summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/radicaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-26 13:12:40 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-26 13:12:40 (GMT)
commit78887ae37aebbbdab0b02966b0ea4565544e6127 (patch)
tree626e6a0163b092f3aaf3bf238313aaab4c1f5099 /chapitres/radicaux.tex
parent45bb0c2bdd84e5078c994c51cf84f1888e3c63d3 (diff)
downloadgalois-78887ae37aebbbdab0b02966b0ea4565544e6127.zip
galois-78887ae37aebbbdab0b02966b0ea4565544e6127.tar.gz
galois-78887ae37aebbbdab0b02966b0ea4565544e6127.tar.bz2
[radicaux] Équations cubiques en caractéristique 3, suite (cas où le coefficient sous-dominant est nul).
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex12
1 files changed, 11 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 9a8aa03..a0767c7 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1076,7 +1076,7 @@ est un carré, auquel cas ses racines sont $\displaystyle -\frac{b}{2}
c$, on distingue deux cas selon que $b$ est ou n'est pas nul. Si $b =
0$, le polynôme $X^2 + c$ s'écrit $(X+\sqrt{c})^2$ si $c$ est un
carré ; si ce n'est pas le cas, le corps de rupture de $P$ est
-purement inséparable ; avec nos définitions on ne parle pas ici
+purement inséparable : avec nos définitions on ne parle pas ici
d'extension par radicaux. Si $b \neq 0$, on peut effectuer la
transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{b} X$, qui transforme $P$
en $Q = X^2 + X + \frac{c}{b^2}$, c'est-à-dire $Q = X^2 - X +
@@ -1159,6 +1159,16 @@ d'écrire $\xi_0 = b \alpha^2 - b + \frac{c}{b}$, et on a alors
facilement $\xi_1 = b \alpha^2 - b\alpha + \frac{c}{b}$ et $\xi_2 =
b \alpha^2 + b\alpha + \frac{c}{b}$.
+Reste à dire un mot en caractéristique $3$ des équations $X^3 + c X +
+d = 0$ avec $c \neq 0$, et $X^3 + d = 0$. Lorsque $-c$ est un carré,
+la première se ramène, par la transformation de Tschirnhaus $U =
+\frac{1}{\sqrt{-c}} X$, à $Q = X^3 - X + \frac{d}{(\sqrt{-c})^3}$,
+dont les racines sont $\root\wp\of{\frac{d}{(\sqrt{-c})^3}} +
+\big\lwave0,1,2\big\rwave$, et celles de $P$ sont donc égales à
+$\sqrt{-c}$ fois cette quantité. L'équation inséparable $X^3 + d = 0$
+a bien sûr pour solution (unique) $\root 3\of{-d}$, qui n'est pas une
+écriture en radicaux avec nos définitions.
+
\ifx\danslelivre\undefined