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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-05 15:52:10 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-05 15:52:10 +0200 |
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[radicaux] Explications sur le calcul de cos(2π/17).
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 73 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 5315690..6e17835 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -903,8 +903,71 @@ détermination, on obtient finalement : \end{array} \] -\subsubsection{$n=17$}\label{racine-17e-de-1} \XXX - +\subsubsection{$n=17$}\label{racine-17e-de-1} Pour calculer +$\cos\frac{2\pi}{17}$, nous allons procéder d'une manière légèrement +différente de la méthode usuelle. Celle-ci aura pour avantage de +fournir une expression purement réelle (on verra en \XXX à quelle +condition il est possible de trouver une telle expression), et par +ailleurs plus simple. Plutôt que d'attaquer directement (en utilisant +les racines $16$-ièmes de l'unité) l'extension $\QQ(\omega)\bo \QQ$ +(où $\omega = e^{2i\pi/17}$), ou même $\QQ(\gamma) \bo \QQ$ (avec +$\gamma = \cos\frac{2\pi}{17}$), qui ont pour groupes de Galois +respectifs $(\ZZ/17\ZZ)^\times \cong \ZZ/16\ZZ$ et $\ZZ/8\ZZ$, on va +introduire les extensions intermédiaires $\QQ = E_0 \subseteq E_1 +\subseteq E_2 \subseteq E_3 = \QQ(\gamma) \subseteq E_4 = \QQ(\omega)$ +corps fixes de $G = G_0 \geq G_1 \geq G_2 \geq G_3 \geq G_4 = \{1\}$ +avec $G_i$ l'unique sous-groupe d'indice $2^i$ de $G$, engendré par +l'élément $3^{2^i}$ de $G = (\ZZ/17\ZZ)^\times$. + +Notons $\sigma$ l'automorphisme $\omega \mapsto \omega^3$ de +$\QQ(\omega) \bo \QQ$, qui, comme $3$ est primitif modulo $17$, +engendre le groupe de Galois $G$, cyclique d'ordre $16$, de cette +extension. (De même que précédemment, on peut si on le souhaite +feindre d'ignorer que $\QQ(\omega) \bo \QQ$ ait $(\ZZ/17\ZZ)^\times$ +pour groupe de Galois, c'est-à-dire que $\sigma$ ait un sens comme +morphisme de corps, en considérant ce dernier comme un morphisme de $R += \QQ[X]/(\Phi_{17})$, mais nous ne développerons pas plus.) Le +sous-groupe $G_i$ d'indice $2^i$ de $G$ est engendré par $\sigma^{2^i} +\colon \omega \mapsto \omega^{3^{2^i}}$. + +Pour $1\leq i \leq 4$, introduisons l'élément $\beta_i = +\sum_{j=0}^{(2^{5-i}-1)}\, (-1)^j \, \omega^{3^{(2^{i-1}\times j)}}$, +c'est-à-dire concrètement $\beta_1 = \omega - \omega^3 + \omega^9 - +\omega^{10} + \omega^{13} - \omega^5 + \omega^{15} - \omega^{11} + +\omega^{16} - \omega^{14} + \omega^8 - \omega^7 + \omega^4 - +\omega^{12} + \omega^2 - \omega^6$ et $\beta_2 = \omega - \omega^9 + +\omega^{13} - \omega^{15} + \omega^{16} - \omega^8 + \omega^4 - +\omega^2$ et $\beta_3 = \omega - \omega^{13} + \omega^{16} - \omega^4$ +et enfin $\beta_4 = \omega - \omega^{16}$. On a manifestement +$\sigma^{2^i} (\beta_i) = -\beta_i$, donc $(\beta_i)^2$ est stable par +$G_i$ tandis que les deux images de $\beta_i$ par $G_i = \langle +\sigma^{2^i} \rangle$ sont $\pm\beta_i$ : ainsi, $\beta_i$ engendre +l'extension $E_i \bo E_{i-1}$ où $E_i$ est le corps fixe de $G_i$. + +En travaillant modulo $\Phi_{17}$, on calcule $(\beta_1)^2 = 17$, et +une fois vérifié que $\beta_1$ est positif on en conclut $\beta_1 = +\sqrt{17}$ : ainsi, $E_1 = \QQ(\sqrt{17})$. Puis on calcule +$(\beta_2)^2 = \frac{17}{2} - \frac{1}{2}\,\sqrt{17}$ pour conclure +que $\beta_2 = \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$ : +ainsi, $E_2 = \QQ(\sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}})$, +mais on peut calculer aussi $\sigma(\beta_2) = \sqrt{\frac{17}{2} + + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$ et on pourrait tout aussi bien écrire +$E_2 = \QQ(\sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}})$ (cette +extension de $\QQ$ est galoisienne de groupe de Galois $\ZZ/4\ZZ$ : on +est dans la même situation qu'en +\refext{ExG}{exemple-galois-biquadratique-cyclique}), et une +$\QQ$-base de $E_2$ est donnée par $1, \sqrt{17}, \sqrt{\frac{17}{2} - + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}, \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, + \sqrt{17}}$. Puis on calcule $(\beta_3)^2 = \frac{17}{4} + +\frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \, +\sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \sqrt{\frac{17}{2} + + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$, pour conclure que $\beta_3 = +\sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \, + \sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - + \sqrt{\frac{17}{2}+\frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}$. Comme par ailleurs +le nombre $\gamma = \frac{1}{2} \omega - \frac{1}{2} \omega^{16}$ vaut +$-\frac{1}{16} + \frac{1}{16}\beta_1 + \frac{1}{8}\beta_2 + +\frac{1}{4}\beta_3$, on trouve : \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\cos\frac{2\pi}{17} @@ -913,6 +976,12 @@ détermination, on obtient finalement : \end{array} \] +On a $E_3 = \QQ(\beta_3) = \QQ(\cos\frac{2\pi}{17})$ ; ce même corps +est aussi engendré par exemple par $\sigma(\beta_3) = +\sqrt{\frac{17}{4} - \frac{3}{4} \, \sqrt{17} + + \sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \frac{1}{2} \, + \sqrt{\frac{17}{2}+\frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}$. + \subsubsection{$n=19$}\label{racine-19e-de-1} \XXX \begin{center} |