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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-05 15:52:10 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-05 15:52:10 +0200
commit62ab6b3f828cea5ccec1e2f381599e591c33b9d8 (patch)
treed68b67d63f48b8fb7d86aabb6a764eeed4c73330 /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Explications sur le calcul de cos(2π/17).
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex73
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 5315690..6e17835 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -903,8 +903,71 @@ détermination, on obtient finalement :
\end{array}
\]
-\subsubsection{$n=17$}\label{racine-17e-de-1} \XXX
-
+\subsubsection{$n=17$}\label{racine-17e-de-1} Pour calculer
+$\cos\frac{2\pi}{17}$, nous allons procéder d'une manière légèrement
+différente de la méthode usuelle. Celle-ci aura pour avantage de
+fournir une expression purement réelle (on verra en \XXX à quelle
+condition il est possible de trouver une telle expression), et par
+ailleurs plus simple. Plutôt que d'attaquer directement (en utilisant
+les racines $16$-ièmes de l'unité) l'extension $\QQ(\omega)\bo \QQ$
+(où $\omega = e^{2i\pi/17}$), ou même $\QQ(\gamma) \bo \QQ$ (avec
+$\gamma = \cos\frac{2\pi}{17}$), qui ont pour groupes de Galois
+respectifs $(\ZZ/17\ZZ)^\times \cong \ZZ/16\ZZ$ et $\ZZ/8\ZZ$, on va
+introduire les extensions intermédiaires $\QQ = E_0 \subseteq E_1
+\subseteq E_2 \subseteq E_3 = \QQ(\gamma) \subseteq E_4 = \QQ(\omega)$
+corps fixes de $G = G_0 \geq G_1 \geq G_2 \geq G_3 \geq G_4 = \{1\}$
+avec $G_i$ l'unique sous-groupe d'indice $2^i$ de $G$, engendré par
+l'élément $3^{2^i}$ de $G = (\ZZ/17\ZZ)^\times$.
+
+Notons $\sigma$ l'automorphisme $\omega \mapsto \omega^3$ de
+$\QQ(\omega) \bo \QQ$, qui, comme $3$ est primitif modulo $17$,
+engendre le groupe de Galois $G$, cyclique d'ordre $16$, de cette
+extension. (De même que précédemment, on peut si on le souhaite
+feindre d'ignorer que $\QQ(\omega) \bo \QQ$ ait $(\ZZ/17\ZZ)^\times$
+pour groupe de Galois, c'est-à-dire que $\sigma$ ait un sens comme
+morphisme de corps, en considérant ce dernier comme un morphisme de $R
+= \QQ[X]/(\Phi_{17})$, mais nous ne développerons pas plus.) Le
+sous-groupe $G_i$ d'indice $2^i$ de $G$ est engendré par $\sigma^{2^i}
+\colon \omega \mapsto \omega^{3^{2^i}}$.
+
+Pour $1\leq i \leq 4$, introduisons l'élément $\beta_i =
+\sum_{j=0}^{(2^{5-i}-1)}\, (-1)^j \, \omega^{3^{(2^{i-1}\times j)}}$,
+c'est-à-dire concrètement $\beta_1 = \omega - \omega^3 + \omega^9 -
+\omega^{10} + \omega^{13} - \omega^5 + \omega^{15} - \omega^{11} +
+\omega^{16} - \omega^{14} + \omega^8 - \omega^7 + \omega^4 -
+\omega^{12} + \omega^2 - \omega^6$ et $\beta_2 = \omega - \omega^9 +
+\omega^{13} - \omega^{15} + \omega^{16} - \omega^8 + \omega^4 -
+\omega^2$ et $\beta_3 = \omega - \omega^{13} + \omega^{16} - \omega^4$
+et enfin $\beta_4 = \omega - \omega^{16}$. On a manifestement
+$\sigma^{2^i} (\beta_i) = -\beta_i$, donc $(\beta_i)^2$ est stable par
+$G_i$ tandis que les deux images de $\beta_i$ par $G_i = \langle
+\sigma^{2^i} \rangle$ sont $\pm\beta_i$ : ainsi, $\beta_i$ engendre
+l'extension $E_i \bo E_{i-1}$ où $E_i$ est le corps fixe de $G_i$.
+
+En travaillant modulo $\Phi_{17}$, on calcule $(\beta_1)^2 = 17$, et
+une fois vérifié que $\beta_1$ est positif on en conclut $\beta_1 =
+\sqrt{17}$ : ainsi, $E_1 = \QQ(\sqrt{17})$. Puis on calcule
+$(\beta_2)^2 = \frac{17}{2} - \frac{1}{2}\,\sqrt{17}$ pour conclure
+que $\beta_2 = \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$ :
+ainsi, $E_2 = \QQ(\sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}})$,
+mais on peut calculer aussi $\sigma(\beta_2) = \sqrt{\frac{17}{2} +
+ \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$ et on pourrait tout aussi bien écrire
+$E_2 = \QQ(\sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}})$ (cette
+extension de $\QQ$ est galoisienne de groupe de Galois $\ZZ/4\ZZ$ : on
+est dans la même situation qu'en
+\refext{ExG}{exemple-galois-biquadratique-cyclique}), et une
+$\QQ$-base de $E_2$ est donnée par $1, \sqrt{17}, \sqrt{\frac{17}{2} -
+ \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}, \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \,
+ \sqrt{17}}$. Puis on calcule $(\beta_3)^2 = \frac{17}{4} +
+\frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \,
+\sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \sqrt{\frac{17}{2} +
+ \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$, pour conclure que $\beta_3 =
+\sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \,
+ \sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} -
+ \sqrt{\frac{17}{2}+\frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}$. Comme par ailleurs
+le nombre $\gamma = \frac{1}{2} \omega - \frac{1}{2} \omega^{16}$ vaut
+$-\frac{1}{16} + \frac{1}{16}\beta_1 + \frac{1}{8}\beta_2 +
+\frac{1}{4}\beta_3$, on trouve :
\[
\begin{array}{rl}
\displaystyle\cos\frac{2\pi}{17}
@@ -913,6 +976,12 @@ détermination, on obtient finalement :
\end{array}
\]
+On a $E_3 = \QQ(\beta_3) = \QQ(\cos\frac{2\pi}{17})$ ; ce même corps
+est aussi engendré par exemple par $\sigma(\beta_3) =
+\sqrt{\frac{17}{4} - \frac{3}{4} \, \sqrt{17} +
+ \sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \frac{1}{2} \,
+ \sqrt{\frac{17}{2}+\frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}$.
+
\subsubsection{$n=19$}\label{racine-19e-de-1} \XXX
\begin{center}