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author | David A. Madore <david@procyon> | 2012-05-10 16:29:02 +0200 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2012-05-10 16:29:02 +0200 |
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[calculs] Remarque/convention sur l'action de permutations quelconques des racines.
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 33 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 757fd82..39ac310 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -18,6 +18,7 @@ \synctex=1 \externaldocument{KASW} +\externaldocument{calculs-galois} \title{Radicaux, r\'esolubilit\'e, calculs explicites et cyclotomie} @@ -1063,6 +1064,38 @@ $ \section{Résolution par radicaux de certaines équations} +\subsection{Généralités} + +\subsubsection{} Dans ce qui suit, nous allons chercher des formules +« générales » permettant de résoudre en radicaux une équation $f = 0$ +où $f$ est un polynôme séparable de degré $n$ petit sur un corps $k$. +On notera généralement $\xi_0, \ldots, \xi_{n-1}$ les racines de $f$ +(qu'on cherche à exprimer) dans un corps de décomposition. + +On considérera souvent des « expressions » des racines, c'est-à-dire +des polynômes ou fractions rationnelles en $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$ : +il faut considérer qu'une telle expression $u$ est un élément de +$k[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ ou $k(Z_0,\ldots,Z_{n-1})$ et qu'on le confond +abusivement avec sa \emph{valeur} qui est l'évaluation de $u$ en +$\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$. La raison de ce distinguo est que si +$\sigma$ est une permutation de $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$, on se +permettra de parler de faire agir $\sigma$ sur $u$, ce qui signifie +qu'on fait agir $\sigma$ en permutant les variables +$Z_0,\ldots,Z_{n-1}$ (cf. par exemple +\refext{Calculs}{polynomes-invariants-de-sous-groupes}) et qu'on peut +ensuite évaluer ce $\sigma(u)$ en $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$ (ce qui +revient à évaluer $u$ en $\sigma(\xi_0), \ldots, \sigma(\xi_{n-1})$), +si tant est que l'éventuel dénominateur ne s'annule pas. + +Lorsque $\sigma$ appartient au groupe de Galois de $f$, vu comme +groupe de permutation des racines de $f$, alors bien entendu l'action +de $\sigma$ sur $u$ au sens ci-dessus coïncide avec son action comme +élément du groupe de Galois (puisque $\sigma$ opère trivialement sur +les coefficients et a la même action sur les $\xi_i$ avec les deux +définitions données) ; cf. aussi +\refext{Calculs}{critere-polynomes-invariants-cas-separable} à ce +sujet. + \subsection{Degré $2$} \subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $f |