672aef413a.tar.bz2
[radicaux] Expression alternative pour cos(2π/7) et sin(2π/7).
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex24
1 files changed, 19 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index ea9aed3..dc76672 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -601,10 +601,17 @@ De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 =
l'expression suivante pour $\gamma = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 +
\alpha_4)$ :
\[
-\cos\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
+\begin{array}{rl}
+\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}
+&\displaystyle= \frac{1}{6}\Big(
-1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
+ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
-\Big)
+\Big)\\
+&\displaystyle= -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\root3\of{\frac{7}{2}}
+\Big(\root3\of{1 + 3\sqrt{-3}}
++ \root3\of{1 - 3\sqrt{-3}}
+\Big)\\
+\end{array}
\]
On a par ailleurs $(\alpha_3)^2 = -7$, et avec nos déterminations, on
@@ -617,15 +624,22 @@ final, on obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 +
\cdots + \alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \,
\sin\frac{2\pi}{7}$ où :
\[
-\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
+\begin{array}{rl}
+\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7}
+&\displaystyle= \frac{1}{6}\Big(
\sqrt{-7} + \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
- \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
-\Big)
+\Big)\\
+&\displaystyle= \frac{1}{6}\sqrt{-7} + \frac{1}{6}\root6\of{\frac{7}{2}}\Big(
+\root6\of{-71 + 39\sqrt{-3}}
+- \root6\of{-71 - 39\sqrt{-3}}
+\Big)\\
+\end{array}
\]
Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7}
= \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne
-semble pas plus agréable que celle obtenue ci-dessus.
+semble pas plus agréable que celle reproduite ci-dessus.
\subsubsection{$n=11$} Maintenant $\omega$ désigne une racine
primitive $11$-ième de l'unité. On considère les quantités $\alpha_j