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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-19 14:40:48 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-19 14:40:48 +0200 |
commit | 7a142ab7c7740a85cad59be4fcb30f6f9f6adbcf (patch) | |
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[radicaux] Résolution par radicaux des équations de degré 2.
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 32 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 061f205..90bc0ed 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1059,6 +1059,38 @@ $ \end{tikzpicture} \end{center} +\section{Résolution par radicaux de certaines équations} + +\subsection{Degré $2$} + +\subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $P += X^2 + bX + c$, la transformation de Tschirnhaus $U = X+\frac{b}{2}$ +(cf. \refext{Calculs}{section-transformations-de-tschirnhaus}) sur $P$ +transforme ce dernier en $Q = X^2 - \frac{\Delta}{4}$ où $\Delta = +b^2-4c$ est le discriminant de $P$. Le polynôme $P$ est donc scindé +sur (une extension quelconque de) $k$ si et seulement si $\Delta$ y +est un carré, auquel cas ses racines sont $\displaystyle -\frac{b}{2} +\pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c}$. + +\subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique $2$ et $P = X^2 + bX + +c$, on distingue deux cas selon que $b$ est ou n'est pas nul. Si $b = +0$, le polynôme $X^2 + c$ s'écrit $(X+\sqrt{c})^2$ si $c$ est un +carré ; si ce n'est pas le cas, le corps de rupture de $P$ est +purement inséparable ; avec nos définitions on ne parle pas ici +d'extension par radicaux. Si $b \neq 0$, on peut effectuer la +transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{b} X$, qui transforme $P$ +en $Q = X^2 + X + \frac{c}{b^2}$, c'est-à-dire $Q = X^2 - X + +\japmath{別}_2$ où $\japmath{別}_2 = \frac{c}{b^2}$ désigne le +$2$-distinguant de $f$ (cf. \refext{CG}{exemples discriminants et + 2-distinguants}). Le polynôme $P$ st donc scindé sur (une extension +quelconque de) $k$ si et seulement si $\japmath{別}_2$ y est dans +l'image de $\wp\colon x \mapsto x^2 - x$, et lorsque c'est le cas ses +racines sont $\displaystyle b \big(\root\wp\of{\frac{c}{b^2}} + +\big\lfilet\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rfilet\big)$ où la +notation $\root\wp\of t$ désigne un antécédent de $t$ par $\wp$ et +$\big\lfilet\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rfilet$ signifie « soit + $0$ soit $1$ » (ce qui permet d'obtenir l'autre antécédent). + \ifx\danslelivre\undefined |