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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-08 17:30:53 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-08 17:30:53 +0100
commit5ac0622b34c57423c75d9560ca175d85b7a8abda (patch)
tree9e4ffa29b064eea1dbfe9d6d1a77d463d0f72415 /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Expressions du sinus (plutôt que de la racine de l'unité) + sin(2π/11) (à vérifier !)
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex61
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index c17b229..89be819 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -498,7 +498,7 @@ le bon choix de $\omega$, alors on vérifie facilement que $\gamma^2 +
comme élément de degré $2$ au-dessus de l'extension engendrée
par $\gamma$ et appliquer la technique générale.
-\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$ et $e^{2i\pi/n}$}
+\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$ et $\sin\frac{2\pi}{n}$}
\subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
@@ -511,7 +511,8 @@ d'égalité (qui se produit uniquement si $n$ est pair et $x$ réel
négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à
exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est
défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n + \omega_n^{-1})$, voire le nombre
-$e^{2 i \pi/n} = \omega_n$, où $\omega_n$ est la racine primitive
+$e^{2 i \pi/n} = \omega_n = \cos\frac{2\pi}{n} +
+\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$, où $\omega_n$ est la racine primitive
$n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie
imaginaire positive.
@@ -565,7 +566,9 @@ Ou bien on peut, de façon plus systématique mais moins commode,
calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1
= \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}}$, et de même $\alpha_3 =
\sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}}$. On a alors $\omega =
-\frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$.
+\frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$. Dans ce cas,
+on trouve $\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \root4\of{-15 +
+ 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} \big)$.
\XXX --- Il faudrait « expliquer » le fait que $\root4\of{-15 +
20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 +
@@ -608,18 +611,14 @@ $\alpha_5$. On peut calculer $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta =
-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 =
-\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même,
$\alpha_5 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au
-final, on obtient l'expression suivante de $\omega =
-\frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots + \alpha_5)$ :
+final, on obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 +
+\cdots + \alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \,
+\sin\frac{2\pi}{7}$ où :
\[
-\begin{array}{rl}
-\displaystyle e^{2i\pi/7} &\displaystyle = \frac{1}{6}\Big(
--1 + \sqrt{-7} + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
-+ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}\\\noalign{\vskip.5ex}
-&\displaystyle\hphantom{= \frac{1}{6}\Big(}
-+ \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
+\sqrt{-7} + \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
- \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
-\Big)\\
-\end{array}
+\Big)
\]
Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7}
@@ -659,12 +658,13 @@ $\alpha_6 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0
-1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root
5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} -
25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$. Finalement, pour
-$\cos\frac{2\pi}{11} = \frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4 +
-\alpha_6 + \alpha_8)$, on trouve :
+$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{11} =
+\frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_8)$,
+on trouve :
\[
\begin{array}{rl}
-\rlap{$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{11} = -\frac{1}{10}
-+ \frac{1}{40} \, \root5\of{\frac{11}{4}} \;\; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
+\rlap{$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; -\frac{1}{10} \;\;\;
++ \;\;\; \frac{1}{40} \, \root5\of{\frac{11}{4}} \;\; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
@@ -677,6 +677,33 @@ $\cos\frac{2\pi}{11} = \frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4 +
\end{array}
\]
+Le calcul de $\omega = e^{2i\pi/11}$ peut se faire de façon analogue :
+on calcule par exemple $(\alpha_1)^{10} = \frac{11}{4}(51\,061 +
+2\,725\sqrt{5} + \penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
+\penalty-100 6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$, ce qui permet d'écrire
+$\alpha_1 = \frac{1}{4} \big( 1-\sqrt{5} + \penalty0
+\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root {10}\of{\frac{11}{4}}
+\penalty-100 \root{10}\of{\Big(} 51\,061 + 2\,725\sqrt{5} +
+\penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - \penalty-100
+6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \overline{\Big)}$. Les cas de
+$\alpha_3,\alpha_7,\alpha_9$ sont analogues. Quant à $\alpha_5$, il
+vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement :
+\[\footnotesize
+\begin{array}{rl}
+\rlap{$\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; \frac{\sqrt{-11}}{10} \;\;\;
++\;\; \frac{1}{40}\, \root{10}\of{\frac{11}{4}} \; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
+&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \hphantom{-}\Big( 1-\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \hphantom{-}\Big( 1+\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big)
+\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} - 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1-\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big)
+\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} + 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}
+\rlap{\;\;\Bigg)}\\
+\end{array}
+\]
+
\ifx\danslelivre\undefined