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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-19 12:40:48 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-19 12:40:48 (GMT)
commit7a142ab7c7740a85cad59be4fcb30f6f9f6adbcf (patch)
tree329d5983ea7e31bd03b52fdf02189fadfeab9fe0 /chapitres/radicaux.tex
parent959f3a95741b1c8f51b39b5de675283f319e5d91 (diff)
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[radicaux] Résolution par radicaux des équations de degré 2.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex32
1 files changed, 32 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 061f205..90bc0ed 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1059,6 +1059,38 @@ $
\end{tikzpicture}
\end{center}
+\section{Résolution par radicaux de certaines équations}
+
+\subsection{Degré $2$}
+
+\subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $P
+= X^2 + bX + c$, la transformation de Tschirnhaus $U = X+\frac{b}{2}$
+(cf. \refext{Calculs}{section-transformations-de-tschirnhaus}) sur $P$
+transforme ce dernier en $Q = X^2 - \frac{\Delta}{4}$ où $\Delta =
+b^2-4c$ est le discriminant de $P$. Le polynôme $P$ est donc scindé
+sur (une extension quelconque de) $k$ si et seulement si $\Delta$ y
+est un carré, auquel cas ses racines sont $\displaystyle -\frac{b}{2}
+\pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c}$.
+
+\subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique $2$ et $P = X^2 + bX +
+c$, on distingue deux cas selon que $b$ est ou n'est pas nul. Si $b =
+0$, le polynôme $X^2 + c$ s'écrit $(X+\sqrt{c})^2$ si $c$ est un
+carré ; si ce n'est pas le cas, le corps de rupture de $P$ est
+purement inséparable ; avec nos définitions on ne parle pas ici
+d'extension par radicaux. Si $b \neq 0$, on peut effectuer la
+transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{b} X$, qui transforme $P$
+en $Q = X^2 + X + \frac{c}{b^2}$, c'est-à-dire $Q = X^2 - X +
+\japmath{別}_2$ où $\japmath{別}_2 = \frac{c}{b^2}$ désigne le
+$2$-distinguant de $f$ (cf. \refext{CG}{exemples discriminants et
+ 2-distinguants}). Le polynôme $P$ st donc scindé sur (une extension
+quelconque de) $k$ si et seulement si $\japmath{別}_2$ y est dans
+l'image de $\wp\colon x \mapsto x^2 - x$, et lorsque c'est le cas ses
+racines sont $\displaystyle b \big(\root\wp\of{\frac{c}{b^2}} +
+\big\lfilet\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rfilet\big)$ où la
+notation $\root\wp\of t$ désigne un antécédent de $t$ par $\wp$ et
+$\big\lfilet\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rfilet$ signifie « soit
+ $0$ soit $1$ » (ce qui permet d'obtenir l'autre antécédent).
+
\ifx\danslelivre\undefined