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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 16:59:01 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 16:59:01 +0200
commit4b470ca4f0aaefc11755e9596f6e7ae51a774ce3 (patch)
treef22874cef2abf17fd7dd8c7660d697f56f232fdb /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Remaniement des explications des calculs pour n∈{3,4,5,6}.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex102
1 files changed, 59 insertions, 43 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 0c71a4c..3d63186 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -618,69 +618,85 @@ $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n +
la racine primitive $n$-ième de l'unité de partie réelle la plus
grande et de partie imaginaire positive.
-\subsubsection{$n=3$}\label{racine-3e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine cubique
-primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X +
-1$, alors on a $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité
-$\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 +
-\omega^{-1} = -3$. Eu égard aux conventions que nous avons faites sur
-la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha =
-\sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ :
+(Nous avons fait le choix de toujours préférer la quantité
+$\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$ à $\sin\frac{2\pi}{n}$, puisque
+l'objet fondamental est $e^{2 i \pi/n}$, et que $\sqrt{-1}$
+n'appartient pas forcément à $\QQ(\zeta,\omega)$ : il faut donc
+considérer $\sqrt{-1}\,\sin$ comme un seul symbole.)
+
+\subsubsection{$n=3$}\label{racine-3e-de-1} Si $\omega$ désigne une
+racine cubique primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de
+$\Phi_3 = X^2 + X + 1$, alors en calculant modulo $\Phi_3$ on voit que
+$\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité $\alpha_1 :=
+(\omega - \omega^{-1})$ vérifie $(\alpha_1)^2 = \omega^2 - 2 +
+\omega^{-1} = -3$. Une fois vérifiée la détermination, on peut écrire
+$\alpha_1 = \sqrt{-3}$, de sorte que $\omega =
+\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ :
\[
-e^{2i\pi/3} = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})
+\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\hbox{\quad et\quad }
+\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\sqrt{-3}
\]
-\subsubsection{$n=4$}\label{racine-4e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine
-primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 =
-X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Eu égard aux conventions que
-nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut
-écrire $\omega = \sqrt{-1}$ :
+\subsubsection{$n=4$}\label{racine-4e-de-1} Si $\omega$ désigne une
+racine primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de
+$\Phi_4 = X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Avec nos conventions
+sur la détermination, on peut écrire $\omega = \sqrt{-1}$ :
\[
e^{i\pi/2} = \sqrt{-1}
\]
-\subsubsection{$n=5$}\label{racine-5e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine
-primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 =
-X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j
-:= \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$, c'est-à-dire :
-$\alpha_0 = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3$ et $\alpha_1 =
-\omega + \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 - \sqrt{-1}\, \omega^3$ et
-$\alpha_2 = \omega - \omega^2 + \omega^4 - \omega^3$ et $\alpha_3 =
-\omega - \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 + \sqrt{-1}\, \omega^3$. Il
-est clair que $\alpha_0 = -1$. D'autre part, $(\alpha_2)^2 = 5$ comme
-on le calcule en développant, et compte tenus des choix de
-déterminations, $\alpha_2 = \sqrt{5}$. Ceci permet déjà d'exprimer
-$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{5}$,
-puisque $\gamma = \frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_2)$, on a donc $\gamma
-= \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})$ :
+\subsubsection{$n=5$}\label{racine-5e-de-1} Si $\omega$ désigne une
+racine primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de
+$\Phi_5 = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités
+$\alpha_j := \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$ (ici, $\zeta
+= \sqrt{-1}$ intervient en tant que racine $4$-ième de l'unité),
+c'est-à-dire : $\alpha_0 = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3$ et
+$\alpha_1 = \omega + \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 - \sqrt{-1}\,
+\omega^3$ et $\alpha_2 = \omega - \omega^2 + \omega^4 - \omega^3$ et
+$\alpha_3 = \omega - \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 + \sqrt{-1}\,
+\omega^3$. Il est clair que $\alpha_0 = -1$. D'autre part,
+$(\alpha_2)^2 = 5$ comme on le calcule en développant, et compte tenus
+des choix de déterminations, $\alpha_2 = \sqrt{5}$. Ceci permet déjà
+d'exprimer $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) =
+\cos\frac{2\pi}{5}$, puisque $\gamma = \frac{1}{4}(\alpha_0 +
+\alpha_2)$, on a donc $\gamma = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})$ :
\[
\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})
\]
Pour obtenir l'expression de $\omega$ lui-même, on peut bien sûr
calculer $\sin\frac{2\pi}{5} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{5}} =
-\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$ et en déduire
+\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$, c'est-à-dire
\[
-e^{2i\pi/5} = \frac{1}{4}\Big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\Big)
+\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}\sqrt{-10-2\sqrt{5}}
\]
Ou bien on peut, de façon plus systématique mais moins commode,
calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1
= \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}}$, et de même $\alpha_3 =
\sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}}$. On a alors $\omega =
\frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$. Dans ce cas,
-on trouve $\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \root4\of{-15 +
- 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} \big)$.
-
-\XXX --- Il faudrait « expliquer » le fait que $\root4\of{-15 +
- 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 +
- 2\sqrt{5}}$.
-
-\subsubsection{$n=6$}\label{racine-6e-de-1} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines
-cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont
-$1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car
-avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle
-qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire
-positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine
-sixième principale est $-\zeta^2$.)
+on trouve
+\[
+\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \sqrt{-1}\,
+\root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 -
+ 20\sqrt{-1}} \big)
+\]
+
+Ici, cette expression est moins plaisante que celle calculée
+ci-dessus, mais pour de plus grandes valeurs de $n$ ce ne sera pas
+forcément le cas.
+
+\XXX --- Y a-t-il moyen plus intelligent d'« expliquer » le fait que
+$\root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} =
+\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$.
+
+\subsubsection{$n=6$}\label{racine-6e-de-1} Si $1,\zeta,\zeta^2$
+désignent les racines cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes
+de l'unité sont $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans
+cet ordre car avec nos conventions sur le fait que la racine
+principale est celle qui a la partie réelle la plus grande et la
+partie imaginaire positive, si $\zeta$ est la racine cubique
+principale, la racine sixième principale est $-\zeta^2$.)
\subsubsection{$n=7$}\label{racine-7e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine
primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités