[calculs] Remarque/convention sur l'action de permutations quelconques des racines.

1 files changed, 33 insertions, 0 deletions

diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 757fd82..39ac310 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -18,6 +18,7 @@
 \synctex=1
 
 \externaldocument{KASW}
+\externaldocument{calculs-galois}
 
 \title{Radicaux, r\'esolubilit\'e, calculs explicites et cyclotomie}
  
@@ -1063,6 +1064,38 @@ $
 
 \section{Résolution par radicaux de certaines équations}
 
+\subsection{Généralités}
+
+\subsubsection{} Dans ce qui suit, nous allons chercher des formules
+« générales » permettant de résoudre en radicaux une équation $f = 0$
+où $f$ est un polynôme séparable de degré $n$ petit sur un corps $k$.
+On notera généralement $\xi_0, \ldots, \xi_{n-1}$ les racines de $f$
+(qu'on cherche à exprimer) dans un corps de décomposition.
+
+On considérera souvent des « expressions » des racines, c'est-à-dire
+des polynômes ou fractions rationnelles en $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$ :
+il faut considérer qu'une telle expression $u$ est un élément de
+$k[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ ou $k(Z_0,\ldots,Z_{n-1})$ et qu'on le confond
+abusivement avec sa \emph{valeur} qui est l'évaluation de $u$ en
+$\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$.  La raison de ce distinguo est que si
+$\sigma$ est une permutation de $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$, on se
+permettra de parler de faire agir $\sigma$ sur $u$, ce qui signifie
+qu'on fait agir $\sigma$ en permutant les variables
+$Z_0,\ldots,Z_{n-1}$ (cf. par exemple
+\refext{Calculs}{polynomes-invariants-de-sous-groupes}) et qu'on peut
+ensuite évaluer ce $\sigma(u)$ en $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$ (ce qui
+revient à évaluer $u$ en $\sigma(\xi_0), \ldots, \sigma(\xi_{n-1})$),
+si tant est que l'éventuel dénominateur ne s'annule pas.
+
+Lorsque $\sigma$ appartient au groupe de Galois de $f$, vu comme
+groupe de permutation des racines de $f$, alors bien entendu l'action
+de $\sigma$ sur $u$ au sens ci-dessus coïncide avec son action comme
+élément du groupe de Galois (puisque $\sigma$ opère trivialement sur
+les coefficients et a la même action sur les $\xi_i$ avec les deux
+définitions données) ; cf. aussi
+\refext{Calculs}{critere-polynomes-invariants-cas-separable} à ce
+sujet.
+
 \subsection{Degré $2$}
 
 \subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $f