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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-05-31 18:46:34 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-05-31 18:46:34 +0200 |
commit | 9deba9fd5bf4e6371e9950a5ae3adb46bfb4d60c (patch) | |
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[radicaux] Résolution équations de degré 4 en caractéristique 2, tous les cas.
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 28 |
1 files changed, 20 insertions, 8 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index ccda67d..891e0e8 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1360,14 +1360,26 @@ une équation quadratique en $L_1^4$, dont les deux racines sont $L_1^4$ et $L_3^4$. \subsubsection{} En caractéristique $2$, toujours en partant d'une -racine $\pi$ de la résolvante cubique $X^3 - a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 -a_4) X + (- a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4)$, la quantité $\xi_1 + -\xi_3$ vérifie l'équation $X^2 + a_1 X + a_2 + \pi = 0$, et si -$\varsigma$ désigne cette quantité $\xi_1 + \xi_3$, alors $\xi_1$ est -racine de $a_1 X^2 + a_1 \varsigma X + \pi\varsigma + a_3 = 0$. -Lorsque $a_1 \neq 0$, ceci permet de résoudre l'équation en résolvant -successivement (la résolvante cubique, puis) deux équations -quadratiques. Si $a_1 = 0$, \XXX +racine $\pi$ de la résolvante cubique $X^3 + a_2 X^2 + a_1 a_3 X + +(a_1 ^2 a_4 + a_3^2)$, la quantité $\xi_1 + \xi_3$ vérifie l'équation +$X^2 + a_1 X + a_2 + \pi = 0$, et si $\varsigma$ désigne cette +quantité $\xi_1 + \xi_3$, alors $\xi_1$ est racine de $a_1 X^2 + a_1 +\varsigma X + \pi\varsigma + a_3 = 0$. Lorsque $a_1 \neq 0$, ceci +permet de résoudre l'équation en résolvant successivement (la +résolvante cubique, puis) deux équations quadratiques. + +Toujours en caractéristique $2$, si $a_1 = 0$, et toujours en partant +d'une racine $\pi$ de la résolvante cubique $X^3 + a_2 X^2 + a_3^2$, +la quantité $\xi_1 \xi_3$ vérifie l'équation $X^2 + \pi X + a_4 = 0$ +(ceci étant d'ailleurs vrai sans l'hypothèse $a_1 = 0$), et si +$\varpi$ désigne cette quantité $\xi_1 \xi_3$, alors $\xi_1$ est +racine de $a_3 X^2 + (a_2 \pi + \pi^2) X + a_3 \varpi = 0$. Lorsque +$a_1 = 0$ mais $a_3 \neq 0$, ceci permet de résoudre l'équation en +résolvant successivement (la résolvante cubique, puis) deux équations +quadratiques. + +Enfin, dans le cas $a_1 = a_3 = 0$, l'équation $X^4 + a_2 X^2 + a_4 = +0$ est une équation quadratique en $X^2$ (et n'est pas séparable). \ifx\danslelivre\undefined |