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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-26 15:12:40 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-26 15:12:40 +0200 |
commit | 78887ae37aebbbdab0b02966b0ea4565544e6127 (patch) | |
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[radicaux] Équations cubiques en caractéristique 3, suite (cas où le coefficient sous-dominant est nul).
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 12 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 9a8aa03..a0767c7 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1076,7 +1076,7 @@ est un carré, auquel cas ses racines sont $\displaystyle -\frac{b}{2} c$, on distingue deux cas selon que $b$ est ou n'est pas nul. Si $b = 0$, le polynôme $X^2 + c$ s'écrit $(X+\sqrt{c})^2$ si $c$ est un carré ; si ce n'est pas le cas, le corps de rupture de $P$ est -purement inséparable ; avec nos définitions on ne parle pas ici +purement inséparable : avec nos définitions on ne parle pas ici d'extension par radicaux. Si $b \neq 0$, on peut effectuer la transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{b} X$, qui transforme $P$ en $Q = X^2 + X + \frac{c}{b^2}$, c'est-à-dire $Q = X^2 - X + @@ -1159,6 +1159,16 @@ d'écrire $\xi_0 = b \alpha^2 - b + \frac{c}{b}$, et on a alors facilement $\xi_1 = b \alpha^2 - b\alpha + \frac{c}{b}$ et $\xi_2 = b \alpha^2 + b\alpha + \frac{c}{b}$. +Reste à dire un mot en caractéristique $3$ des équations $X^3 + c X + +d = 0$ avec $c \neq 0$, et $X^3 + d = 0$. Lorsque $-c$ est un carré, +la première se ramène, par la transformation de Tschirnhaus $U = +\frac{1}{\sqrt{-c}} X$, à $Q = X^3 - X + \frac{d}{(\sqrt{-c})^3}$, +dont les racines sont $\root\wp\of{\frac{d}{(\sqrt{-c})^3}} + +\big\lwave0,1,2\big\rwave$, et celles de $P$ sont donc égales à +$\sqrt{-c}$ fois cette quantité. L'équation inséparable $X^3 + d = 0$ +a bien sûr pour solution (unique) $\root 3\of{-d}$, qui n'est pas une +écriture en radicaux avec nos définitions. + \ifx\danslelivre\undefined |