summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-05 16:19:50 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-05 16:19:50 (GMT)
commit88d0c083cfaeb70a62eda27b3e2850b9ece99110 (patch)
tree69d569b0c0d7f4c2ca60f0b75d5ee2f75e16da5c /chapitres/radicaux.tex
parentd0f8d4a92d6eab284eb333d4e89f525c13295d12 (diff)
downloadgalois-88d0c083cfaeb70a62eda27b3e2850b9ece99110.zip
galois-88d0c083cfaeb70a62eda27b3e2850b9ece99110.tar.gz
galois-88d0c083cfaeb70a62eda27b3e2850b9ece99110.tar.bz2
[radicaux] Changement de base pour l'expression de cos(2π/19).
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex19
1 files changed, 12 insertions, 7 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 347ee24..9ce5f0a 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1026,7 +1026,12 @@ Le calcul du sinus revient exactement à celui de $\beta_4 =
\subsubsection{$n=19$}\label{racine-19e-de-1} Nous ne donnons pas ici
les détails du calcul, qui sont extrêmement semblables au cas $n=13$.
Pour base du corps engendré par les racines $9$-ièmes (ou $18$-ièmes)
-de l'unité dans $\QQ$, on choisit : \XXX
+de l'unité dans $\QQ$, on choisit celle suggérée
+en \ref{racine-9e-de-1}, à savoir : $1$, $\sqrt{-3}$,
+$\root3\of{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$,
+$\root3\of{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$,
+$\root3\of{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$,
+$\root3\of{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
@@ -1040,12 +1045,12 @@ $\footnotesize
(-1+\sqrt{-3})\,\root 3\of{7-3\,\sqrt{-3}}
+(-1-\sqrt{-3})\,\root 3\of{7+3\,\sqrt{-3}}\Big)
+\frac{1}{18}\,\root9\of{\frac{19}{2}} \times \\
-&\displaystyle \Bigg(\big(-\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+\root 3\of{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}\big)\,\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}-22608\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-107316\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+63072\,\root 3\of{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}+16524\,\root 3\of{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
-&\displaystyle +\big(-\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+\root 3\of{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}\big)\,\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}+81900\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+26964\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-10440\,\root 3\of{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}-18828\,\root 3\of{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
-&\displaystyle +\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}-4356\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+25416\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-44244\,\root 3\of{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}-6084\,\root 3\of{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
-&\displaystyle +\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}+25416\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-4356\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-6084\,\root 3\of{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}-44244\,\root 3\of{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
-&\displaystyle +\big(-\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+\root 3\of{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}\big)\,\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}+26964\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+81900\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-18828\,\root 3\of{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}-10440\,\root 3\of{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
-&\displaystyle +\big(-\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+\root 3\of{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}\big)\,\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}-107316\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-22608\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+16524\,\root 3\of{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}+63072\,\root 3\of{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\,\sqrt{-3}}}\Bigg)
+&\displaystyle \Bigg(\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}\,\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}+63072\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+16524\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-6084\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-44244\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
+&\displaystyle +\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}\,\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}-10440\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-18828\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+63072\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+16524\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
+&\displaystyle +\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}-44244\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-6084\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-10440\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-18828\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
+&\displaystyle +\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}-6084\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-44244\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-18828\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-10440\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
+&\displaystyle +\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}\,\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}-18828\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-10440\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+16524\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+63072\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\
+&\displaystyle +\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}\,\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}+16524\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+63072\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-44244\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-6084\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\Bigg)
\end{array}
$
};