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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-03-22 15:44:49 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-03-22 15:44:49 +0100 |
commit | 470ebec094f373d037f2b2251a064e672aef413a (patch) | |
tree | a5508fbf458d6151edc6cb95085d24055ac0c0b3 /chapitres/radicaux.tex | |
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download | galois-470ebec094f373d037f2b2251a064e672aef413a.tar.gz galois-470ebec094f373d037f2b2251a064e672aef413a.tar.bz2 galois-470ebec094f373d037f2b2251a064e672aef413a.zip |
[radicaux] Expression alternative pour cos(2π/7) et sin(2π/7).
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 24 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index ea9aed3..dc76672 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -601,10 +601,17 @@ De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 = l'expression suivante pour $\gamma = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4)$ : \[ -\cos\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big( +\begin{array}{rl} +\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7} +&\displaystyle= \frac{1}{6}\Big( -1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}} + \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}} -\Big) +\Big)\\ +&\displaystyle= -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\root3\of{\frac{7}{2}} +\Big(\root3\of{1 + 3\sqrt{-3}} ++ \root3\of{1 - 3\sqrt{-3}} +\Big)\\ +\end{array} \] On a par ailleurs $(\alpha_3)^2 = -7$, et avec nos déterminations, on @@ -617,15 +624,22 @@ final, on obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots + \alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \, \sin\frac{2\pi}{7}$ où : \[ -\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big( +\begin{array}{rl} +\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7} +&\displaystyle= \frac{1}{6}\Big( \sqrt{-7} + \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}} - \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}} -\Big) +\Big)\\ +&\displaystyle= \frac{1}{6}\sqrt{-7} + \frac{1}{6}\root6\of{\frac{7}{2}}\Big( +\root6\of{-71 + 39\sqrt{-3}} +- \root6\of{-71 - 39\sqrt{-3}} +\Big)\\ +\end{array} \] Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne -semble pas plus agréable que celle obtenue ci-dessus. +semble pas plus agréable que celle reproduite ci-dessus. \subsubsection{$n=11$} Maintenant $\omega$ désigne une racine primitive $11$-ième de l'unité. On considère les quantités $\alpha_j |