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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 16:46:34 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 16:46:34 (GMT)
commit9deba9fd5bf4e6371e9950a5ae3adb46bfb4d60c (patch)
tree1b3439c63911027e41e6ff7734ac3bd4c0b93366 /chapitres/radicaux.tex
parent9dddc4fb7c3645a8e18a2e69a31200c001a79284 (diff)
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galois-9deba9fd5bf4e6371e9950a5ae3adb46bfb4d60c.tar.bz2
[radicaux] Résolution équations de degré 4 en caractéristique 2, tous les cas.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex28
1 files changed, 20 insertions, 8 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index ccda67d..891e0e8 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1360,14 +1360,26 @@ une équation quadratique en $L_1^4$, dont les deux racines sont
$L_1^4$ et $L_3^4$.
\subsubsection{} En caractéristique $2$, toujours en partant d'une
-racine $\pi$ de la résolvante cubique $X^3 - a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4
-a_4) X + (- a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4)$, la quantité $\xi_1 +
-\xi_3$ vérifie l'équation $X^2 + a_1 X + a_2 + \pi = 0$, et si
-$\varsigma$ désigne cette quantité $\xi_1 + \xi_3$, alors $\xi_1$ est
-racine de $a_1 X^2 + a_1 \varsigma X + \pi\varsigma + a_3 = 0$.
-Lorsque $a_1 \neq 0$, ceci permet de résoudre l'équation en résolvant
-successivement (la résolvante cubique, puis) deux équations
-quadratiques. Si $a_1 = 0$, \XXX
+racine $\pi$ de la résolvante cubique $X^3 + a_2 X^2 + a_1 a_3 X +
+(a_1 ^2 a_4 + a_3^2)$, la quantité $\xi_1 + \xi_3$ vérifie l'équation
+$X^2 + a_1 X + a_2 + \pi = 0$, et si $\varsigma$ désigne cette
+quantité $\xi_1 + \xi_3$, alors $\xi_1$ est racine de $a_1 X^2 + a_1
+\varsigma X + \pi\varsigma + a_3 = 0$. Lorsque $a_1 \neq 0$, ceci
+permet de résoudre l'équation en résolvant successivement (la
+résolvante cubique, puis) deux équations quadratiques.
+
+Toujours en caractéristique $2$, si $a_1 = 0$, et toujours en partant
+d'une racine $\pi$ de la résolvante cubique $X^3 + a_2 X^2 + a_3^2$,
+la quantité $\xi_1 \xi_3$ vérifie l'équation $X^2 + \pi X + a_4 = 0$
+(ceci étant d'ailleurs vrai sans l'hypothèse $a_1 = 0$), et si
+$\varpi$ désigne cette quantité $\xi_1 \xi_3$, alors $\xi_1$ est
+racine de $a_3 X^2 + (a_2 \pi + \pi^2) X + a_3 \varpi = 0$. Lorsque
+$a_1 = 0$ mais $a_3 \neq 0$, ceci permet de résoudre l'équation en
+résolvant successivement (la résolvante cubique, puis) deux équations
+quadratiques.
+
+Enfin, dans le cas $a_1 = a_3 = 0$, l'équation $X^4 + a_2 X^2 + a_4 =
+0$ est une équation quadratique en $X^2$ (et n'est pas séparable).
\ifx\danslelivre\undefined